1. Парні та непарні функції

Вивчення питання про те, чи є задана функція парною або непарною, називається дослідженням функції на парність.

\(1.\) Потрібно встановити, чи симетрична множина \(D (f)\) — область визначення функції. Якщо ні, то зазначити, що функція є ні парною, ні непарною. Якщо так, то переходити до другого кроку алгоритму.

\(a)\) якщо f ( − x ) = f ( x ) для будь-якого x ∈ D ( f ) \(,\) то функція парна;

\(b)\) якщо f ( − x ) = − f ( x ) для будь-якого x ∈ D ( f ) \(,\) то функція непарна;

\(c)\) якщо хоча б в одній точці x ∈ D ( f ) виконується співвідношення f ( − x ) ≠ f ( x ) і хоча б в одній точці x ∈ D ( f ) виконується співвідношення f ( − x ) ≠ − f ( x ) \(,\) то функція \(y=f(x)\) не є ні парною, ні непарною.

Якщо графік функції \(y = f (x)\) симетричний відносно осі ординат, то \(y = f (x)\) — парна функція.

Якщо графік функції \(y = f (x)\) симетричний відносно початку координат, то \(y = f (x)\) — непарна функція.

Як зрозуміти, що телефон прослуховують

В Україні Конституцією гарантується збереження телефонних розмов в таємниці. Прослушка мобільного телефону – справа кримінально карана. Однак, незважаючи на це, завжди знаходяться недобросовісні особи, які не цураються порушити права інших громадян.

Вибирайте смартфони на сайті COMFY!

Зміст:

Причини для такого вчинку можуть бути різними: промислове шпигунство, підозра в невірності одного з подружжя і навіть стеження спецслужб. В останньому випадку прослушка допускається лише після постанови суду і тільки в разі, якщо вона допоможе слідству.

В даний час прослушка мобільного телефону без доступу до телефону найчастіше ведеться за допомогою програм-шпигунів або ж при використанні спецобладнання. Якщо Ви використовуєте стаціонарний телефон, то до нього без особливих проблем можна підключити прослуховуючий пристрій. Також не можна виключати варіант, коли людина з доступом до вашого смартфону може включити переадресацію.

На щастя, існує ряд способів, які не тільки допоможуть зрозуміти, що ви під пильною увагою, а й допоможуть завадити зловмисникам отримати конфіденційну інформацію.

Як перевірити телефон на прослушку за допомогою комбінації або коду

Одним з доступних будь-якому користувачеві смартфона способів виявити прослушку, є використання спеціальних програм. Варто зазначити, що даним методом ви можете виявити порушення ваших прав тільки в разі з переадресацією інформації на інший номер телефону.

Смартфон Xiaomi Redmi Note 11 4/128Gb Graphite Gray

Смартфон Xiaomi Redmi Note 11 4/128Gb Graphite Gray

Смартфон Apple iPhone 11 64GB White

Список команд, що дозволяють дізнатися про прослуховування телефону:

• Введення комбінації *#21# допомагає з’ясувати чи включена на вашому персональному девайсе переадресація дзвінків та текстових повідомлень на інший номер телефону. Працює як на андроїд-пристроях, так і на Айфоні.
• За допомогою коду *#62# ви можете з’ясувати на який номер переадресовується інформація.
• Якщо у вас Айфон, то комбінація *#67# допоможе перевірити номер для переадресації.
• Код *#33# допоможе дізнатися чи встановлене блокування на функції SMS, MMS, а також про внесення номерів телефону в чорний список. Крім цього, дана комбінація дозволяє скасувати внесені зміни.

Ознаки прослушки телефону

Отже, як ми з’ясували вище, певні комбінація цифр для перевірки прослушки телефону допомагають виявити навмисну переадресацію на інші номери. Однак цей спосіб не годиться, якщо зловмисники вирішили прослуховувати вас іншим методом. Наприклад, використовували спецобладнання або встановили шпигунську програму. Але зневірятися не варто. Навіть в цьому випадку виявити прослушку цілком реально. Якщо ви будете дуже уважні й протягом деякого часу прослідкуйте за роботою свого персонального пристрою, то за непрямими ознаками зможете з’ясувати чи встановлено ваш телефон на прослушку або ні.

Ознаки прослушки телефонів наступні:

• При установці програми-шпигуна ви починаєте помічати швидку розтрату заряду акумулятора. Особливо помітно, якщо ваш девайс менше року в експлуатації. На старих пристроях підвищені енерговитрати менш помітні.
• Якщо деякий час ваш смартфон був в спокої, але при цьому відбувався нагрів батареї. Це непряма ознака, що на вашому пристрої встановлена ​​шпигунська програма.
• Також про наявність недобросовісного ПЗ на пристрої може свідчити неправильна робота екрану. Тобто він не відразу відключитися, а із значною затримкою.
• У випадку, коли ваш телефон самостійно вмикається або ж вимикається, але при цьому ви впевнені в встановлених програмах, також слід запідозрити прослушку.

• Ще один простий спосіб, як перевірити телефон на прослушку – помістити заблокований телефон поруч з телевізором або колонками. Якщо ви почуєте звуки перешкод, але ніхто вам в цей момент не дзвонить і не пише, то ваш телефон знаходиться на прослуховуванні.
• Подібним, але більш “екзотичним” чином запідозрити прослушку можна за допомогою лічильника Гейгера. Тріск приладу буде означати, що ваш телефон передає або приймає невстановлений сигнал.
• Якщо ваш телефон підтримує роботу двох SIM-карт, то вас має стривожити поява невідомого оператора мережі.
• Прослушку мобільного телефону можна запідозрити й при телефонній розмові – ви будете чути в динаміці вашого персонального пристрою нехарактерні для нього відлуння або ж тріск.

Як прибрати прослушку з телефону або захист від прослушки

Незалежно від того, чи впевнені ви в прослуховуванні телефону, тільки підозрюєте цей факт або допускаєте, що таке може статися в майбутньому – в більшості випадків ви можете захиститися та навіть зняти прослушку. Дотримуючись, наведеним нижче, рекомендаціям експертів ви зможете позбутися зловмисників.

1. Найпростіший спосіб боротьби з незаконним прослуховуванням буде в разі включеної переадресації. Вище ми ознайомили вас, як дізнатися чи прослуховується телефон за допомогою комбінацій. Цей же спосіб годиться також й для відключення переадресації. Для цього необхідно набрати на телефоні комбінацію ##002#.

1. Також ви можете звернутися до свого оператора мобільного зв’язку, якщо підозрюєте, що вас підслуховують. За допомогою свого обладнання обслуговуюча компанія з великою часткою ймовірності допоможе вам встановити факт незаконного прослуховування.
2. Наступний метод виявити та відключити прослушку – за допомогою установки спеціального ПЗ. Такі програми, як EAGLE Security FREE, Darshak, Android IMSI-Catcher Detector або CatcherCatcher допоможуть не тільки виявити незаконне використання обладнання смартфона, приховане відсилання текстових повідомлень без вашого відома та й навіть перешкоджають підключенню до підставних базових станцій. Хочемо зазначити, що даний метод доступний лише для сучасних смарт-пристроїв і його неможливо застосувати на застарілих телефонах.

Якщо ви помітили незаконне прослуховування вашого пристрою недобросовісними особами – головне не панікуйте. В першу чергу проаналізуйте своє оточення. Особливо зверніть увагу на близьких вам людей. Але в разі, якщо у вас є докази шпигунської діяльності невідомих – обов’язково звертайтеся в поліцію.

17.1.1: Визначення функцій

Алгебра дає нам можливість досліджувати та описувати стосунки. Уявіть собі, кидаючи м’яч прямо в повітрі і спостерігаючи, як він піднімається, щоб досягти найвищої точки, перш ніж опуститися назад у ваші руки. З плином часу висота кульки змінюється. Існує взаємозв’язок між кількістю часу, що минув з моменту кидання і висотою м’яча. У математиці відповідність між змінними, які змінюються разом (наприклад, час і висота) називається відношенням. Деякі, але не всі, відносини також можна охарактеризувати як функції.

Визначення функції

Існує багато видів відносин. Відносини – це просто відповідності між наборами значень або інформації. Подумайте про членів вашої родини та їх віці. Спарювання кожного члена вашої сім’ї та їх віку – це відношення. Кожен член сім’ї може бути в парі з віком у наборі вікових груп членів вашої сім’ї. Іншим прикладом відносин є сполучення держави з сенаторами Сполучених Штатів. Кожна держава може бути узгоджена з двома особами, які були обрані на посаду сенатора. У свою чергу, кожен сенатор може бути узгоджений з одним конкретним станом, який він або вона представляє. Обидва вони є реальними прикладами відносин.

Перше значення відношення є вхідним значенням, а друге – вихідним значенням. Функція – це певний тип зв’язку, при якому кожне вхідне значення має одне і тільки одне вихідне значення. Вхідні дані – це незалежне значення, а вихідне значення – залежне значення, оскільки воно залежить від значення вхідних даних.

Зверніть увагу на першу таблицю нижче, де вхідні дані «ім’я», а вихід – «вік», кожен вхід відповідає рівно одному виводу. Це приклад функції.

Ім’я члена сім’ї

Вік члена сім’ї

Порівняйте це з наступною таблицею, де вхідні дані – «вік», а вихід – «ім’я». Деякі з входів призводять до більш ніж одного виходу. Це приклад листування, яка не є функцією.

Давайте подивимося назад на наші приклади, щоб визначити, чи є відносини функціями чи ні і за яких обставин. Пам’ятайте, що відношення – це функція, якщо для кожного входу є лише один вихід.

Вправа

Яка з наведених нижче ситуацій описує функцію?

1. Ваш вік і ваша вага опівдні в день народження щороку.
2. Кількість людей у професійній бейсбольній команді та назва команди.
3. Діаметр печива і кількість шоколадної стружки в ньому.

1. Правильно. Вік тільки збільшується, тоді як вага може змінюватися. На кожен день народження у вас є лише одна вага опівдні, тому для кожного входу є лише один вихід.
2. Неправильний. Професійні бейсбольні команди мають однакову кількість гравців, тому кількість гравців не залежить від назви команди. Правильна відповідь – ваш вік і ваша вага опівдні в день народження щороку.
3. Неправильний. Хоча більші печива можуть містити більше чіпсів, точна кількість в будь-якому розмірі печива буде змінюватися залежно від рецепту та того, наскільки рівномірно тісто перемішується та розподіляється. Один вхід розміру печива буде виробляти різні виходи чіпів. Правильна відповідь – ваш вік і ваша вага опівдні в день народження щороку.

Відносини можуть бути записані як впорядковані пари чисел або як числа в таблиці значень. Вивчаючи входи (x-координати) та виходи (y-координати), ви можете визначити, чи є відношення функцією. Пам’ятайте, що у функції кожен вхід має лише один вихід. Далі кілька прикладів.

Приклад

Чи задано відношення множиною впорядкованих пар під функцією?

Організувати впорядковані пари в таблиці може допомогти.

За визначенням, входи у функції мають лише один вихід.

Вхід 1 має два виходи: 0 і 5.

Приклад

Чи задано відношення множиною впорядкованих пар під функцією?

Ви можете реорганізувати інформацію, створивши таблицю.

Кожен вхід має тільки один вихід, і те, що це той же вихід (4), значення не має.

Пам’ятайте, що у функції вхідне значення має мати одне і тільки одне значення для виведення.

Домен і діапазон

Існує ім’я для набору вхідних значень та інша назва набору вихідних значень для функції. Безліч вхідних значень називається доменом функції. А набір вихідних значень називається діапазоном функції.

Якщо у вас є набір впорядкованих пар, ви можете знайти домен, перерахувавши всі вхідні значення, які є координатами x. І щоб знайти діапазон, перерахуйте всі вихідні значення, які є y-координатами.

Отже, для наступного набору впорядкованих пар,

Вправа

Джеймі планує продавати домашні пироги по 10 доларів кожен на місцевому фермерському стенді. Сума грошей, яку він робить, – це функція того, скільки пирогів він продає: 0 доларів, якщо він продає 0 пирогів, 10 доларів, якщо продає 1 пиріг, 20 доларів, якщо продає 2 пирога і так далі. Він не хоче, щоб пироги зіпсувалися раніше, ніж зможе їх продати, тому не зробить (або продасть) більше 9 пирогів. Що таке домен і діапазон для цієї функції?

1. Домен: \(\ \\) Діапазон: \(\ \\)
2. Домен: \(\ \\) Діапазон: \(\ \\)
3. Домен: \(\ \\) Діапазон: \(\ \\)
4. Домен: всі числа більше або рівні 0

1. Неправильний. Кількість пирогів – це вхід, а сума грошей – висновок функції. Це означає, що в домені знаходиться вся можлива кількість пирогів, а в асортименті є всі можливі гроші, зроблені з цих пирогів. Правильна відповідь – Домен: \(\ \\) Діапазон: \(\ \\)
2. Правильно. Кількість пирогів Джеймі може продати це вхід, і це може бути будь-яке ціле число від 0 до максимуму він зробив би, 9. Гроші, які він отримує від тих пирогів, завжди кратні 10:0 для пирогів 0, 10 на 1 пиріг, 20 на 2 пироги і так далі.
3. Неправильний. І домен, і діапазон продовжують перевищувати ці значення. Джеймі може продати цілих 9 пирогів, і в результаті він може заробити більше 20 доларів. Ви повинні включити всі можливі значення домену і діапазону. Правильна відповідь – Домен: \(\ \\) Діапазон: \(\ \\) .
4. Неправильний. Джеймі не продає частки пирогів, тому єдиними можливими входами є цілі числа від 0 до 9, а єдино можливі виходи 0 і кратні 10 до 90. Правильна відповідь – Домен: \(\ \\) Діапазон: \(\ \\) .

Приклад

Вкажіть домен і діапазон наступної функції. \(\ \\)

Приклад

Знайдіть домен і діапазон для функції.

Використання тесту вертикальної лінії

Коли як незалежна величина (вхід), так і залежна величина (вихід) є дійсними числами, функція може бути представлена графіком в координатній площині. Незалежне значення наноситься на вісь x, а залежне значення наноситься на вісь -. Той факт, що кожне вхідне значення має рівно одне вихідне значення означає, що графіки функцій мають певні характеристики. Для кожного входу на графіку буде рівно один вихід.

Наприклад, графік функції нижче намальований синім кольором виглядає як півколо. Ви знаєте, що \(\ y\) це функція \(\ x\) тому, що для кожної координати x існує точно одна y-координата.

Якщо ви намалюєте вертикальну лінію на графіку функції, вона перетинає функцію лише один раз для кожного значення \(\ x\) . Це вірно незалежно від того, де буде проведена вертикальна лінія. Розміщення або ковзання такої лінії по графіку є хорошим способом визначити, чи показує вона функцію.

Порівняйте попередній графік з цим, який виглядає як синє коло. Цей зв’язок не може бути функцією, оскільки деякі координати x мають дві відповідні y-координати.

Коли вертикальна лінія розміщується поперек графіка цього відношення, вона перетинає графік більш ніж один раз для деяких значень x. Якщо графік показує два або більше перетинів з вертикальною лінією, то вхідні дані (координата x) можуть мати більше одного виводу (y-координата), а y не є функцією x. графік відношення для визначення того, чи буде вертикальна лінія перетинатися з більш ніж однією точкою, є швидким способом визначити, чи є відношення, показане графіком, функцією. Цей метод часто називають «тестом вертикальної лінії».

Метод вертикальної лінії також може бути застосований до набору впорядкованих пар, побудованих на координатній площині, щоб визначити, чи є відношення функцією. Розглянемо впорядковані пари \(\ \\) , побудовані на графіку нижче.

Тут ви можете побачити, що в наборі пар, щойно перерахованих, кожне незалежне значення має одне і тільки одне залежне значення. Ви також можете перевірити, що вертикальна лінія, що проходить через будь-яку точку, не перетинається з іншою точкою. Горизонтальна лінія перетинає дві точки, але це просто нормально. (Пам’ятайте, що це тест вертикальної лінії, а не тест горизонтальної лінії, який визначає, чи є відношення функцією!)

В іншому наборі впорядкованих пар \(\ \\) , один з входів, 3, може видавати два різних виходи, -1 і -3. Ви знаєте, що це означає: цей набір впорядкованих пар не є функцією. Змова це підтверджує.

Зверніть увагу, що вертикальна лінія проходить через дві нанесені точки. Одна координата x має декілька y-координат. Це відношення не є функцією.

Вправа

Що з наступного являє собою набір впорядкованих пар, що представляють функцію?

1. \(\ \\)
2. \(\ \\)
3. \(\ \\)
4. \(\ \\)

1. Неправильний. Ці числа не згруповані в впорядковані пари. Без належних позначень неможливо знати, які значення є входами, а які – виходами. Правильна відповідь – \(\ \\) .
2. Неправильний. Деякі координати x повторюються і мають різні y-координати. Це не функція. Правильна відповідь – \(\ \\) .
3. Неправильний. Цей набір містить п’ять впорядкованих пар, кожна з яких має координату x 5 та різні y-координати як виходи. Це не функція, оскільки функція вимагає, щоб кожен вхід мав лише один вихід. Правильна відповідь – \(\ \\) .
4. Правильно. Жодна координата x не повторюється, і кожна з них має рівно одну y-координату, \(\ \\) так і функція.

Резюме

У реальному житті і в алгебрі часто пов’язані різні змінні. Коли зміна значення однієї змінної викликає зміну значення іншої змінної, їх взаємодія називається відношенням. Відношення має вхідне значення, яке відповідає вихідному значенню. Коли кожне вхідне значення має одне і тільки одне вихідне значення, це відношення є функцією. Функції можуть бути записані у вигляді впорядкованих пар, таблиць або графіків. Набір вхідних значень називається доменом, а набір вихідних значень називається діапазоном.

Recommended articles