Зміст:
Усі математичні знаки та їх пояснення. Таблиця усіх математичних символів
Mathema зібрала всі математичні знаки та їх пояснення у таблицю математичних знаків. В цій таблиці можна дізнатися що означає ℝ, ∑, ∫, ∪, ∈, та інші знаки.
Що означають математичні знаки?
Усі математичні знаки та символи використовуються для спрощення інформації. Для прикладу навіть найпростіші знаки, як “+” писати простіше ніж “плюс”. Уявіть як виглядали б формули, якщо назву кожного символу доводилось б записувати повністю.
Математичні знаки — це мова, якою між собою спілкуються математики, вчителі та учні, а іноді та люди у щоденному життю.
Таблиця математичних символів
| Символ | Значення | Приклад | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ⇒ | Слідування. Коли A істинне — тоді B істинне. | \[x=2\Rightarrow x^2=4\] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ⇔ | Рівносильність. А рівносильне B. | \[x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y\] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∧ | Кон’юнкція. А ∧ B істинне тоді і тільки тоді, коли А і B обидва істинні. | \[(n>2)\wedge(n<4)\Leftrightarrow(n=3)\] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∨ | Диз’юнкція. А ∨ B істинне, коли хоча б одна з умов А або В є істинною. | \[(n\leq2)\vee(n\geq4)\Leftrightarrow n\neq3\] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ¬ | Заперечення. ¬А істинне тоді і тільки тоді, коли хибно А | \[\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow(\neg A)\vee(\neg B)\] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∀ | Квантор загальності. ∀ P(x) означає “P(x) істинне для всіх x” | \[Аn\in\mathbb,\;n^2\geq n\] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∃ | Квантор існування. ∃x, P(x) означає, що «існує хоча б одне x, таке що P(x) істинне. | \[\exists n\in\mathbb,\;n+5=2n\] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| := :⇔ | Визначення. x:=y означає, що «x за визначенням дорівнює y». | \[\mathrm(x):=\frac12\left(e^x+e^\right)\] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Множина елементів. означає множина елементами якої є a, b, c. | ℕ = | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| < | > | Множина елементів, що задовольняють умові. означає множину усіх x таких, що істинне (P). | \[| ∈ | ∉ Приналежність. Символ ∉ “не належить”. | \[2\in\mathbb\] | ⊆ | Підмножина. А ⊆ B означає “кожен елемент А є також є елементом B. | \[(A\cap B)\subseteq A\] | ⫋ | Власна підмножина. А ⫋ В означає “А ⊆ B і А ≠ B. | ∪ | Обʼєднання. Об’єднанням множини A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B. | \[A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B\] | ⋂ | Перетин. А ⋂ В означає множину елементів, що належать і А, і В одночасно. | \[(x\in\mathbb\,\vert\,x^2=1)\cap\mathbb=(1)\] | \ | Різниця множин. А \ B означає множину елементів, що належать А і не належать В. | \[(1,\;2,\;3,\;4)\setminus(3,\;4,\;5,\;6)=(1,\;2)\] | → | Функція. ƒ: X→Y означає функцію | ƒ, що відображає множину X у множину Y. \[ƒ:\;\mathbb\rightarrow\mathbb,\;що\;визначається\;як\;ƒ(x)\;=\;x^2\] | ℕ | Натуральні числа. ℕ означає множину (1, 2, 3, …). | \[(\left|a\right|\,\vert\,a\in\mathbb)=\mathbb\] | ℤ | Цілі числа. ℤ означає множину (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …) | \[(a,\;-a\,\vert\,a\in\mathbb)=\mathbb\] | ℚ | Раціональні числа. | \[3,14\in\mathbb,\;\pi\not\in\mathbb\] | ℝ | Дійсні числа. ℝ означає множину, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел.. | \[\pi\in\mathbb,\;i\in\mathbb\;(\:і\;-\;комплексне\;число\;і^2=-1)\] | ℂ | Комплексні числа. | \[i\in\mathbb\] | ≈ | Приблизна рівність. \[e\approx2,718\;з\;точністю\;до\;10^\;означає,\;що\;e\;відрізняється\;від\;2,718\;не\;більше\;ніж\;на\;10^\] | √ | Арифметичний квадратний корінь. \[\sqrt xозначає\;додатне\;дійсне\;число,\;яке\;в\;квадраті\;дає\;x\] | \[\sqrt4=2\] | ∞ | Нескінченність. +∞, -∞ елементи розширеної множини дійсних чисел. Ці символи позначають числа, що є меншими/більшими від усіх дійсних чисел. | | | | Модуль числа. |x| означає абсолютну величину x. | \[\left|a+b\cdot i\right|=\sqrt\] | ∑ | Сума. | \[\sum_^4k^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30\] | ∏ | Добуток. | \[\prod_^4(k+2)=3\cdot4\cdot5\cdot6=360\] | |
Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
Подати заявку на урок-діагностику
Що таке – поле – в математиці
Полем називається непорожня безліч P, на якому задані дві бінарні алгебраїчні операції, іменовані складанням і множенням, що задовольняють наступним 10 аксіом:
1.Для будь-яких a, b, c, що належать P, (a + b) + c = a + (b + c) – асоціативність додавання;
2. Для будь-яких a, b належать P, a + b = b + a – коммутативность складання;
3.Существует нульовий елемент 0, що належить P, що для будь-якого елемента a, що належить P, виконується рівність: 0 + a = a + 0 = a – існування нульового елемента;
4. Для будь-якого елементу a існує -а, що виконується рівність: a + (- a) = (- a) + a = 0 – існування протилежного елементу для кожного;
5. Для будь-яких a, b, c, що належать P, (a + b) * c = a * c + b * c, a * (b + c) = a * b + a * c – дистрибутивность множення щодо складання;
6. Для будь-яких a, b, c, що належать P, (a * b) * c = a * (b * c) – асоціативність множення;
7. Для будь-яких a, b належать P, a * b = b * a – коммутативность множення;
8.Существует одиничний елемент 1, що належить P, що для будь-якого елемента a, що належить P, виконується рівність: 1 * a = a * 1 = a – існування одиничного елемента;
9.0 НЕ дорівнює 1. 0,1 належать Р;
10. Для будь-якого елементу a, що не рівного нулю, існує зворотний елемент 1 / а (a в мінус першого ступеня), що виконується рівність: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 – існування зворотного елемента для кожного ненульового.
З числових множин, які вивчаються в школі (представлені на знімку), прикладами поля є тільки безлічі раціональних і дійсних чисел, так як в них виконуються всі умови з визначення поля. А безлічі натуральних чисел (1,2,3.) І цілих чисел (. -3, -2, -1,0,1,2,3,4.) Поле не утворюють, так як для натуральних чисел не виконуються аксіоми 3 , 4,9,10 (досить навіть невиконання однієї аксіоми 3, далі можна не перевіряти), а для цілих чисел – аксіома 10.
Поле в математиці використовується в двох іпостасях.
По-перше, поле – це безліч об’єктів, для яких визначені операції додавання, множення і ділення (крім ділення на нульовий об’єкт), причому таких об’єктів, що результати цих операцій не виходять за межі множини. З цієї причини цілі числа полем не є: результат операції “1 ділити на 2”, очевидно, безлічі цілих чисел не належить. Такий клас множин називається “кільце”.
А ось безліч раціональних чисел вже є полем: частка від ділення одного раціонального числа на інше раціональне залишається раціональним числом.
По-друге, поле – це. це поле. Те, що ми звикли називати полем з фізичної точки зору. З достатнім ступенем спільності можна вважати, що поле – це функція декількох змінних: якщо ми задаємо правило, за яким кожній точці М ставиться у відповідності деяка величина К (не обов’язково навіть число – це може бути і вектор, як для напруженості електричного поля, і навіть тензор, як в Загальній теорії відносності), то у нас тим самим на просторі, якому належать точки М, задано поле.
Опр: А – поле. якщо А – коммутативное кільце з 1 (з одиницею), в якому для будь-якого x ≠ 0 існує хˉ —- ¹ – зворотний елемент, такий, що: х —- · хˉ —- ¹ = x– —— ˉ —- ¹ —- · x = 1 —
Тепер розберемося, що таке кільце, коммутативное кільце і кільце з 1.
Опр. А – кільце. якщо в А задані дві операції:
такі, що виконані наступні аксіоми:
- х + у = у + х;
- x + (y + z) = (x + y) + z;
- Існує 0 (нульовий елемент) такої, що x + 0 = 0 + x = x;
- Для будь-якого х існує (х) такої, що (х) + х = 0;
- x (yz) = (xy) z;
- x (y + z) = xy + xz;
Опр. А – кільце з 1. якщо А – кільце і існує 1 (одиничний елемент) такої, що 1 · х = х · 1 = х.
Дякуємо! А як це використовують? Можете маленький зрозумілий приклад дати? – 3 роки тому
Ну, наприклад, візьмемо безліч цілих чисел Z. Давайте перевіримо, буде воно полем чи ні? За умовою, якщо Z – поле, то воно повинно бути кільцем, комутативним кільцем і кільцем з 1 і при цьому мати зворотний елемент для будь-якого елемента з Z.
Дивимося ..
Чи є Z кільцем?
Так. Множення, додавання присутні. Всі аксіоми виконуються.
Чи є Z комутативним кільцем?
Так, теж є. Наприклад, 5 * 3 = 3 * 5 = 15
Чи є Z кільцем з 1?
Так, є.
АЛЕ Z не є полем, так як не існує зворотного елемента для кожного елемента з Z, так як це цілі числа. А зворотний елемент – це 1 ділити на цей самий елемент. Наприклад, 3 і 1/3. А 1/3 – це не ціле число.
А ось безліч ірраціональних чисел (Q) і речових (R) будуть полями. Розібралися тепер? – 3 роки тому
Це безліч, в якому все числа мають певну властивість. Наприклад, поле цілих чисел.
Відомо, що операції додавання, віднімання і множення виконуються над полем цілих чисел.
Це означає, що якщо скласти, відняти або помножити два цілих числа, то вийде ціле число.
А поділ – не визначене. Буває, що, розділивши одне ціле на інше ціле, ми отримаємо раціональне.
Тому всі 4 дії арифметики виконуються над полем раціональних чисел.
Як би ми не складали, вичитали, множили і ділили раціональні числа, ми знову отримаємо раціональне.
Цілі числа не утворюють поля. Вони утворюють інший клас множин – кільце. – 3 роки тому
Так мабуть. Я насправді не дуже розуміюсь в теорії полів в математиці.
Але по суті я все одно прав. Поле – це безліч чисел, що володіють певним властивістю. – 3 роки тому