Скільки варіантів у МЦКО

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакти

Адміністратор,
розв’язування задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym

Розв’язування задач
Андрій

facebook:
dniprovets25

Шлях до математики: кроки успіху

1. Правило додавання. Якщо І об’єкт можна обрати а способами, а ІІ – b способами, то обрати або І об’єкт або ІІ об’єкт можна a+b способами.
2. Правило множення. Якщо І об’єкт можна обрати а способами, а ІІ – b способами, то обрати і І об’єкт і ІІ об’єкт можна a⋅b способами.
3. Перестановки. Якщо з n об’єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P_n=n!=1⋅2⋅3⋅. ⋅(n-1)⋅n способами.
4. Розміщення. Якщо з n об’єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами.
5. Комбінації. Якщо з n об’єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами.
Примітка. Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210

Г.
Оскільки на вершину гори можна вибрати одну з 5 доріг, а назад – одну з чотирьох, що залишилися, то маємо 5⋅4=20 варіантів вибору.

Г.
Оскільки іноземну мову можна обрати 3 способами, а секцію – 5, то разом можна обрати 3⋅5=15 способами.

А.
Оскільки перший та останній ролик визначено, потрібно визначити лише порядок другого, третього і четвертого із запропонованих. Так як потрібно обрати порядок 3 елементів із 3 запропонованих, то маємо перестановки і їх кількість Р₃=3!=1⋅2⋅3=6.

Г.
Оскільки перша цифра не може бути 0, то на її місце підходить 4 варіанти, на друге – також 4 (одну цифру забрали, а 0 вже можна ставити, на 3- 3, на 4-2 і на останнє місце залишився один варіант. Маємо 4⋅4⋅3⋅2⋅1=96.

А.
Оскільки дріб правильний, якщо чисельник менше знаменника, і дроби та вважаються різними, хоча дорівнюють один одному, то для 2 у чисельнику маємо 7 варіантів знаменника, для 3 – 6, для 4 -5 , для 5-4, для 6-3, для 7-2, для 8-1, для 9-0. Отже кількість варіантів 7+6+5+4+3+2+1=28.

В.
Оскільки порядок вибору листівок не важливий, то їх можна обрати = = = = 4⋅3⋅10 = 120 способами.

2730.
І спосіб. Так як з 15 смайликів потрібно обрати 3, причому важливий порядок, то маємо розміщення = = = = 13⋅14⋅15= 2730.
ІІ спосіб. Після першого речення можемо вставити 1 з 15 смайликів; після другого 1 із 14, що залишилися; після третього 1 із 13, що залишилися. Тоді маємо 15⋅14⋅13= 2730 варіантів.

12.
Так як спочатку потрібно обрати 2 політичні новини P₂=2!=2 способами, потім 3 суспільні новини P₃=3!=2⋅3=6 способами і залиється лише 1 спортивна новина, то маємо 2⋅6⋅1=12 різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці.

90.
1 спосіб. Оскільки потрібно обрати з 10 занять 2, причому порядок важливий (яке заняття дистанційно, а яке – в аудиторії), то маємо розміщення: = = = =9⋅10=90 способів.
2 спосіб. Так як обрати заняття для проведення дистанційно можна 10 способами, а в аудиторії 9 (з 9, що залишилися), то всього 10⋅9=90 способів.

240.
Оскільки водія можна обрати лише 2 способами, а на інші 5 місць всі можливі способи із 5 дорослих, що залишилися після вибору водія, то маємо 2⋅P₅=2⋅1⋅2⋅3⋅4⋅5=240 способів.

24.
Оскільки спочатку промовляють певною мовою (українською), то потрібно розставити послідовність з 4 мов. Маємо Р₄=4!=24 варіанти.

180.
Оскільки хлопця можна обрати 12 способами, а дівчину – 15, то маємо 12⋅15=180.
120.
Оскільки з 5 дат вибираємо 5, то це перестановки. Маємо Р₅=5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120.

12.
На перше місце можна поставити будь-яку з 4, а на друге – будь-яку з 3, що залишилися. Тому маємо 4⋅3=12.

20.
На перше місце можна поставити будь-яку цифру з 4 (2,4,6,8; 0 не можна використовувати на початку числа), а на друге – будь-яку з 5 (1,3,5,7,9). Тому маємо 4⋅5=20.

14.
Оскільки транспортир можна обрати 3 способами, а лінійку – 4, то обрати транспортир з лінійкою можна 3⋅4=12 способами. Крім того, маємо ще 2 набори. Тоді остаточно 12+2=14.

144.
Оскільки варіантів виступів гуртів P₃=3!=1⋅2⋅3=6, а варіантів виступів солістів P₄=4!=1⋅2⋅3⋅4=24, то варіантів виступів спочатку гуртів, а потім солістів 6⋅24=144.

2520.
Оскільки орхідеї можна обрати способами, а хризантеми , то маємо = = = =9⋅5⋅7⋅8=2520 способів.
840.
Оскільки свої фотографії можна обрати способами, а фотографії класу , то маємо = =840.
504.
Оскільки нарциси можна обрати способами, а тюльпани , то маємо = =504.

392.
Оскільки з 2 м’ясних добавок одна обов’язково шинка, то потрібно обрати 1 з 7, що залишилися, тобто її можна обрати способами. Потрібно обрати 3 овочеві добавки з 8 (цибулю виключаємо), їх можна обрати . Тоді існує = = = =7⋅7⋅8=392.

240.
Автобуси можна розставити 5! способами, а автомобілі – 2! способами, то маємо 5!⋅2!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅1⋅2=240.

102.
Блюдце можна вибрати 8 способами, а чашку – 12 способами. Тоді чашку та блюдце можна вибрати 8⋅12=96 способами. Тарілку можна вибрати 6 способами, тому чашку та блюдце, або лише тарілку можна вибрати 96+6=102 способами.

21.
Оскільки «чорна перлина» повинна бути обов’язково, то потрібно вибрати лише 2 коробки з 7, що залишилося. Тому маємо = =21.

15.
Оскільки чисельник може набувати 3 значень, а знаменник – 5, то за правилом добутку маємо 3⋅5=15 варіантів.

НМТ 2023. Завдання з комбінаторики

Пропонуємо окремі завданння з комбінаторики, що пропонувалися на тестуванні у 2023, а також їх розв’язання.

Для повторення теоретичних аспектів радимо спочатку ознайомитися з теоретичними матеріалами, опублікованими на сайті:

Варто звернути увагу на той факт, що завдання з комбінаторики, які пропонувалися під час НМТ у 2023, були переважно на властивості комбінацій, їх суми та добутку. Застосовувалася основна формула:

Розглянемо окремі приклади завдань:

1. Для перевезення учасників змагань потрібно замовити 1 автобус або 2 мікроавтобуси. Скільки всього варіантів вибору за умови наявності 8 автобусів та 6 мікроавтобусів?

Варіантів вибору 1 автобуса з 8- вісім, для знаходження кількості варіантів вибору 2 мікроавтобусів з 6 застосуємо формулу комбінацій:

Оскільки маємо одночасне виконання двох умов, то для знаходження загальної кількості варіантів оберемо правило добутку:

2. Переможцю олімпіади подарують 5 книг ( 2 довідники та 3 художні). Скільки можливих варіантів для створення подарунку, якщо є 8 довідників і 10 художніх книг?

Для розв’язання задачі перемножимо кількість комбінацій з 8 по 2 ( кількість виборів довідників) на кількість комбінацій 3 з 10 ( вибори художніх кіниг):

3. До фіналу творчого конкурсу увійшли 5 співаків та 12 музичних груп. Для участі у благодійному концерті планують залучити 1 співака та 2 музичні групи із фіналістів конкурсу. Скільки всього є варіантів вибору?

Скористаємося правилом множення кількості комбінацій:

4. У квітковому магазині є 12 білих та 26 червоних троянд. Покупець вибирає у цьому магазині дві білі та одну червону троянди. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Оскільки вибор здійснюється одночасно, застосовуємо правило добутку кількості комбінацій з 12 по 2 ( білі троянди) та 1 з 26:

5. На сайті магазину пропонують дивани 10 видів і крісла 15 видів українського виробництва, а також 8 видів імпортних комплектів з дивана та 2 однакових крісел. Скільки всього є варіантів вибору в цьому магазині дивана та 2 крісел одного виду, якщо меблі з комплекту не можна продавати окремо?

Маємо виконання таких умов: 8 імпортних комлектів та добуток комбінацій 1 дивану з 10 та крісел з 15 видів ( неважливо, що їх два, бо крісла повинні бути одного виду). В результаті загальна кількість виборів дорівнює:

6. З чотирьох хлопців та чотирьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів цього вибору?

Враховуємо, що загальна кількість учасників 4, але кількість хлопців та кількість дівчат може коливатися відповідно від 0 до 4. Тобто маємо такі випадки:

Загальна кількість варіантів дорівнює сумі всіх випадків:

Із більшою кількістю завдань можна познайомитися на сайті zno.osvita.ua у розділі: