§ 31. Дисперсія світла

Явище дисперсії світла. Якщо в темній кімнаті скляну призму освітити пучком світла від лампи розжарювання, то, придивившись, можна побачити, що у склі на межі з повітрям пучок білого світла розщепився на декілька кольорових пучків (мал. 143).

Мал. 143. Розкладання білого світла призмою

Це явище вперше досліджував Ісаак Ньютон у 1666 р. й назвав його дисперсією (від лат. dispergo — розкидаю), а кольорову гаму — дисперсійним спектром (від лат. spectrum — марево).

Замість скла можна використовувати лід, органічне скло та інші прозорі для світла матеріали. Що більший показник заломлення матеріалу, то яскравіше виражене явище дисперсії. Середовища, у яких спостерігається явище дисперсії, називають диспергуючими.

З’ясуємо, у чому суть явища дисперсії. У вакуумі всі світлові хвилі, так само як і електромагнітні хвилі інших діапазонів довжин хвиль (частот), поширюються з однаковою швидкістю

Під час перетину межі поділу середовищ швидкість електромагнітної хвилі змінюється, унаслідок чого відбувається її заломлення. Причому кожна монохроматична хвиля має свою певну швидкість поширення в середовищі. Пояснення цього дає теорія дисперсії Гендріка Лоренца на основі електромагнітної теорії світла й електронної будови речовини. Під час проходження електромагнітної хвилі крізь діелектрик на кожний електрон діє електрична сила, під дією якої вони здійснюють коливання. Коливання електронів є джерелом вторинних хвиль, які накладаються на первинні хвилі. Вторинні хвилі внаслідок інерції електронів дещо запізнюються в часі і, накладаючись на первинні хвилі, дають результуючі хвилі з відставанням за фазою порівняно з первинними. Зсув фаз між первинною та результуючою хвилями залежить від частоти коливань напруженості електромагнітного поля Е, тобто світло різних довжин хвиль (частот) матиме різні швидкості поширення в речовині, а отже, й різні значення показника заломлення, оскільки показник заломлення визначається як

Оскільки швидкість поширення світла v в середовищі для кожної монохроматичної хвилі має своє певне значення, то для кожної монохроматичної хвилі sin γ і відповідно кут заломлення γ також набуватимуть певного значення.

Нині термін «дисперсія», який спочатку було введено для пояснення розкладання білого світла в спектр, має ширший зміст. У теорії хвиль термін «дисперсія хвиль» означає залежність фазової швидкості гармонічної хвилі від частоти (довжини) хвилі та, як наслідок, зміну форми довільних (негармонійних) збурень у процесі їх поширення.

Під дисперсією світла розуміють сукупність оптичних явищ, зумовлених залежністю діелектричної проникності речовини (а відповідно, і показника заломлення) від частоти (довжини) світлової хвилі.

Оскільки колір світла визначається частотою світлової хвилі, то вживають і таке визначення: дисперсія світла — це залежність показника заломлення світла (а отже, і швидкості) від його кольору.

Як правило, показник заломлення світла зростає зі збільшенням частоти світла (нормальна дисперсія). Проте поблизу смуг поглинання світла речовиною спостерігається обернене явище, так звана аномальна дисперсія, коли зі збільшенням частоти світла (зменшенням довжини хвилі) показник заломлення світла зменшується.

Нормальна дисперсія видимих променів спостерігається в усіх прозорих безбарвних діелектриках: кварці, склі, воді тощо. Мірою дисперсії, тобто величиною, що показує, на скільки розходяться за заломлення промені в спектрі, служить так звана середня дисперсія, яка є різницею показників заломлення для двох довжин хвиль: блакитної та червоної (n_бл – n_чер).

Графічну залежність показника заломлення від довжини хвилі для деяких речовин наведено на малюнку 144.

Мал. 144. Графічна залежність показника заломлення від довжини хвилі для деяких речовин

З графіків видно, що залежність n = f(λ) має нелінійний характер і зі збільшенням довжини хвилі показник заломлення зменшується. Короткі хвилі заломлюються сильніше, ніж довгі. Іншими словами, червоний колір у речовині поширюється з найбільшою швидкістю, тому менше заломлюється, а промінь фіолетового кольору поширюється з найменшою швидкістю і найбільше заломлюється.

Неперервний спектр світла. Світло Сонця, лампи розжарювання, свічки розкладається призмою в суцільний (неперервний) спектр. Це свідчить про те, що ці тіла випромінюють хвилі всіх можливих частот (довжин) хвиль.

З кривої дисперсії для скла (мал. 144) видно, що в області коротких хвиль показник заломлення скла зі зміною довжини хвилі змінюється швидко, а в області довгих хвиль — повільно. Тому дисперсійний спектр білого світла стиснутий у червоній частині й розтягнутий у фіолетовій. Як відомо, дифракційна ґратка також розкладає біле світло у спектр, але утворений нею спектр, окрім кольорових смужок, має ще й чорні. До того ж дифракційний спектр (мал. 141, с. 150) відрізняється від дисперсійного ще й тим, що в ньому кольори розміщуються в порядку зростання довжин хвиль, і він рівномірно розтягнутий на всіх своїх ділянках.

Розкладанням білого світла на кольори внаслідок заломлення пояснюється виникнення веселки. Веселку видно тоді, коли спостерігач дивиться в напрямку від Сонця і в повітрі є краплі води (мал. 145).

Мал. 145. Заломлення світла в краплині води

Для певного кута падіння променів на краплю на межі вода—повітря всередині краплі відбувається повне відбивання. Оскільки фіолетові промені заломлюються більше, ніж червоні, після виходу з краплі вони розбігаються: червоні промені утворюють з падаючим променем кут близько 43°, а фіолетові — близько 41°.

Колір. Знаючи, що біле світло має складну структуру, можна пояснити велику різноманітність кольорів у природі. Якщо предмет, наприклад, аркуш паперу, відбиває всі промені різних кольорів, то він здаватиметься білим. Трава й листя дерев здаються нам зеленими тому, що з усіх падаючих на них сонячних променів вони відбивають лише зелені, поглинаючи решту. Якщо подивитись на траву крізь червоне скло, яке «пропускає» тільки червоні промені, то трава здаватиметься майже чорною.

Відчуття того чи того кольору, яке виникає в очах спостерігача, залежить від частоти світлової хвилі, а не від її довжини. Унаслідок того, що під час переходу електромагнітної хвилі з одного середовища в інше її частота лишається незмінною, колір, який сприймається людиною в повітрі та, наприклад, у воді, буде однаковим.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Чому біле світло, проходячи крізь призму, розкладається в кольоровий спектр? 2. Яке світло буде поширюватися в речовині призми (склі) з більшою швидкістю — червоне чи фіолетове? 3. Подивіться крізь призму на білий аркуш паперу, коли її заломне ребро паралельне одному з боків аркуша. Як розташовані кольорові смуги відносно аркуша? Чому?

Дисперсія

У цій статті ми пояснюємо, що таке дисперсія, яка також називається дисперсією, і як вона обчислюється. Ви знайдете формулу дисперсії, конкретний приклад обчислення дисперсії та, крім того, ви зможете розрахувати дисперсію будь-якого набору даних за допомогою онлайн-калькулятора.

Ми також покажемо вам, як знайти дисперсію згрупованих даних, оскільки це робиться іншим способом. Нарешті, ми навчимо вас різниці між дисперсією сукупності та дисперсією вибірки, різницею між дисперсією та стандартним відхиленням і властивостями цього статистичного показника.

Що таке дисперсія?

У статистиці дисперсія — це міра дисперсії, яка вказує на мінливість випадкової величини. Дисперсія дорівнює сумі квадратів залишків, поділеної на загальну кількість спостережень.

Майте на увазі, що нев’язка розуміється як різниця між значенням точки статистичних даних і середнім значенням набору даних.

У теорії ймовірностей символом дисперсії є грецька літера сигма в квадраті (σ 2 ). Хоча він також зазвичай представлений як Var(X) , де X є випадковою змінною, з якої обчислюється дисперсія.

Загалом, інтерпретація значення дисперсії випадкової змінної проста. Чим більше значення дисперсії, тим більше розсіяні дані. І навпаки, чим менше значення дисперсії, тим менша дисперсія буде в ряді даних. Однак, інтерпретуючи дисперсію, слід бути обережним із викидами , оскільки вони можуть спотворити значення дисперсії.

дисперсії, іншими показниками, які вважаються крім дисперсії, є діапазон, стандартне відхилення, середнє відхилення та коефіцієнт варіації.

Як розрахувати розрив

1. Знайдіть середнє арифметичне набору даних.
2. Обчисліть залишки, визначені як різниця між значеннями та середнім значенням набору даних.
3. Зведіть кожен залишок у квадрат.
4. Додайте всі результати, обчислені на попередньому кроці.
5. Розділіть на загальну кількість даних. Отриманий результат є дисперсією ряду даних.

Підсумовуючи, формула для обчислення дисперсії набору даних виглядає так:

це випадкова змінна, для якої потрібно обчислити дисперсію.

– загальна кількість спостережень.

є середнім значенням випадкової величини

👉 Ви можете скористатися калькулятором нижче, щоб обчислити дисперсію будь-якого набору даних.

Тому, щоб отримати дисперсію з ряду даних, важливо знати, як обчислюється середнє арифметичне. Якщо ви не пам’ятаєте, як це зробити, ви можете перевірити це в статті, за посиланням вище.

Приклад відхилення

• З транснаціональної компанії відомий економічний результат, який вона мала за останні п’ять років, здебільшого вона отримала прибуток, але за один рік вона представила значні збитки: 11,5, 2, -9, 7 мільйонів євро. Обчисліть дисперсію цього набору даних.

Як ми бачили в поясненні вище, перше, що нам потрібно зробити, щоб знайти дисперсію ряду даних, це обчислити його середнє арифметичне:

І коли ми знаємо середнє значення даних, ми можемо використовувати формулу дисперсії:

Підставляємо дані, надані оператором вправи, у формулу:

Нарешті, все, що залишилося, це вирішити операції для обчислення дисперсії:

Зверніть увагу, що одиниці дисперсії є тими самими одиницями статистичних даних, але зведені в квадрат, тому дисперсія цієї групи даних становить 45,76 мільйонів євро 2 .

Калькулятор розриву

Введіть набір статистичних даних у наступний калькулятор, щоб обчислити його дисперсію. Дані повинні бути розділені пробілом і введені крапкою як десятковим роздільником.

Дисперсія для згрупованих даних

1. Знайдіть середнє значення згрупованих даних.
2. Обчисліть залишки згрупованих даних.
3. Зведіть кожен залишок у квадрат.
4. Помножте кожен попередній результат на частоту його інтервалу.
5. Складіть суму всіх значень, отриманих на попередньому кроці.
6. Розділіть на загальну кількість спостережень. Отримане число є дисперсією згрупованих даних.

Іншими словами, формула для обчислення дисперсії даних, згрупованих в інтервали, виглядає наступним чином:

Хоча зазвичай використовується наведена вище формула, алгебраїчний вираз, наведений нижче, також можна використовувати, оскільки він еквівалентний:

Як приклад, ми знайдемо дисперсію наступного згрупованого ряду даних:

Спочатку нам потрібно визначити середнє значення згрупованих даних. Для цього додаємо в таблицю частот стовпець з добутком позначки класу на частоту:

Тепер ми обчислюємо середнє значення згрупованих даних, розділивши суму доданого стовпця на загальну кількість даних:

І з середнього значення обчислених даних ми можемо додати наступні три стовпці:

Отже, дисперсія об’єднаного набору даних – це сума останнього стовпця, поділена на загальну кількість спостережуваних даних:

Дисперсія і стандартне відхилення

Дисперсія та стандартне відхилення (або стандартне відхилення) є двома мірами дисперсії, тому обидва вказують на ступінь дисперсії набору даних. Однак різниця між дисперсією та стандартним відхиленням полягає в тому, що загалом дисперсія має більші значення, оскільки вона є квадратом стандартного відхилення.

Стандартне відхилення зазвичай позначається грецькою літерою сигма (σ), і з цієї причини дисперсія представлена літерою сигма в квадраті (σ 2 ), оскільки це математичний зв’язок, який існує між цими двома метриками дисперсії.

Отже, коли ви обчислили значення дисперсії набору даних, ви можете легко знайти значення стандартного відхилення того самого набору, просто взявши квадратний корінь з дисперсії.

Дисперсія сукупності та дисперсія вибірки

Логічно, дисперсія генеральної сукупності відноситься до розрахунку дисперсії статистичної генеральної сукупності, а замість цього дисперсія вибірки застосовується до розрахунку дисперсії вибірки. Однак це дві різні концепції, оскільки формула дисперсії сукупності відрізняється від формули дисперсії вибірки.

Зазвичай у вправах на дисперсію, якщо вони не говорять нам про інше, щоб знайти дисперсію наданого набору даних, ми повинні використовувати формулу дисперсії генеральної сукупності , яку ми пояснювали на початку статті:

Але, можливо, у деяких задачах вас просять розглядати статистичні дані як вибірку, і в цьому випадку нам потрібно використовувати формулу дисперсії вибірки :

Зауважте, що для вказівки на те, що дисперсія генеральної сукупності обчислюється, вона позначається грецькою літерою σ, але коли дисперсія вибірки обчислюється, використовується літера s.

Як ви бачите, єдина різниця між двома формулами полягає в тому, що дисперсію вибірки нам потрібно поділити на загальну кількість спостережень мінус 1, наприклад, якщо загалом є 30 елементів даних, ми поділимо на 29 Але розрахунок чисельника проводиться точно так само.

Властивості дисперсії

• Дисперсія будь-якої випадкової величини завжди буде більше або дорівнює нулю. Так само, якщо дисперсія дорівнює нулю, це означає, що всі статистичні дані однакові.

• Дисперсія добутку скаляра на змінну еквівалентна цьому скаляру в квадраті, помноженому на дисперсію змінної.

• Дисперсія суми двох залежних змінних еквівалентна сумі дисперсії кожної змінної окремо плюс подвоєна коваріація між двома змінними.

• Отже, якщо дві змінні незалежні, то для визначення дисперсії їх суми достатньо скласти їх дисперсії:

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Дисперсія світла

Вперше досвід по розкладу світла в спектр був зроблений Ісааком Ньютоном в 1666 році. Він зробив маленький отвір у віконному віконниці і в сонячний день отримав вузький пучок світла , на шляху якого поставив трикутну скляну призму . Пучок заломився в ній , і на протилежній стіні з’явилася кольорова смуга , де розташувалися в певному порядку всі кольори веселки : червоний , помаранчевий , жовтий , зелений , блакитний , синій і фіолетовий . Цю кольорову смугу Ньютон назвав спектром ( від латинського « Спектрум » – видиме ) .

Найменшого відхилення від початкового напрямку падіння зазнають червоні промені , а найбільшого – фіолетові .

Після такого експерименту Ньютон зробив перший висновок : розкладання білого світла в кольоровий спектр означає , що біле світло має складну структуру , тобто є сумішшю всіх кольорів веселки .

Другий висновок Ньютона полягав у тому , що світло різних кольорів характеризується різними показниками заломлення в певному середовищі . Це означає , що абсолютний показник заломлення для фіолетових кольорів більший , ніж для червоних .

Залежність показника заломлення світла від його кольорів Ньютон назвав дисперсією ( від латинського слова dispersio – “ розсіювання “ ) .

Однак Ньютон був прихильником корпускулярної теорії світла і пояснити явище дисперсії не міг .

Дисперсія світла

Згідно хвильової теорії колір світла визначаються частотою електромагнітної хвилі , якою є світло . Найменшу частоту має червоне світло , найбільшу – фіолетове . Виходячи з дослідів Ньютона і спираючись на хвильову теорію світла , випливає висновок : показник заломлення світла залежить від частоти світлової хвилі .

Дисперсія світла – це явище розкладання світла в спектр , зумовлене залежністю абсолютного показника заломлення середовища від частоти світлової хвилі .

Що від чого залежить ?

Різним швидкостям поширення хвиль відповідають різні абсолютні показники заломлення середовища
.

Тобто , промінь червоного кольору заломлюється менше через те , що він має в речовині найбільшу швидкість , а промінь фіолетового кольору – найменшу .

Частота та довжина хвилі зв’язані між собою

З формули видно , що довжина хвилі прямо пропорційна швидкості світла і обернено пропорційна частоті . Звідси випливає те , що довжина хвилі більше в тому середовищі , де швидкість хвилі більше ( при заданій частоті ) .

Тому можна стверджувати , що абсолютний показник заломлення зменшується відповідно до збільшення довжини світлової хвилі і збільшується відповідно до зменшення довжини світлової хвилі .

Отже, під час переходу з одного середовища в інше швидкість поширення світлової хвилі, а відповідно і довжина хвилі, змінюється , а частота , а відповідно і колір світла, залишається незмінним .

Як око розрізняє кольори ?

На сітківці ока розташовані світлочутливі елементи – нервові закінчення , які називають « паличками » і « колбочками » . Палички відрізняють тільки світле від темного . Колбочки є трьох типів – їх умовно називають « червоні » , « зелені » і « сині » . Тому що « червоні » колбочки найбільш чутливі до червоного кольору , « зелені » – до зеленого , а « сині » – до синього . І все різноманіття видимих нами кольорів обумовлено « сигналами » , що посилаються в мозок всього трьома типами колбочок .

Додавання кольорів

Віднімання кольорів

Залишити відповідь Скасувати відповідь

Щоб відправити коментар вам необхідно авторизуватись.