Логарифм числа. Основна логарифмічна тотожність

Означення. Логарифмом числа b за основою a , де a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , називається показник степеню, до якого потрібно піднести основу a , щоб отримати число b .

Позначення. log _a b – читаємо: логарифм від b за основою a ».

Калькулятор логарифмів

Графік

Підставивши в другу формулу значення степені через логарифм, отримаємо основну логарифмічну тотожність.

Основна логарифмічна тотожність

за умови, що a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 можна записати основну логарифмічну тотожність

3 -log₃ 7 = 1 3 log₃ 7 = 1 7

4 log₂ 7 =2 2 log₂ 7 = (2 log₂ 7 ) 2 = 7 2 = 49

2 1 + log₂ 7 = 2 · 2 log₂ 7 = 2 · 7 = 14

Обчислення логарифма рівносильне розв’язанню показникового рівняння

за умови a > 0, a ≠ 1; b > 0, де

x — показник степеню, a — основа степеню, b — степінь числа a .

за умови a > 0, a ≠ 1; b > 0, де

x — логарифм числа b за основою a , a — основа логарифма, b — число, яке стоїть під знаком логарифма.

2 5 = 32 ⇔ 5 = log₂ 32;

3 4 = 81 ⇔ 4 = log₃ 81;

log_1/5 125 = -3 ⇔ (1/5) -3 = 125;

log₂ 1 16 = -4 ⇔ 2 -4 = 1 16 .

Знайти логарифм: log ₄ 8

Позначимо log₄ 8 через x :

Перейдемо до показникової рівності:

Зведемо показникове рівняння до основи 2 і розв&#39яжемо його:

Знайти x якщо : log _x 125 = 3 2

За означенням логарифму маємо:

Піднесемо обидві частини до степеню 2 3 , і скористаємося властивостями степенів:

x = (5 3 ) 2/3 = 5 3·2/3 = 5 2 = 25

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Логарифм числа

Для розв’язування рівняння використано спосіб, де ліву та праву частини рівняння потрібно представити у вигляді степеня з однаковою основою \(3\).

Розглянемо рівняння \(2^x = 8\) (2). Розмірковуючи так само, знаходимо корінь рівняння: \(x=3\). Спробуємо розв’язати рівняння \(2^x = 6\). Геометричну ілюстрацію представлено на рисунку.

Зрозуміло, що рівняння має один корінь, але, на відміну від попередніх випадків, де корені рівняння було не важко знайти (до того ж їх можна знайти й не користуючись графіками), із розв’язуванням рівняння \(2^x = 6\) у нас виникають певні труднощі: за графіком ми не можемо визначити значення кореня, а можемо лише встановити, що цей корінь знаходиться на проміжку від \(2\) до \(3\).

Аналогічно можна розглядати й рівняння \(3^x = 5\), і рівняння \(10^x = 0,3\), і рівняння \(\left(\frac\right)^=4\), і взагалі будь-яке рівняння виду \(a^x = b\), де \(a\) і \(b\) — додатні числа, \(a ≠ 1\). Єдиний корінь рівняння \(a^x = b\) записують так: \(x=\log_\) (читають: «логарифм числа \(b\) з основою \(a\)»).

Логарифмом додатного числа \(b\) з основою \(a\), де \(a > 0\), \(a ≠ 1\), є показник степеня \(x\), до якого потрібно піднести число \(a\), щоб отримати число \(b\).

Широко використовують десяткові логарифми — логарифми з основою 10. Десятковий логарифм числа \(b\) позначають \(\lg\) (без зазначення основи).

Особливе позначення та назву мають не тільки десяткові логарифми, а й логарифми, основою яких є число \(e\): \(\ln\) .

Такі логарифми називають натуральними.

Натуральним логарифмом числа називають логарифм цього числа з основою \(e\), де \(e\) — ірраціональне число, яке приблизно дорівнює \(2,7\). Записують \(\ln\)

ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ

При здійсненні перетворень виразів, які містять логарифми, виконанні обчислень та розв’язування рівнянь часто застосовують різні властивості логарифмів. Розглянемо основні з них.

Нехай \(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, k\) — будь-яке число (\(k ≠ 0)\). Тоді істинними є формули:

За основною логарифмічною тотожністю

Наслідок 1. Якщо числа \(b\) і \(c\) одного знака, то має місце рівність

Наслідок 2. При будь-якому цілому \(k\) і \(b ≠ 0\) має місце рівність

На практиці застосовують також властивості: \(\log_=0, \log_ =1\).

Основні властивості логарифмів широко використовують при перетворенні виразів, які містять логарифми. Окремим видом таких перетворень є логарифмування виразів.

Дію знаходження логарифма числа називають логарифмуванням. Дію знаходження числа за його логарифмом називають потенціюванням.

Прологарифмувати одночлен означає виразити його логарифм через логарифми додатних чисел (позначених цифрами та буквами), які входять до їх складу.

Застосовуючи теореми про логаримф добутку, частки, степеня та кореня, можна прологарифмувати будь-який вираз, що є одночленом.

Потрібен репетитор?

Не зволікай, обирай його прямо зараз!

Отримай можливість скористатись усіма перевагами передової освіти. Запишіться зараз і ми підберемо для тебе зручний графік та комфортну програму занять.

Поспішай! Кількість місць обмежена

Tutor-Math – Репетиторський освітній центр

Слідкуй за нами в соціальних мережах