§ 31. Другий закон Ньютона

У § 30 ви згадали умови, за яких тіло рухається рівномірно прямолінійно. А за яких умов тіло рухається рівноприскорено? Від чого залежить прискорення руху тіла? Відповіді на ці запитання свого часу дав І. Ньютон, сформулювавши другу аксіому руху. Про другий закон Ньютона — основний закон динаміки — йтиметься в цьому параграфі.

1. Формулюємо другий закон Ньютона

Із повсякденного життя ви добре знаєте: тіло швидше змінить швидкість свого руху (набуде більшого прискорення), якщо на нього подіяти з більшою силою. Досліди свідчать: у скільки разів збільшується сила, у стільки ж разів збільшується прискорення, якого набуває тіло в результаті дії цієї сили. Тобто прискорення руху тіла прямо пропорційне силі, прикладеній до цього тіла:

Якщо однаковою силою подіяти на тіла різної маси, то прискорення тіл будуть різними: чим більшою є маса тіла, тим меншим буде його прискорення. Наприклад, якщо до тенісного м’яча та до кулі для боулінгу прикласти однакову силу, то швидкість руху кулі зміниться менше (або знадобиться більше часу, щоб швидкість руху кулі змінити так само, як і м’яча). Тобто прискорення, набуте тілом унаслідок дії сили, обернено пропорційне масі цього тіла:

Маса m — фізична величина, яка є мірою інертності тіла.

Одиниця маси в СІ — кілограм:

Інертність — властивість тіла, яка полягає в тому, що для зміни швидкості руху тіла внаслідок взаємодії потрібен час.

Зв’язок між силою, що діє на тіло, масою тіла та прискоренням, якого набуває тіло внаслідок дії цієї сили, встановлює другий закон Ньютона:

Прискорення, якого набуває тіло внаслідок дії сили, прямо пропорційне цій силі та обернено пропорційне масі тіла:

2. Дізнаємося про наслідки з другого закону Ньютона

1. Саме на основі другого закону Ньютона встановлюють одиницю сили в СІ — ньютон: 1 Н — це сила, яка, діючи на тіло масою m = 1 кг, надає йому прискорення а = 1 м/с 2 :

• Скориставшись знаннями з математики, обґрунтуйте останнє твердження.

3. Другий закон Ньютона дозволяє визначити умову рівноприскореного руху тіла: тіло рухається рівноприскорено прямолінійно тільки в тому випадку, якщо рівнодійна сил, прикладених до тіла, не змінюється з часом.

Рис. 31.2. Якщо рівнодійна сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю, то тіло перебуває в стані спокою (а) або рухається з незмінною швидкістю (б)

Підбиваємо підсумки

Контрольні запитання

1. Від яких чинників залежить прискорення руху тіла? 2. Сформулюйте другий закон Ньютона, запишіть його математичний вираз. 3. Як записати другий закон Ньютона, якщо на тіло діють кілька сил? 4. Що можна сказати про напрямки рівнодійної та прискорення, якого рівнодійна надає тілу? 5. Якою є умова рівноприскореного руху тіла?

1. Потяг масою 5 т рухається з прискоренням 0,5 м/с 2 . Визначте модуль рівнодійної сил, які діють на потяг.

2. Автомобіль рухається прямолінійною ділянкою дороги. Як напрямлена рівнодійна сил, прикладених до автомобіля, якщо він набирає швидкість? сповільнює свій рух?

3. Тіло масою 2 кг, яке рухається на південь, змінює швидкість свого руху внаслідок дії сили 10 Н, напрямленої на схід. Визначте модуль і напрямок прискорення руху тіла.

4. Унаслідок дії сили 15 кН тіло рухається прямолінійно так, що його координата змінюється за законом: х = -200 + 9t – 3t 2 . Визначте масу тіла.

5. На тіло масою 5 кг діють дві взаємно перпендикулярні сили: 12 і 9 Н (рис. 1). Визначте прискорення руху тіла.

6. Скориставшись додатковими джерелами інформації, складіть і розв’яжіть задачу на застосування другого закону Ньютона до руху якогось реального тіла.

7. Хлопчик і дівчинка тягнуть за кінці мотузки (рис. 2). Хто з них почне рухатися? Хто, на вашу думку, набуде більшої швидкості руху? Обґрунтуйте свою відповідь.

Експериментальне завдання

Скориставшись лінійкою та двома брусками різної маси, доведіть:

• 1) що зі збільшенням сили збільшується й прискорення, якого набуває будь-який брусок під час дії сили;
• 2) якщо на різні бруски діятиме та сама сила, то брусок більшої маси набуде меншого прискорення;
• 3) напрямок прискорення завжди збігається з напрямком дії сили.

Опишіть свої дії. Як ви оцінювали прискорення тіл?

2.5: Третій закон руху Ньютона – симетрія в силах

Всякий раз, коли одне тіло чинить силу на інше—перше також відчуває силу (рівну за величиною і протилежну в напрямку). Численні поширені переживання, такі як заколоти носок або кидання м’яча, підтверджують це. Це точно викладено в третьому законі руху Ньютона.

ТРЕТІЙ ЗАКОН РУХУ НЬЮТОНА

Всякий раз, коли одне тіло чинить силу на друге тіло, перше тіло відчуває силу другого тіла, рівну за величиною і протилежну в напрямку до сили, яку вона сама чинить.

Цей закон являє собою певну симетрію в природі: сили завжди відбуваються парами, і одне тіло не може чинити силу на інше, не відчуваючи самої сили. Ми іноді називаємо цей закон вільно «дія-реакція», де сила, що чиниться, є дією, а сила, яку відчувають як наслідок, є реакцією. Третій закон Ньютона має практичне застосування при аналізі походження сил і розуміння того, які сили є зовнішніми для системи.

Ми можемо легко побачити третій закон Ньютона на роботі, поглянувши на те, як люди рухаються. Розглянемо плавця, що відштовхується з боку басейну, як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Вона штовхається ногами до стіни басейну і прискорюється в напрямку, протилежному її поштовху. Стіна надала рівну і протилежну силу назад на плавця. Ви можете подумати, що дві рівні і протилежні сили скасують, але вони не тому, що діють на різні органи. У цьому випадку слід розглянути два тіла: плавець і стіна. Якщо визначити плавця як систему цікавить, як на малюнку, то \(\boldsymbol_>\) це зовнішня сила на цю систему і впливає на її рух. Плавець рухається в напрямку \(\boldsymbol_>\) . На відміну від цього, сила \(\boldsymbol_>\) діє на стіну, а не на нашу систему, що цікавить. При цьому \(\boldsymbol_>\) не впливає на рух системи і не протидіє \(\boldsymbol_>\) . Зверніть увагу, що плавець штовхає стіну в напрямку, протилежному тому, в якому вона бажає рухатися. Сила реакції стіною на неї штовхає її в потрібному напрямку.

Малюнок \(\PageIndex\) : Коли плавець чинить силу \(\boldsymbol_>\) на стіну, вона розганяється в напрямку, протилежному її поштовху. Це означає, що чиста зовнішня сила на неї знаходиться в напрямку, протилежному \(\boldsymbol_>\) . Це протиставлення відбувається тому, що відповідно до третього закону руху Ньютона стіна чинить \(\boldsymbol_>\) на неї силу, рівну за величиною, але в напрямку, протилежному тій, яку вона чинить на неї. Лінія навколо плавця вказує на систему, що цікавить. Відзначимо, що \(\boldsymbol_>\) не діє на цю систему (плавець) і, таким чином, не скасовує \(\boldsymbol_>\) . Таким чином, діаграма вільного тіла показує лише \(\boldsymbol_>\) \(w\) , гравітаційну силу та BF, плавучу силу води, що підтримує вагу плавця. Вертикальні сили \(w\) і БФ скасовуються, оскільки немає вертикального руху.

Інші приклади третього закону Ньютона знайти нескладно. Коли професор крокує перед дошкою, вона чинить силу назад на підлозі. Пол чинить силу реакції вперед на професора, що змушує її прискорюватися вперед. Аналогічно, автомобіль прискорюється, оскільки земля штовхає вперед на ведучих колесах у відповідь на провідні колеса, що штовхаються назад на землю. Ви можете побачити докази того, що колеса штовхаються назад, коли шини обертаються на гравійній дорозі і кидають скелі назад. В іншому прикладі ракети рухаються вперед, виганяючи газ назад з великою швидкістю. Це означає, що ракета чинить велику зворотну силу на газ у камері згоряння ракети, і тому газ надає велику силу реакції вперед на ракету. Ця сила реакції називається тягою. Поширеною помилкою є те, що ракети рухаються самі, натискаючи на землю або по повітрю за ними. Ракети рухаються, штовхаючи власні вихлопні гази, і саме так вони працюють навіть у вакуумі. Вертольоти створюють підйом, штовхаючи повітря вниз, тим самим відчуваючи висхідну силу реакції. Птахи та літаки також літають, надаючи силу на повітря в напрямку, протилежному тому, яка потрібна їм сила. Наприклад, крила птиці змушують повітря вниз і назад, щоб отримати підйом і рухатися вперед. Восьминіг рухається у воді, викидаючи воду через воронку зі свого тіла, схожий на водний мотоцикл. У ситуації, подібній до Санчо, професійні бійці клітини відчувають сили реакції, коли вони ударяють, іноді ламаючи руку, вдаривши тіло супротивника.

Приклад \(\PageIndex\) : Getting Up To Speed: Choosing the Correct System

Професор фізики штовхає візок демонстраційного обладнання до лекційного залу, як видно на малюнку \(\PageIndex\) . Її маса – 65,0 кг, візок – 12,0 кг, а спорядження – 7,0 кг. Обчисліть прискорення, вироблене, коли професор чинить зворотну силу 150 Н на підлогу. Всі сили, що протистоять руху, такі як тертя об колеса візка і опір повітря, всього 24,0 Н.

Малюнок \(\PageIndex\) : Професор штовхає візок демонстраційного обладнання. Довжини стрілок пропорційні величинам сил (крім ff, так як вона занадто мала, щоб намалювати масштаб). У кожному прикладі задаються різні питання; таким чином, система інтересів повинна бути визначена по-різному для кожного. Система 1 доречна для цього прикладу, так як вимагає прискорення всієї групи тіл. Тільки \(\boldsymbol_>\) і \(f\) є зовнішніми силами, що діють на Систему 1 уздовж лінії руху. Всі інші сили або скасовують, або діють на зовнішній світ. Система 2 підходить для Прикладу \(\PageIndex\) так, що \(\boldsymbol_>\) буде зовнішньою силою і увійде в другий закон Ньютона.

Оскільки вони прискорюються як одиниця, ми визначаємо систему, щоб бути професором, візком та обладнанням. Це система 1 на рис \(\PageIndex\) . Професор штовхає назад з \(\boldsymbol_>\) силою 150 Н. Відповідно до третього закону Ньютона, підлога чинить пряму силу \(\boldsymbol_>\) реакції 150 Н на Системі 1. Оскільки весь рух горизонтальний, ми можемо припустити, що немає чистої сили у вертикальному напрямку, і розглядати це як одновимірну проблему в горизонтальному напрямку. Як зазначалося, \(f\) виступає проти руху і, таким чином, знаходиться в протилежному напрямку \(\boldsymbol_>\) . Зверніть увагу, що ми не включаємо сили \(\boldsymbol_>\) або \(\boldsymbol_>\) тому, що це внутрішні сили, і ми не включаємо, \(\boldsymbol_>\) тому що вона діє на підлозі, а не на систему. Інших значних сил, що діють на Систему 1, немає. Якщо чиста зовнішня сила може бути знайдена з усієї цієї інформації, ми можемо використовувати другий закон Ньютона, щоб знайти прискорення за запитом. Див. Схему вільного тіла на малюнку.

Другий закон Ньютона дається

Чиста зовнішня сила системи 1 виводиться з малюнка, \(\PageIndex\) а обговорення вище

\[m=(65.0+12.0+7.0) \mathrm=84 \mathrm. \nonumber\]

Ці значення \(F_>\) і \(m\) виробляють прискорення

Обговорення

Жодна з сил між компонентами системи 1, наприклад, між руками професора та візком, не сприяє чистої зовнішньої сили, оскільки вони є внутрішніми для системи 1. Інший спосіб подивитися на це – відзначити, що сили між компонентами системи скасовуються, оскільки вони рівні за величиною і протилежні в напрямку. Наприклад, сила, що чиниться професором на візок, призводить до рівної і протилежної сили назад на неї. При цьому обидві сили діють на одну і ту ж систему і, отже, скасовують. При цьому внутрішні сили (між компонентами системи) скасовуються. Вибір системи 1 мав вирішальне значення для вирішення цієї проблеми.

Приклад \(\PageIndex\) : Force on the Cart—Choosing a New System

Обчисліть силу, яку професор чинить на візку на малюнку, \(\PageIndex\) використовуючи дані з попереднього прикладу, якщо це необхідно.

Якщо тепер ми визначимо систему, що цікавить, щоб бути візок плюс обладнання (Система 2 на малюнку \(\PageIndex\) ), то чиста зовнішня сила на System 2 – це сила, яку професор чинить на візок мінус тертя. Сила, яку вона чинить на візок \(\mathbf_>\) , є зовнішньою силою, що діє на Систему 2. \(\mathbf_>\) був внутрішнім для системи 1, але він зовнішній для системи 2 і увійде в другий закон Ньютона для системи 2.

Другий закон Ньютона можна використовувати для пошуку \(\mathbf_>\) . Починаючи з

і зазначивши, що величина чистої зовнішньої сили на Системі 2 дорівнює

вирішуємо для \(\mathbf_>\) , потрібну кількість:

Значення \(f\) задано, тому ми повинні обчислити нетто \(F_>\) . Це можна зробити, оскільки відомі як прискорення, так і маса System 2. Використовуючи другий закон Ньютона, ми бачимо, що

де маса Системи 2 становить 19,0 кг ( \(m\) = 12,0 кг + 7,0 кг) і її прискорення було виявлено \(a=1.5 \mathrm / \mathrm^\) в попередньому прикладі. Таким чином,

\ [\ почати
F_ > =m a,\\
F_ > =( 19,0\ математика )\ лівий (1.5\ mathrm /\ mathrm ^ \ праворуч) =29\ mathrm .
\ end \ nonumber\]

Тепер ми можемо знайти потрібну силу:

Обговорення

Цікаво, що ця сила значно менше сили 150-Н, яку професор надав назад на підлогу. Не вся ця 150-N сила передається візку; частина її прискорює професора.

Вибір системи є важливим аналітичним кроком як у вирішенні завдань, так і в доскональному розумінні фізики ситуації (що не обов’язково одне і те ж).

ПОШИРЕНА ПОМИЛКА: РЕАКЦІЯ ПРОТИ. РЕЗУЛЬТАТ

Фрази «дія» і «реакція» стосовно пари сил, описаної третім законом Ньютона, часто призводять до прикро непорозумінь щодо природи сили реакції. Через поширене англійське вживання слова «реакція» (кореневе слово: реагувати) – наприклад, у фільмі «реакція постріл» означає постріл обличчя акторів, коли вони реагують на подію, яка щойно сталася – багато студентів інтуїтивно здогадуються, що існує причинно-наслідковий зв’язок між «силою дії» та «силою реакції».

Таких відносин немає. Третій закон Ньютона описує симетрію в силах. Сила дії і сила реакції симетричні – вони відбуваються одночасно; вони є двома сторонами однієї і тієї ж взаємодії. Сила дії не викликає сили реакції, не більше, ніж голова монети викликає хвіст монети (вони просто відбуваються разом, завжди). Ось швидка перевірка, щоб перевірити, чи правильно ви зрозуміли сполучення сили дії та сили реакції: спробуйте поміняти мітки. Тобто, якщо ви спочатку називали A «сила дії» і B «сила реакції», спробуйте викликати B «сила дії» і А «сила реакції». Чи має таке повторне маркування певний сенс? Якщо ні, швидше за все, ви неправильно визначили пару сили дії та сили реакції. (Тут трохи дивацтва – це нормально, але якщо це відчуває себе повною нісенітницею, щоб поміняти мітки – як розворот причинно-наслідкового зв’язку – це говорить вам, що ви використовували «реакцію» у загальному англійському вживанні, а не те, як це слово використовується в третьому законі Ньютона.)

Резюме розділу

• Третій закон руху Ньютона являє собою основну симетрію в природі. У ньому зазначено: Всякий раз, коли одне тіло чинить силу на друге тіло, перше тіло відчуває силу, рівну за величиною і протилежну в напрямку до сили, яку надає перше тіло.
• Тяга – це сила реакції, яка штовхає тіло вперед у відповідь на зворотну силу. Ракети, літаки та автомобілі висуваються вперед силою реакції тяги.

Глосарій

Третій закон руху Ньютона Всякий раз, коли одне тіло чинить силу на друге тіло, перше тіло відчуває силу другого тіла, рівну за величиною і протилежну в напрямку до сили, яку вона сама чинить. тяга реакція сили, яка штовхає тіло вперед; ракети, літаки, і автомобілі штовхаються вперед тяга, реакція сили на пропелленти штовхнув назад

Recommended articles

5.4: Застосування законів Ньютона

Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є виявлення всіх сил, які діють на об’єкт. Це можна зробити, запитавши себе: «що може бути штовхати або тягнути на предмет?» , а також пробігаючи список сил, який ми перерахували в Розділі 5.2, щоб визначити, чи є будь-яка з них тут актуальна. Для зручності довідки ми відтворюємо типи сил тут і включаємо деякі питання, які ви можете задати собі, щоб вирішити, включати чи ні відповідну силу:

• Вага (чи знаходиться об’єкт поблизу поверхні планети?).
• Нормальні сили (чи стикається предмет з будь-якою поверхнею? Могло бути більше одного!).
• Сили тертя (чи є статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з нормальними силами?).
• Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне за об’єкт?).
• Сили перетягування (чи рухається об’єкт через рідину?).
• Пружинні сили (чи є пружина, що штовхає або тягне на предмет?).
• Прикладені сили (щось інше штовхає або тягне на предмет?).

Малюнок \(\PageIndex\) : Блок на горизонтальному столі.

Блок маси \(m\) знаходиться в стані спокою на горизонтальному столі, як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Які сили чиниться на блок?

Сили на блоці проілюстровані на малюнку \(\PageIndex\) і складають:

1. \(\vec F_g\) , його вага.
2. \(\vec N\) , Нормальна сила, що чиниться площиною. Нормальна сила перпендикулярна межі розділу між столом і блоком. Він вказує вгору в «реакції» на силу вниз, яку блок чинить на стіл. Зниження сили від блоку на стіл не відображається, оскільки ця сила чиниться не на блок, а на стіл.

Блок маси \(m\) is at rest on a inclined surface, as shown in Figure 5.4.3. What forces are exerted on the block?

Малюнок \(\PageIndex\) : Блок на похилій поверхні.

Сили на блоці проілюстровані на малюнку \(\PageIndex\) і складають:

1. \(\vec F_g\) , його вага.
2. \(\vec N\) , Нормальна сила, що чиниться похилою площиною.
3. \(\vec f_s\) , Сила статичного тертя, що чиниться похилою площиною. Без цієї сили блок ковзав би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному перешкоджає руху і паралельна інтерфейсу (і перпендикулярно нормальній силі).

Малюнок \(\PageIndex\) : Блок, що спирається на клиноподібний блок.

Блок маси \(m\) is at rest on a wedge-shaped block of mass \(M\) itself at rest on a horizontal table, as shown in Figure \(\PageIndex\) . What forces are exerted on each of the two blocks?

Оскільки буде занадто безладно малювати всі сили на одній схемі, ми намалювали кожен блок окремо на малюнку \(\PageIndex\) . Зазвичай, коли кілька блоків укладаються один на одного, найпростіше почати з зусиль на верхньому блоці. При цьому верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з Прикладу 5.4.2. Сили, що чиниться на верхній блок, складають:

1. \(\vec F_g^m\) , його вага.
2. \(\vec N^m\) , Нормальне зусилля від клиноподібного блоку.
3. \(\vec f_s^m\) , Сила статичного тертя, що чиниться клиноподібним блоком.

Сили, що чиниться на клиновидний блок, складають:

1. \(\vec F_g^M\) , його вага.
2. \(\vec N^M\) , нормальна сила, що чиниться малим блоком. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна в напрямку до \(\vec N^m\) (дві сили, \(\vec N^m\) і \(\vec N^M\) , які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції сил).
3. \(\vec f_s^M\) , сила тертя, що чиниться малим блоком (знову ж таки, це утворює дію/реакцію пари сил з \(\vec f_s^m\) ).
4. \(N_2^M\) , Нормальна сила, що чиниться столом.

Зусилля для обох блоків показані на малюнку \(\PageIndex\) .

Малюнок \(\PageIndex\) : Сили на блок і клиновидний блок.

Безкоштовні схеми тіла

Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили на об’єкті, дуже гарна ідея намалювати «Діаграму вільного тіла» (FBD). Діаграма вільного тіла – це просто діаграма, де ми малюємо сили на одному об’єкті і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не переживаємо, де на об’єкт діють сили. У наступних розділах ми побачимо, що для розширених тіл має значення, де застосовуються сили. Однак Закони Ньютона, представлені до цих пір, дійсні лише для об’єктів, які можуть бути представлені у вигляді невеликої точки.

Малюнок \(\PageIndex\) : Схема вільного тіла для блоку і клиноподібного блоку з прикладу 5.4.3.

У прикладі 5.4.3 вище ми намалювали б одну діаграму вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на малюнку \(\PageIndex\) .

Малюнок \(\PageIndex\) : Два з’єднаних блоку ковзають вниз по похилій площині.

Два блоки, мас \(m_\) і \(m_\) , розміщені на похилій площині, яка робить кут \(θ\) з горизонталлю. Блоки з’єднуються безмасової струною, як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Два блоки ковзають і прискорюються вниз з прискоренням \(\vec a\) , як показано на малюнку. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком дорівнює \(µ_\) . Намалюйте схему вільного тіла для кожного блоку.

Спочатку ми ідентифікуємо сили на кожній масі (кожному блоці), які потім використовуємо для складання діаграми вільного тіла, показаної на малюнку \(\PageIndex\) . За масою \(m_1\) сили складають:

1. \(\vec F_\) , його вага.
2. \(\vec N_1\) , Нормальна сила, що чиниться похилою площиною.
3. \(\vec f_\) , Сила кінетичного тертя, що чиниться похилою площиною. Сила знаходиться в протилежному напрямку руху, і має величину, задану \(f_=\mu_kN_1\) .
4. \(\vec T\) , Сила натягу від струни.

За масою \(m_2\) сили складають:

1. \(\vec F_\) , його вага.
2. \(\vec N_2\) , Нормальна сила від похилій площині.
3. \(\vec f_\) , Сила кінетичного тертя, що чиниться похилою площиною. Сила знаходиться в протилежному напрямку руху, і має величину, задану \(f_=\mu_kN_2\) .
4. \(-\vec T\) , Сила натягу від струни. Це та ж сила, що і на \(m_1\) , але в зворотному напрямку. Ми вирішили позначити силу як \(-\vec T\) , замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це просто негатив вектора, який представляє силу натягу на \(m_1\) .

На \(\PageIndex\) малюнку ми показали сили на кожному блоці за допомогою діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор для прискорення (ми намалювали вектор для прискорення за допомогою більш товстої стрілки, щоб вказати, що вона має інший вимір). Ми також відтворили кут \(\theta\) на діаграмі вільного тіла, оскільки це корисно, коли діаграма вільного тіла використовується з Другим законом Ньютона.

Використання другого закону Ньютона

Застосування Другого закону Ньютона є простим, як тільки всі сили, що діють на об’єкт, були ідентифіковані. Таким чином, ви повинні переконатися, що ви витрачаєте більшу частину часу на малювання хорошої та повної схеми вільного тіла, перш ніж продовжувати.

Другий закон Ньютона – векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, і вектор прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на компонент вектора.

\[\begin \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z\end\]

Для того, щоб використовувати Другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, щоб ми могли працювати з компонентами векторів (сили та прискорення) у цій системі координат. Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь \(x\) (або \(y\) ) паралельна вектору прискорення. \(\PageIndex\) На малюнку показана діаграма вільного тіла з \(m_1\) блоку з попереднього прикладу (приклад 5.4.4) разом з хорошим вибором системи координат.

Малюнок \(\PageIndex\) , приклад 5.4.4.

Щоб застосувати Другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат з Figure \(\PageIndex\) , ми спочатку записуємо весь вектор, а потім ідентифікуємо їх \(x\) та \(y\) компоненти. Вектори сили такі: Тепер \[\begin \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_&=-f_\hat x+0\hat y\\ \vec F_&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y\end\] ми можемо виписати \(x\) компонент Другого закону Ньютона: \[\begin \sum F_x = T-f_-F_\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore T-f_-F_\sin\theta &= m_1 a\end\] де ми зауважимо, що нормальна сила не має складової в \(x\) напрямку. \(y\) Складова Другого закону Ньютона для маси \(m_1\) задається: \[\begin \sum F_y = N_1-F_&=0\\ \therefore N_1-F_&=0\end\] де відзначимо, що сили натягу і тертя не мають \(y\) складової. Два рівняння, які ми отримали вище для \(x\) і \(y\) повністю вказують рух \(m_1\) блоку, якщо всі величини відомі 3 .

Кілька приміток щодо застосування Другого закону Ньютона:

• Застосовуючи Другий закон Ньютона, проаналізуйте кожну масу в задачі окремо. При цьому не важливо, що блок \(m_1\) з’єднаний мотузкою з блоком \(m_2\) . Після того, як ви визначили всі сили, що діють на \(m_1\) , ви можете написати Другий закон Ньютона для \(m_1\) .
• Другий закон Ньютона – векторне рівняння; це означає, що воно вірно для кожної (скалярної) складової задіяних векторів.
• Ви можете вибрати систему координат, тому виберіть ту, яка дозволяє легко записувати векторні компоненти. Хороший вибір – вибрати \(x\) паралельний вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на складові. Вибір системи координат робиться тільки для того, щоб дозволити вам виписати складові Другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла.
• Обробляти кожну масу окремо (так як Другий закон Ньютона вірний тільки для окремої маси). Це означає, що кожна маса матиме власну діаграму вільного тіла, і ви можете вибрати систему координат, найбільш зручну для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати однакову систему координат для різних мас у задачі.

Наступний приклад показує, як написати Другий закон Ньютона для системи з двох блоків.

Малюнок \(\PageIndex\) : Два блоку з’єднані безмасовою струною і безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.

Блок маси \(m_1\) is placed on an incline that makes an angle of \(\theta\) with the horizontal. The block of mass \(m_1\) is connected by a massless string through a massless pulley to a second block of mass \(m_2\) , which rests on a horizontal surface. The blocks are accelerating in such a way that the block of mass \(m_1\) is accelerating down the incline, as shown in Figure \(\PageIndex\) . The coefficient of kinetic friction between either block and the surface it is resting on is \(\mu_k\) . Write Newton’s Second Law for both blocks.

Спочатку виявляємо сили на кожній масі (кожному блоці). За масою \(m_1\) сили складають:

1. \(\vec F_\) , його вага.
2. \(\vec N_1\) , Нормальна сила, що чиниться похилою площиною.
3. \(\vec f_\) , Сила кінетичного тертя, що чиниться похилою площиною. Сила знаходиться в протилежному напрямку руху, і має величину, задану \(f_=\mu_kN_1\) .
4. \(\vec T_1\) , Сила натягу від струни.

За масою \(m_2\) сили складають:

1. \(\vec F_\) , його вага.
2. \(\vec N_2\) , Нормальна сила від горизонтальної поверхні.
3. \(\vec f_\) , сила кінетичного тертя, що чиниться горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному напрямку руху, і має величину, задану \(f_=\mu_kN_2\) .
4. \(\vec T_2\) , Сила натягу від струни. Ця сила має ту ж величину, що і сила натягу, що \(\vec T_1\) чиниться на масу \(m_1\) , оскільки шків безмасовий.

Потім ми можемо продовжити малювати діаграму вільного тіла для кожної маси і використати її, щоб виписати Другий закон Ньютона. Для маси \(m_1\) діаграма вільного тіла показана на рис \(\PageIndex\) . Ми вибрали систему координат, яка має \(x\) вісь паралельну прискоренню блоку, а \(y\) вісь вгору і перпендикулярно \(x\) осі, як показано на малюнку.

Малюнок \(\PageIndex\) : Діаграма вільного тіла для \(m_\) .

Бо \(m_1\) , ми можемо написати Другий закон Ньютона, починаючи зі \(x\) складових: \[\begin \sum F_x = F_\sin\theta-f_-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 – T_1 &= m_1 a_1\end\] де у другому рядку ми використовували величину ваги ( \(F_=m_1g\) ) і сили кінетичного тертя ( \(f_=\mu_kN_1\) ). Для \(y\) компонента Другого закону Ньютона, в якому прискорення не має складової, ми маємо: \[\begin \sum F_y = N_1 – F_\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta\end\] що показує нам, що величину нормальної сили легко можна виразити через вагу ( \(F_=m_1g\) ) і кут нахилу.

Для \(m_2\) , ми можемо діяти приблизно так само, вибираючи іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для \(m_2\) точок в іншому напрямку (нам не потрібно вибирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо знайдемо, що це полегшує ситуацію). Діаграма вільного тіла для \(m_2\) показана на малюнку \(\PageIndex\) разом з нашим вибором системи координат.

Малюнок \(\PageIndex\) : Діаграма вільного тіла для \(m_\) .

Почнемо з виписання \(x\) складової Другого закону Ньютона для \(m_2\) : \[\begin \sum F_x = T_2 – f_ &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 – \mu_k N_2 = m_2 a_2\end\] де знову ж таки, ми висловили кінетичну силу тертя, використовуючи нормальну силу і коефіцієнт кінетичного тертя. \(y\) Компонент Другого закону Ньютона дає: \[\begin \sum F_y = F_-N_2 &=0\\ \therefore N_2 = m_2g\end\] де знову ж таки, ми виражали вагу в перерахунку на масу і \(g\) , і виявляємо, що нормальна сила має таку ж величину, як і вага.

Тепер, коли ми написали Другий закон Ньютона для кожної маси, ми можемо записати всі чотири рівняння, які ми отримали для опису системи двох мас. Слід також зазначити, що величина сил натягу однакова для двох мас ( \(T_1=T_2=T\) ), і що оскільки маси з’єднані струною, величина їх векторів прискорення однакова ( \(a_1=a_2=a\) ). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему з наступними 4 рівняннями: \[\begin m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 – T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T – \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g\end\] Зі змінних вище ( \(m_1\) \(m_2\) , \(\mu_k\) , \(T\) , \(N_1\) , \(N_2\) , \(a\) ), можна було б тільки потрібно вказати всі, крім чотирьох з них, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати дві маси і коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні.

Виноски

3. Оскільки у нас є два рівняння, нам технічно потрібно лише вказати всі, крім двох величин, щоб мати можливість повністю моделювати рух блоку.