Розділ 1 ЧОТИРИКУТНИКИ

Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі (мал. 36).

Оскільки прямокутник є паралелограмом, то він має всі властивості паралелограма.

1. У прямокутнику протилежні сторони рівні.

2. Периметр прямокутника P_ABCD = 2(AB + BC).

3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл.

Крім цього, прямокутник має ще властивості.

4. Діагоналі прямокутника рівні.

Д о в е д е н н я. Нехай дано прямокутник ABCD (мал. 37). ∆ACD = ∆DBA (за двома катетами). Тому AC = BD.

5. Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.

Оскільки AC = BD, а AO = OC, BO = OD (мал. 37), то, очевидно, що AO = BO = OC = OD.

Задача 1. Діагональ ділить кут прямокутника у відношенні 2 : 3. Знайдіть кут між діагоналями даного прямокутника.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай ∠ADO : ∠ODC = 2 : 3 (мал. 37). Позначимо ∠ADO = 2x, ∠ODC = 3x. Тоді 2x + 3x = 90°, x = 18°. Тому ∠ADO = 2 ∙ 18 = 36°; ∠ODC = 3 ∙ 18 = 54°.

2) ∆ OCD – рівнобедрений (бо DO = OC). Тому ∠OCD = ∠ODC = 54°. У ∆OCD : ∠COD = 180° – 2 ∙ 54° = 72°. Отже, кут між діагоналями даного прямокутника дорівнює 72°.

Розглянемо ознаки прямокутника.

Т е о р е м а (ознаки прямокутника). Якщо у паралелограма: 1) усі кути рівні, або 2) один кут прямий, або 3) діагоналі рівні, — то паралелограм є прямокутником.

Д о в е д е н н я. 1) Оскільки всі кути паралелограма рівні, а їх сума дорівнює 360°, то кожний з них дорівнює 360° : 4 = 90°. А тому паралелограм є прямокутником.

2) Нехай кут A паралелограма ABCD прямий (мал. 36). Тоді ∠C = ∠A = 90°; ∠B = ∠D = 180° – ∠A = 180° – 90° = 90°. Отже, усі кути паралелограма прямі, а тому він є прямокутником.

3) Нехай у паралелограма ABCD діагоналі AC і BD рівні (мал. 37). AD – спільна сторона трикутників ABD і DCA. Отже, ∆ABD = ∆DCA (за трьома сторонами). Тому ∠BAD = ∠CDA. Але ж ∠ABC = ∠ADC, ∠BCD = ∠BAD. У паралелограма всі кути рівні між собою. Тому він є прямокутником (за п. 1 цієї теореми).

Задача 2. У колі із центром O проведено діаметри AC і BD (мал. 38). Визначте вид чотирикутника ABCD.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Оскільки AO = OC, BO = OD (як радіуси), то, за ознакою паралелограма, маємо, що ABCD – паралелограм.

2) Оскільки AC = BD (як діаметри), то, використовуючи ознаку прямокутника, маємо, що паралелограм ABCD є прямокутником.

В і д п о в і д ь. Прямокутник.

1. Яку фігуру називають прямокутником?

2. Сформулюйте і доведіть властивості прямокутника.

3. Сформулюйте і доведіть ознаки прямокутника.

77. Які із чотирикутників, зображених на малюнках 39-43, є прямокутниками?

78. У прямокутнику ABCD діагональ AC дорівнює 5 см. Яка довжина діагоналі BD?

79. Сторони прямокутника дорівнюють 4 см і 7 см. Знайдіть його периметр.

80. Знайдіть периметр прямокутника, сторони якого дорівнюють 2 см і 5 см.

81. Якщо чотирикутник є прямокутником, то його діагоналі між собою рівні. Чи правильне обернене твердження? Наведіть приклад.

82. Сторона BC прямокутника ABCD дорівнює 8 см, а діагональ BD – 12 см. Знайдіть периметр трикутника BOC, де O – точка перетину діагоналей прямокутника.

83. O – точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. AC = 12 см, периметр трикутника AOB дорівнює 16 см. Знайдіть сторону AB.

84. (Усно.) Що можна сказати про вид паралелограма, коли відомо, що:

1) жоден з його кутів не є гострим;

2) жоден з його кутів не є тупим;

3) він має три рівних між собою кути?

85. Доведіть, що коли в чотирикутнику три кути прямі, то цей чотирикутник – прямокутник.

86. Доведіть, що коли в чотирикутнику всі кути рівні, то цей чотирикутник – прямокутник.

87. Периметр прямокутника дорівнює 40 см. Знайдіть його сторони, коли відомо, що:

1) одна з них на 2 см більша за другу;

2) сторони відносяться як 2 : 3.

88. Периметр прямокутника дорівнює 50 см. Знайдіть його сторони, коли відомо, що:

1) одна з них на 5 см менша від другої;

2) сторони відносяться як 4 : 1.

89. (Усно.) На малюнку 44 зображено прямокутник ABCD. Знайдіть усі рівні між собою кути.

90. Знайдіть за малюнком 44:

91. Знайдіть за малюнком 44:

92. Діагональ прямокутника ділить кут прямокутника на два кути, один з яких на 20° більший за другий. Знайдіть ці кути.

93. Доведіть, що навколо прямокутника можна описати коло.

94. Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він:

1) на 15° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони;

2) на 50° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони.

95. Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він:

1) на 90° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони;

2) на 40° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

96. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O, E – середина AB, ∠CAB = 70°. Знайдіть ∠DOE.

97. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. OP – бісектриса трикутника AOB, ∠DOP = 130°. Знайдіть ∠CAB .

98. У паралелограмі ABCD з гострим кутом A діагоналі перетинаються в точці O. На відрізках AO і OC позначено точки M і N так, що OM = OB, ON = OD. Доведіть, що BMDN – прямокутник.

99. Точки В і D належать колу із центром О, AC – діаметр кола, AD = BC (мал. 45). Доведіть, що ABCD – прямокутник.

100. Перпендикуляри, проведені з точки перетину діагоналей прямокутника до двох його сусідніх сторін, дорівнюють 4 см і 9 см. Визначте периметр прямокутника.

101. Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його сторону навпіл. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його більша сторона дорівнює 20 см.

102. Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його сторону навпіл. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює 8 дм.

103. На малюнку 46 ABCD – прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ACD = 60°.

104. На малюнку 46 ABCD – прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ACD = 60°, AB = b. Знайдіть BD і OK.

105. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою BC = 35 см вписано прямокутник KLMN так, що точки K і L лежать на гіпотенузі трикутника, а точки M і N – на катетах. KL : KN = 3 : 2. Знайдіть периметр прямокутника.

106. У рівнобедрений прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 20 см, впитано прямокутник, який має з трикутником спільний прямий кут, а вершина протилежного кута належить гіпотенузі. Знайдіть периметр прямокутника.

107. З вершини тупого кута B паралелограма ABCD проведено висоту BK. Знайдіть кути паралелограма, якщо BK = AB

108. 1) Градусна міра одного з кутів трикутника є середнім арифметичним двох інших кутів. Знайдіть цей кут.

2) Градусна міра одного з кутів чотирикутника є середнім арифметичним трьох інших кутів. Знайдіть цей кут.

109. Через точку P, що належить внутрішній області кута ABC, проведіть пряму так, щоб її відрізок, який лежить між сторонами кута, ділився точкою Р навпіл.

Розв’яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

110. Дано: AB = BC = CD = DA (мал. 47). Довести: ∠A = AC, ∠B = A D.

Цікаві задачі для учнів неледачих

111. Чи можна розрізати квадрат розміром 6 х 6 на прямокутники розміром 1 х 4?

Паралелограм. Формули, ознаки та властивості паралелограма

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні (лежать на паралельних прямих).

Паралелограми відрізняються між собою як розміром прилеглих сторін, так і кутами, проте протилежні кути однакові.

Ознаки паралелограма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основні властивості паралелограма

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину розділяють одна одну навпіл:

Сторони паралелограма

Формули визначення довжин сторін паралелограма:

1. Фрмула сторін паралелограма через діагоналі та кут між ними:

2. Формула сторін паралелограма через діагоналі та іншу сторону:

Діагоналі паралелограма

Діагоналлю паралелограма називається будь-який відрізок який сполучає дві вершини протилежних кутів паралелограма.

Формули визначення довжини діагоналі паралелограма:

d ₁ = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d ₂ 2

d ₂ = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d ₁ 2

4. Формула діагоналі паралелограма через площу, відому діагональ та кут між діагоналями:

Периметр паралелограма

Формули визначення довжини периметру паралелограма:

P = 2 a + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 – 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 – 4 b 2

Площа паралелограма

Площею паралелограма називається простір який обмежений сторонами паралелограма, тобто в межах периметру паралелограма.

Формули визначення площі паралелограма:

3. Формула площі паралелограма через дві діагоналі та синус кутa між ними:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]