Що таке модуль числа

Відстань від 0 до точки, що відображає якесь число, називається модулем цього числа.

Тут треба розуміти, що числова пряма не має масштабу, – тобто, відстань від 0 до 2 буде завжди дорівнює 2, як би близько чи далеко ми не намалювали на числовій прямій точки, що позначають 0 і 2.

Модуль числа позначається двома вертикальними рисками, між якими записується число:

| 3 | – модуль числа 3
| -5 | – модуль числа -5
| 0,35 | – модуль числа 0,35
Оскільки модуль – це відстань, модуль числа не може бути негативним:

| 3 | = 3
| -3 | = 3
| 0 | = 0
Модуль числа 3 і модуль числа -3 рівні, оскільки відстань на числовій прямій від точки -3 до точки 0 дорівнює відстані від точки 0 до точки +3.

Таким чином, в рівнянні | А | = 5, А має два кореня: +5 і -5. Числа +5 і -5 називаються протилежними.

Протилежні числа – це числа, які мають однакові модулі, але різні знаки.

Сума протилежних чисел завжди дорівнює 0.

Числом, протилежним 0, є сам 0.

Рівність | А | = -5 не має сенсу, оскільки модуль не може бути негативним.

В математиці наявність знака “-” перед числом може означати таке поняття, як “число, протилежне даному”.

-А – це число, протилежне числу А.

Число -А може бути негативним, позитивним або нулем, – все залежить від того, яким є число А.

Математика 6 клас – О.С. Істер

Відстань від точки А(-3) до початку відліку точки — О дорівнює 3 одиниці (мал. 73). Число 3 називають модулем числа -3. Пишуть: |-3| = 3 (читають: «модуль числа -3 дорівнює 3»).

– Модулем числа називають відстань від початку відліку до точки, що зображує це число на координатній прямій.

Відстань від початку відліку до точки B(2) на координатній прямій дорівнює 2 одиниці (мал. 74), тому модулем числа 2 є саме число 2. Пишуть: |2| = 2. Модуль числа нуль дорівнює нулю: |0| = 0. Отже,

– модулем додатного числа і числа 0 є саме це число, а модулем від’ємного числа — протилежне йому число.

Це правило можна записати за допомогою фігурної дужки:

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

1) |x| = 4; 2) |x| = 0; 3) |x| = -2.

1) Існують два числа, модулі яких дорівнюють 4; це числа 4 і -4. Отже, x = 4 або x = -4. 2) Існує одне число, модуль якого дорівнює нулю; це число 0. Тому x = 0. 3) Рівняння не має розв’язків, оскільки модуль будь-якого числа завжди є числом додатним або нулем, тобто модуль числа є невід’ємним числом.

1) Модуль числа є завжди додатним числом або нулем: |a| ≥ 0 для будь-якого числа а.

2) Протилежні числа мають рівні модулі: |-a| = |a|.

Приклад 3. Знайти цілі числа, при яких нерівність |х| < 3,1 буде правильною.

Розв’язання. Необхідно знайти цілі числа, відстані від яких до початку відліку менші від 3,1. Такими цілими числами є: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

Що називають модулем числа? Як позначають модуль числа? Як знайти модуль додатного числа або нуля; від’ємного числа? Чи може модуль деякого числа бути від’ємним числом?

914. Назви відстань від початку відліку до кожної з точок:

915. Знайди модуль кожного із чисел: 3; -5,1; 7,8; 14,5; -2015. Запиши відповідні рівності.

916. Знайди |а|, якщо а = -5; 7; 2,3; -4,1.

917. (Усно) Які з рівностей є правильними:

1) |-7| = 7; 2) |-5| = -5; 3) |12| = 12; 4) |37| = -37?

918. (Усно) Із даних чисел вибери число, що має найбільший модуль, і число, що має найменший модуль:

1) -5,7; 4,8; -2,9; 17,3; 2) 14,5; -27,2; 21,9; -13,4.

919. Із даних чисел вибери число, модуль якого є найбільшим, і число, модуль якого є найменшим:

1) 4,7; -6,3; -14,5; 12,3; 2) 1,8; 0; -7,3; -4,5.

920. Запиши усі числа, модуль яких дорівнює: 1) 11; 2) 0,3.

921. Запиши усі числа, модуль яких дорівнює:

922. Знайди значення виразу:

923. Знайди значення виразу:

924. Розв’яжи рівняння: 1) |х| = 8; 2) |х| = -7.

925. Розв’яжи рівняння: 1) |у| = -9; 2) |у| = 1.

926. 1) Відомо, що |а| = 5. Знайди |-а|.

2) Відомо, що |-b| = 7. Знайди |b|.

927. Обчисли значення виразу 2|а| – |b|, якщо:

928. Обчисли значення виразу |m| + 3|n|, якщо:

929. Познач на координатній прямій числа, модуль яких дорівнює

930. Розв’яжи рівняння:

1) |x| – 2 = 3; 2) 5 – |x| = 5;

931. Розв’яжи рівняння:

1) |x| + 7 = 18; 2) 7 – 4 |x| = 3.

932. Знайди x, якщо:

1) |-x| = 5; 2) |-x| = -3; 3) -|x| = -6; 4) -|x| = 0.

933. Знайди у, якщо:

1) |-у| = 8; 2) |-у| = -17; 3) -|у| = -4; 4) -|у| = 8.

934. Знайди всі цілі числа, при яких нерівність буде правильною:

935. Запиши три від’ємних числа, що задовольняють нерівність:

936. На координатній прямій (мал. 74-77) зображено числа m і n. Порівняй модулі цих чисел.

937. (Усно) Чи є правильним твердження? Чому?

1) Якщо два числа рівні, то їх модулі теж рівні;

2) якщо модулі двох чисел рівні, то ці числа рівні.

938. Чи є правильним твердження:

1) модулі протилежних чисел рівні;

2) якщо модулі двох чисел рівні, то ці числа протилежні?

939. На координатній прямій познач усі цілі недодатні числа, у яких модуль менший за 6.

940. Скільки існує цілих чисел, при яких буде правильною нерівність: 1) |x| < 200; 2) |x| < 200,1?

941. Розв’яжи рівняння:

942. Розв’яжи рівняння:

943. Познач на координатній прямій всі цілі числа, при яких буде правильною нерівність:

944. Познач на координатній прямій всі цілі числа, при яких буде правильною нерівність:

945. Порівняй числа:

946. Знайди початок відліку зображеної на малюнку 78 координатної прямої.

947. Чи є правильним твердження:

1) якщо x = -у, то у = -x;

2) якщо m = -n, m = р, то n = р, де n — відмінне від нуля число?

948. Усі числа від 1 до 100 виписані поспіль. Як з утвореного числа викреслити п’ятдесят цифр так, щоб утворене після цього число було найбільшим з усіх можливих?

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

МОДУЛЬ ЧИСЛА

Позначимо на координатній прямій точки А (-6), В (-2) і С (2) (мал. 104). Яка точка розміщена найдалі від початку відліку О? Точка А, оскільки ОА = б од., а ОВ = ОС = 2 од.

Порівнюючи відстані від точок А, В і С до початку відліку, ми шукали довжини відповідних відрізків ОА, ОВ і ОС. Кажуть: ми шукали модуль кожного із чисел – б, -2 і 2. Отже, модуль числа -6 дорівнює б, а модуль числа -2, так само, як і модуль числа 2, дорівнює 2.

Модуль числа позначають двома

Для чисел – б, -2 і 2 можемо записати: |-6| = 6, |-2| = 2, |2| = 2.

Модуль числа показує, на якій відстані від початку відліку знаходиться дане число на координатній прямій.

У цьому полягає геометричний зміст модуля числа. Звідси випливає, що модуль числа не може бути від’ємним числом. Фраза “модуль числа дорівнює -24” не має змісту.

? Чому дорівнює модуль числа 0? Модуль числа 0 дорівнює нулю: |0| = 0.

Розміщення точок В (-2) і С (2) (див. мал. 104) є особливим. Вони знаходяться на тій самій відстані від початку відліку О, але по різні сторони

від нього. Можна сказати і так: щоб дістатися до цих точок від початку відліку, треба рушити в протилежних напрямках і переміститися на однакову відстань – 2 одиниці. Такі числа, як -2 і 2, називають протилежними числами. Вони мають протилежні знаки, але рівні модулі: |-2| = |2| = 2.

Два числа, що мають рівні модулі, але протилежні знаки, називаються протилежними числами.

Число 0 протилежне до самого себе.

? Як записати число, протилежне до даного числа? Для цього достатньо змінити знак даного числа на протилежний. Наприклад, для числа 5 протилежним є число -5, а для числа -5 протилежним є число +5 = 5.

Задача 1. Чому дорівнює модуль: 1) додатного числа; 2) від’ємного числа?

Розв’язання. 1. Нехай а – додатне число. На координатній прямій таке число розміщується праворуч від початку відліку О (мал. 105). Відстань від нього до початку відліку показує саме це число. Отже, модуль додатного числа а дорівнює цьому числу:

|а| = а, якщо а – додатне число.

2. Нехай а – від’ємне число. На координатному промені таке число розміщується ліворуч від початку відліку О (мал. 106). Відстань від нього до початку відліку дорівнює відстані до точки О від протилежного до нього числа: – а. Це означає, що – а – додатне, якщо а – від’ємне. Отже, модуль від’ємного числа а дорівнює протилежному числу:

|а| = – а, якщо а – від’ємне число.

Властивості модуля числа

1. Модуль додатного числа дорівнює самому числу.

2. Модуль від’ємного числа дорівнює протилежному числу.

3. Модуль числа 0 дорівнює нулю.

Задача 2. Знайдіть відстань між точками: 1)А (2) і В (-7); 2) А (2) і С (7); Z)D (-2) і В (-7).

Розв’язання. 1. На координатній прямій позначимо точки А (2) і В (-7) (мал. 107). З умови випливає, що ОА = 2 од., ОВ = 7 од. Оскільки точки А (2) і В (-7) розміщуються по різні сторони від точки О, то АВ = ОВ + ОА = 7 + 2 = 9 (од.). Отже, шукана відстань дорівнює сумі модулів координат даних точок.

2. На координатній прямій позначимо точки А (2) і С (7) (мал. 108). Зумови випливає, щоОА=2 од., ОС-7од, Оскільки точки А (2) і С (7) розміщуються по одну сторону від точки О, то АС = ОС – ОА = 7 -2 = 5 (од.). Отже, шукана відстань дорівнює різниці більшого і меншого модулів координат даних точок.

3. На координатній прямій позначимо точки D (-2) і В (-7) (мал. 109). Зумови випливає, що OD = 2од., ОВ = 7 од. Оскільки точки D (-2) і В (-7) розміщуються по одну сторону від точки О, то DB = ОВ – OD = 7-2 = 5 (од.). Отже, шукана відстань дорівнює різниці більшого і меншого модулів координат даних точок.

Щоб знайти відстань між двома точками за їх координатами, треба:

– додати модулі координат, якщо координати мають різні знаки;

– від більшого модуля координати відняти менший модуль координати, якщо координати мають однакові знаки.

Слово “модуль” – латинського походження: modulus – міра. Донедавна замість “модуль числа” говорили абсолютна величина. Так раніше називали “числа без знаків”, протиставляючи їм так звані “відносні числа” – числа зі знаками. Зараз терміни “відносні числа” й “абсолютна величина числа” вважають застарілими і їх не використовують.

1. Що таке модуль числа?

2. Яких значень може набувати модуль числа?

3. Чому дорівнює модуль числа 0 ?

4. Які числа називаються протилежними?

5. У чому полягає особливість розміщення протилежних чисел на координатній прямій?

6. Що можна сказати про модулі протилежних чисел?

7. Чому дорівнює модуль додатного числа?

8. Чому дорівнює модуль від’ємного числа?

983′. На якій відстані від початку відліку розміщується кожна точка (мал. 110)? Чому дорівнює модуль її координати?

984′. Чи може модуль числа дорівнювати:

985′. Чи є протилежними числа:

1) 6 і -6; 2) 15 і 0; 3) 28 і 82; 4)-56 і 56; 5) 119 і-191?

986′. Чи правильно, що протилежним до числа-10 є число:

987°. На координатній прямій позначте точку з координатою:

Знайдіть модуль координати цієї точки.

988°. На координатній прямій позначте точку з координатою:

1) 0; 2) -5; 3) 8. Знайдіть модуль координати цієї точки.

989°. Модуль координати точки дорівнює:

Яку координату може мати точка?

990°. Модуль координати точки дорівнює:

Яку координату може мати точка?

991°. На координатній прямій побудуйте дві точки, у яких модуль координати дорівнює:

1) 5; 2) 4,5; 3) 2,5; 4) 1.

992°. На координатній прямій побудуйте дві точки, у яких модуль координати дорівнює:

1) 4; 2) 3,5; 3) 3; 4) 1,5.

994°. Чи є протилежними числа:

995°. Чи є протилежними числа:

996°. Серед чисел 32;

Оберіть пари протилежних чисел.

997°. Якими даними треба доповнити таблицю 6?

998°. Запишіть число, якщо протилежним до нього є число:

999°. Запишіть число, яке протилежне до числа:

1000°. Знайдіть р, якщо:

1) – р = 9; 2)-р = -20; 3)-р = 0,4; 4)-р = 0.

1001°. Знайдіть – x, якщо:

1) x = 9,5; 2)х = -6; 3)х = -30; 4)х = 38.

1002°. Розв’яжіть рівняння:

1) – х = 34; 2)-х = 5; 3)-х = -65; 4)-х = -8.

1003°. Розв’яжіть рівняння:

1)-х = 28; 2)-х = 2; 3)-х = -86; 4)-х = -5.

1004°. Якими даними треба доповнити таблицю 7?

1005°. Знайдіть модуль числа:

1)7; 2)-8; 3)-42; 4) 0; 5)-1;

1007°. Знайдіть суму і добуток модулів чисел:

1)-0,6 i 3; 3)44 і-12; 5)-22 і 5;

2)-24 і 12; 4)-15 і -5; 6) -6 і 16.

1008°. Знайдіть суму і добуток модулів чисел:

1) 6 і -3; 2) 24 і-12; 3)-44 і 12; 4)-3 і-25.

1009°. Укажіть числа, модуль яких дорівнює:

1)18; 2)5,4; 3)12,1; 4)254;

1010°. Укажіть від’ємне число, модуль якого дорівнює:

1)24; 2)0,4; 3)14,25; 4)311.

1011°. Розв’яжіть рівняння:

1012°. Розв’яжіть рівняння:

1)|х| = 1; 2)|x| = 125; 3)|x|=7,8;

1013°. Обчисліть значення виразу:

1) 5+ 8 ∙ | х |, якщо: а) x = 0,4; б) x = -0,4;

2) 17 – 16 ∙ | х |, якщо:

1014°. Знайдіть число, протилежне до значення суми:

1) |15| + |38|; 3) |43|+ |-28|;

2) |-16|+ |11|; 4) | -101| + |-61.

1015 . Знайдіть число, протилежне до значення різниці:

1) |14| – |12|; 3) |61| – |-31|;

2)|-21| – |21|; 4) |-11| – | -11|.

1016°. Якими даними треба доповнити таблицю 8?

Яку закономірність ви помітили?

1017°. Порівняйте модулі чисел:

1) -41 і 41; 2)-2,5 і 2,5; 4)-1,5 і 1,5.

1018°. Користуючись координатною прямою, обгрунтуйте, що: |а| = |-а|.

1019°. Знайдіть відстань між точками:

1) А(25) і B(23); 2) С(-2) і D(8); 3) М(-14) і N(-4).

1020. Визначте одиничний відрізок координатної прямої на малюнку 111, якщо модуль координати точки А дорівнює: 1) 3; 2) 2.

1021. Визначте одиничний відрізок координатної прямої на малюнку 112, якщо модуль координати точки В дорівнює: 1) 4; 2) 6.

1022. Користуючись координатною прямою, поясніть суть твердження:

1) число, протилежне до додатного числа, є від’ємним;

2) число, протилежне до від’ємного числа, є додатним.

1023. Знайдіть число, протилежне до числа, яке протилежне до числа:

1)36; 2)217; 3)-96; 4)-127.

1024. Чому дорівнює |а| + а, якщо – а = -5,002?

1025. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 9.

Яку закономірність ви помітили?

1027. Чи правильно, що:

1) протилежним до числа | -31 є число -3;

2) протилежним до числа 4 є число-|-4|?

1028. Чи існує таке число а, що: 1) | a | = -|а|; 2) |a| = -|а|? Якщо так, то наведіть приклад.

1029. Розв’яжіть рівняння:

1) |x|- 70 = 30; 4) |-х| = 54,9;

3) |х|-32 = 79; 6)-|х| =-12.

1030. Розв’яжіть рівняння:

1) |x| =4,2; 2) |-х| =-115; 3)|-x|=0; 4)11 + |х|=43.

1031. Знайдіть: 1)20%числа |-1001; 2) 75% числа |-250| + 112501.

1032. Знайдіть відстань між точками:

1033. У скільки разів відстань між точками А (-62) і М (-7) більша за відстань між точками

1034*. За якого значення а число, що є значенням виразу 2а – 8, є протилежним до себе?

1035*. Розв’яжіть рівняння:

1) ||x|+2| =0; 3) |4-х| + 128 = 0;

1036*. Розв’яжіть рівняння:

1) 3 ∙ |x| = |х| + 8; 2)2 -|х|-6 = |-х|;3)4-|х-2|= |2-х|.

1037*. На координатній прямій (мал. 113) позначено точки, які відповідають числам 1 і а. Перемалюйте малюнок у зошит і позначте точки, які відповідають числам |а|, 2 | а|.

1038*. Знайдіть відстань між точками:

1)А(|а – 11 + 4) i В (|-а+ 1|);

2) А (-|а|) і В (|2а|), якщо відстань між точками М(а) і N(-5a) дорівнює 6 і а – додатне число.

1039*. Спростіть вираз:

|а| + |а + 2| – 2, якщо а – додатне число.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1040. Із пункту А в протилежних напрямках виїхали два автомобілі. Перший вирушив праворуч від пункту А і ‘їхав зі швидкістю 60 км/год. Другий за 2 год проїхав 100 км ліворуч. Якою буде відстань між автомобілями через 2 год після початку руху?

1041. Із пункту А в протилежних напрямках виїхали два велосипедисти. Перший із них проїхав 15 км ліворуч від пункту А. Другий проїхав 23 км праворуч, але потім повернувся на 5 км назад. Який велосипедист опинився на меншій відстані від пункту А?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1042. Назвіть натуральні числа, які менші від 23 і більші за 15.

1043. Назвіть найбільше натуральне число, яке менше від

1044. Виконайте дії:

1)217 м 7 дм 6 см + 95 м 34 см;

2)734 кг 886 г-115 кг 978 г;

3) 1 доба 23 год 56 хв + 4 доби 1 год 24 хв;

4) 4 доби 6 год 15 хв 45 с – 2 доби 23 год 54 хв 20 с.