2.7.1: Графічний тангенс, котангенс, секанс та косеканс

Оскільки секанс є зворотним косинусом, графіки дуже тісно пов’язані між собою. Малюнок \(\PageIndex<1>\) Зверніть увагу, де косинус дорівнює нулю, секанс має вертикальну асимптоту і де \(\cos x=1\) потім \(\sec x=1\) , а також. Ці дві логічні фрагменти дозволяють відображати будь-яку січну функцію форми: \(f(x)=\pm a\cdot \sec (b(x+c))+d\) Метод полягає в тому, щоб графікувати його так, як ви б косинус, а потім вставити асимптоти та січні криві, щоб вони торкалися кривої косинуса при її максимальному та мінімальному значеннях. Ця методика ідентична графіку косекансних графіків. Просто використовуйте синусоїдальний графік, щоб знайти місце розташування та асимптоти.

Тангенс і котангенс

Спосіб продумування графіка \(f(x)=\tan x\) полягає в тому, щоб спочатку визначити його асимптоти. Асимптоти виникають, коли знаменник, косинус, дорівнює нулю. Це відбувається в \(\pm \dfrac<\pi>\) , \(\pm \dfrac\) . Наступне, що потрібно побудувати, це нулі, які виникають, коли чисельник, синус, дорівнює нулю. Це відбувається на \(0,\pm \pi ,\pm ,2\pi \ldots\) З одиничного кола та основної тригонометрії прямокутного трикутника, ви вже знаєте деякі значення \(\tan x\) :

Побудувавши всю цю інформацію, ви отримуєте дуже хороший сенс щодо того, як виглядає графік дотичної, і ви можете заповнити решту.

Зверніть увагу, що періоду дотичної \(\pi \) немає \(2\pi \) , тому що він має більш короткий цикл.

Графік котангенса можна знайти, використовуючи ідентичну логіку як тангенс. Ти знаєш \(\cot x=\dfrac\) . Це означає, що граф котангенса матиме нулі всюди, де тангенс має асимптоти та асимптоти, де тангенс має нулі. Ви також знаєте, що там, де тангенс дорівнює 1, котангенс також дорівнює 1. Таким чином, графік котангенса дорівнює:

Приклад \(\PageIndex\)

Раніше вас запитали, чи чотири нові функції є перетвореннями синуса і косинуса.

Чотири нові функції не є чисто перетвореннями синусоїдних і косинусних функцій. Однак секанс і косеканс є перетвореннями один одного, як і тангенс і котангенс.

Приклад \(\PageIndex\)

Графік функції \(f(x)=−2\cdot \csc (\pi (x−1))+1\) .

Графік функції так, ніби це синусоїдальна функція. Потім вставте асимптоти там, де синусоїдальна функція перетинає синусоїдальну вісь. Нарешті додайте криві косеканси.

Амплітуда дорівнює 2. Форма – негативний синус. Функція зрушена вгору на одну одиницю і вправо на одну одиницю.

Зауважте, що лише синя частина графіка представляє задану функцію.

Приклад \(\PageIndex\)

Як записати функцію дотичної як котангенс функції?

Існує два основних способи переходу між тангенсовою функцією та функцією котангенса. Перший спосіб був розглянутий в прикладі A: \(f(x)=\tan x=\dfrac\) .

Другий підхід передбачає дві трансформації. Почніть з відображення по осі x або y. Зверніть увагу, що це дає ідентичний результат. Далі зсуваємо функцію вправо або вліво на \(\dfrac<\pi>\) . Знову ж таки це дає ідентичний результат.

Приклад \(\PageIndex\)

Знайдіть рівняння функції на наступному графіку.

Якщо з’єднати відносні максимуми та мінімуми функції, вона створює зсунуту криву косинуса, з якою легше працювати.

Амплітуда дорівнює 3. Вертикальний зсув – 2 вниз. Період 4, що означає, що \(b=\dfrac<\pi>\) . Форма є позитивним косинусом, і якщо ви вирішите почати з x = 0, зсуву фаз не буде.

\(f(x)=3\cdot \csc \left(\dfrac<\pi>x\right)−2\)

Приклад \(\PageIndex\)

Де знаходяться асимптоти по дотичній і чому вони виникають?

Оскільки \(\tan x=\dfrac\) асимптоти виникають \(\cos x=0\) всякий раз, коли \(\pm \dfrac<\pi>,\pm \dfrac, \ldots\)

Рецензія

1. Яку функцію ви можете використовувати, щоб допомогти вам зробити ескіз \(f(x)=\sec x\) ? Чому?

2. Яку функцію ви можете використовувати, щоб допомогти вам зробити ескіз \(g(x)=\csc x\) ? Чому?

Складіть ескіз кожного наступного по пам’яті.

Графік кожного з наведених нижче.

1. \(f(x)=2\csc (x)+1\)
2. \(g(x)=2\csc (\dfrac<\pi>x)+1\)
3. \(h(x)=2\csc \left(\dfrac<\pi >(x−3)\right)+1\)
4. \(j(x)=\cot \left(\dfrac<\pi >x\right)+3\)
5. \(k(x)=−\sec \left(\dfrac<\pi >(x+1)\right)−4\)
6. \(m(x)=−\tan (x)+1\)
7. \(p(x)=−2\tan \left(x−\dfrac<\pi >\right)+1\)
8. Знайдіть два способи запису з \(\sec x\) точки зору інших тригонометричних функцій.
9. Знайдіть два способи запису з \(\csc x\) точки зору інших тригонометричних функцій.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть\ sec tion 5.7.

Лексика

Додаткові ресурси

1.6: Інші тригонометричні функції

Визначено функції косинуса та синуса як координати кінцевих точок дуг на одиничному колі. Як ми побачимо пізніше, синус і косинус дають відносини для певних сторін і кутів прямих трикутників. Буде корисно мати можливість співвідносити різні сторони та кути у правильних трикутниках, і нам потрібні інші кругові функції для цього. Ці інші кругові функції — тангенс, котангенс, секанс та косеканс — ми отримуємо шляхом поєднання косинуса та синуса між собою різними способами.

Використання радіанової міри:

1. Для яких значень \(t\) є \(\cos(t) = 0\) ?
2. Для яких значень \(t\) є \(\sin(t) = 0\) ?
3. В яких квадрантах знаходиться \(\cos(t) > 0\) ? В яких квадрантах знаходиться \(\sin(t) > 0\) ?
4. В яких квадрантах знаходиться \(\cos(t) < 0\) ? В яких квадрантах знаходиться \(\sin(t) < 0\) ?

Функція дотичної

Поруч з косинусом і синусом найбільш корисною круговою функцією є тангенс.

Слово тангенс було введено Томасом Фінке (1561-1656) у своєму Flenspurgensis Geometriae rotundi libri XIII, де він використовував слово tangens латинською мовою. З найдавніших відомих вживань деяких слів математики на http://jeff560.tripod.com/mathword.html.

Визначення: тангенс функція

Тангенсна функція – частка синусоїдної функції, поділеної на функцію косинуса. Таким чином, тангенс дійсного числа \(t\) визначається \(\dfrac\) для тих значень, \(t\) для яких \(\cos(t) \neq 0\) . Поширеною абревіатурою для тангенса \(t\) є

У цьому визначенні нам потрібно обмеження, \(\cos(t) \neq 0\) щоб переконатися, що частка визначена. Оскільки \(\cos(t) \neq 0\) всякий раз, коли \(t = \dfrac<\pi> + k\pi\) для \(k\) деякого цілого числа, ми бачимо, що \(\tan(t)\) визначається, коли \(t \neq \dfrac<\pi> + k\pi\) для всіх цілих чисел \(k\) . Таким чином, область дотичної функції є набір всіх дійсних чисел, \(t\) для яких \(t \neq \dfrac<\pi> + k\pi\) для кожного цілого числа \(k\) . Зверніть увагу, що хоча область функцій синуса і косинуса всі дійсні числа, це не вірно для тангенсної функції.

Коли ми працювали з одиничними визначеннями кола косинуса і синуса, ми часто використовували наступну діаграму для позначення знаків \(\cos(t)\) і \(\sin(t)\) коли кінцева точка дуги t знаходиться в даному квадранті.

Розглядаючи \(t\) дугу на одиничному колі, для кінцевої точки \(t\) :

1. В яких квадрантах \(\tan(t)\) позитивний?
2. В яких квадрантах \(\tan(t)\) негативний?
3. Для яких значень \(t\) є \(tan(t) = 0\) ?
4. Повна таблиця 1.4, в якій наведено значення косинуса, синуса та тангенса у загальних опорних дугах у квадранті I.

Таким чином, ми можемо скоротити цей процес, просто використовуючи той факт, що \(\tan(\dfrac<\pi>) = \sqrt\) і що, \(\tan(\dfrac<5\pi>) < 0\) оскільки кінцева точка дуги \(\dfrac<5\pi>\) знаходиться в четвертому квадранті. \[\tan(\dfrac<5\pi>) = -\tan(\dfrac<\pi>) = -\sqrt\]

1. Визначте точні значення \(t = \dfrac<5\pi>\) і \(t = \dfrac<5\pi>\) .
2. Визначте точні значення \(\cos(t)\) і \(\tan(t)\) якщо відомо, що \(\sin(t) = \dfrac\) і \(\tan(t) < 0\) .

2. Спочатку ми використовуємо Піфагорійську Ідентичність. \[\cos^(t) + \sin^(t) = 1\] \[\cos^(t) + (\dfrac)^ = 1\] \[\cos^(t) = \dfrac\]

Взаємні функції

Решта кругові або тригонометричні функції є зворотними функціями косинуса, синуса і тангенса. Так як ці функції взаємні, їх доменами будуть всі дійсні числа, для яких знаменник не дорівнює нулю. Перша, яку ми представимо, – це секантна функція.

Визначення: секантна функція

Функція секанс – це зворотна функції косинуса. Таким чином, секанс дійсного числа \(t\) визначається, щоб бути \(\dfrac\) для тих значень \(t\) де \(\cos(t) \neq 0\) . Поширеною абревіатурою для секанса \(t\) є \[\sec(t) = \dfrac.\]

Оскільки функція тангенс і функція секанс використовуються \(\cos(t)\) в знаменнику, вони мають однаковий домен. Таким чином, область секантної функції є набір всіх дійсних чисел, \(t\) для яких \(t \neq \dfrac<\pi> + k\pi\) для кожного цілого числа \(k\) .

Термін секант був введений Томасом Фінке (1561-1656) у його Томаа Фінкіі Flenspurgensis Geometriae rotundi libri XIII, Basileae: Per Sebastianum Henricpetri, 1583. Вієта (1593) не схвалив термін секантний, вважаючи, що його можна сплутати з терміном геометрії. Він замість цього використовував Transinuosa. З найдавніших відомих вживань деяких слів математики на http://jeff560.tripod.com/mathword.html.

Далі йде функція косеканса.

Визначення: косекансна функція

Функція косеканс – це зворотна січної функції. Таким чином, косеканс дійсного числа \(t\) визначається, щоб бути \(\dfrac\) для тих значень t де \(\sin(t) \neq 0\) . Поширеною абревіатурою для секанса \(t\) є \[\csc(t) = \dfrac.\]

Оскільки \(\sin(t) = 0\) всякий раз \(k\) , коли \(t = k\pi\) для деякого цілого числа, ми бачимо, що область функції косеканс є множиною всіх дійсних чисел t для яких \(t \neq k\pi\) для кожного цілого числа \(k\) .

Нарешті, у нас є функція котангенса.

Визначення: котангенсна функція

Функція котангенса є зворотною січної функції. Таким чином, котангенс дійсного числа \(t\) визначається \(\dfrac\) для тих значень t де \(\tan(t) \neq 0\) . Поширеною абревіатурою для секанса \(t\) є \[\cot(t) = \dfrac.\]

Оскільки \(\tan(t) = 0\) всякий раз \(k\) , коли \(t = k\pi\) для деякого цілого числа, ми бачимо, що область функції котангенса є множиною всіх дійсних чисел, \(t\) для яких \(t \neq k\pi\) для кожного цілого числа \(k\) .

Георг Йоахім фон Лаухен Rheticus, здається, першим вживає термін косеканс (як косекани латиною) у своєму Opus Palatinum de triangulis. З найдавніших відомих вживань деяких слів математики на http://jeff560.tripod.com/mathword.html.

Слово котангенс було введено Едмундом Гюнтером в Canon Triangulorum (Таблиця штучних синусів і дотичних), де він використовував термін котангени латинською мовою. З найдавніших відомих вживань деяких слів математики на http://jeff560.tripod.com/mathword.html.

Примітка про калькулятори

Коли неможливо визначити точні значення тригонометричної функції, ми використовуємо калькулятор для визначення наближених значень. Однак майте на увазі, що багато калькуляторів мають ключі лише для функцій синуса, косинуса та тангенса. За допомогою цих калькуляторів ми повинні використовувати визначення косеканс, секанс та котангенс для визначення наближених значень цих функцій.

Коли це можливо, знайдіть точне значення кожного з наступних функціональних значень. Якщо це неможливо, скористайтеся калькулятором, щоб знайти десяткове наближення до чотирьох знаків після коми.

1. Якщо \(\cos(t) = \dfrac\) і \(\sin(t) < 0\) , визначте точні значення \(\sin(t)\) , \(\tan(t)\) , \(\csc(t)\) , і \(\cot(t)\) .
2. Якщо \(\sin(t) = \dfrac\) і \(\tan(t) > 0\) , визначте точні значення \(\cos(t)\) і \(\cot(t)\) .
3. Що ще один спосіб написати \((\tan(t))(\cos(t))\) ?

2. Якщо \(\sin(x) = -0.7\) і \(\tan(x) > 0\) , ми використовуємо Піфагорійську Ідентичність для отримання \[\cos^(x) + (-0.7)^ = 1\] \[\cos^(x) = 0.51\]

Оскільки нам також дано це \(\tan(x) > 0\) , ми знаємо, що кінцева точка ofx знаходиться в третьому квадранті. Тому \(\cos(x) < 0\) і \(\cos(x) = -\sqrt\) . Отже,

3. Ми можемо використовувати визначення \(\tan(x)\) для отримання \[(\tan(x))(\cos(x)) = \dfrac\cdot \cos(x) = \sin(x)\]

Отже \(\tan(x)\cos(x) = \sin(x)\) , але слід зазначити, що це рівняння справедливо тільки для тих значень, \(x\) для яких \(\tan(x)\) визначено. Тобто, це рівняння дійсне лише якщо не \(x\) є цілим числом кратним \(\pi\) .

Резюме

У цьому розділі ми вивчили наступні важливі поняття та ідеї:

• Тангенсна функція – частка синусоїдної функції, поділеної на функцію косинуса. Так і частка синусоїдної функції, поділеної на функцію косинуса. Тобто \(\tan(t) = \dfrac\) для тих значень, \(t\) для яких \(\cos(t) \neq 0\) . Домен тангенсної функції – це множина всіх дійсних чисел, \(t\) для яких \(t \neq \dfrac<\pi>+ k\pi\) для кожного цілого числа \(k\) .
• Реципрокними функціями є січна, косекансна та тангенсна функції.

Взаємна функція

Recommended articles

1. Article type Section or Page License CC BY-NC-SA License Version 3.0 Show Page TOC No on Page
2. Tags
   1. authorname:tsundstrom
   2. cosecant function
   3. cotangent function
   4. secant
   5. source@https://scholarworks.gvsu.edu/books/12
   6. source[translate]-math-7102
   7. tangent function