Види трикутників. Співвідношення між кутами і сторонами трикутника

Трикутником називають геометричну фігуру, складену з трьх відрізків, які з’єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Зазначені відрізки називаються сторонами трикутника, а точки – його вершинами. На малюнку що міститься нижче, зображено трикутник , де – вершини трикутника, і відрізки – його сторони.

Різносторонній трикутник

Зауваження: виходячи з того, що сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути, то трикутник можна також визначити як багатокутник, у якого є рівно три кути.

Залежно від довжин сторін трикутника (довжин відрізків) та величини кутів між ними, виділяють різні види трикутників. Розглянемо характерні ознаки кожного з них.

Отже, трикутник називають різностороннім, якщо всі його сторони мають різну довжину. Як видно з рисунка вище, виходячи з того, що , приходимо до висновку, що трикутник – різносторонній.

Трикутник називають рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називають бічними сторонами і третю – основою рівнобедреного трикутника. У трикутнику , який зображено нижче, сторони являються бічними, а сторона – основою.

Рівнобедрений трикутник

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім або правильним. На наступному малюнку зображено рівносторонній трикутник ( ).

Рівносторонній трикутник

Далі, розглянемо, яким чином класифікують трикутники за величиною кутів. Отже, трикутник називають тупокутним, якщо один з його кутів тупий. Відмітимо, що перший з зображених вище трикутників, крім того, що відноситься до типу різносторонніх, також і являється тупокутним (величина одиного з його кутів, а саме , є більшою за і меншою від ).

Трикутник називають прямокутним, якщо один з його кутів є прямим. У прямокутному трикутнику сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута – гіпотенузою. Зображений вище рівнобедрений трикутник , виходячи з того, що кут є прямокутним.

Трикутник називають гострокутним, якщо всі його кути є гострими. Рівносторонній трикутник (останній з зображених трикутників) є гострокутним (величина кожного з його кутів більша від і менша за ).

Після того як з класифікацією розібрались, коротко розглянемо основні властивості елементів трикутника і на цьому, вивчення геометричної фігури такого типу, в даному параграфі, завершимо:

1. 1. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша суми двох інших його сторін (дана властивість також відома як нерівність трикутника). Ця властивість виконується для будь-якого виду трикутників – рівнобедрених, рівносторонніх та інших. Нерівність трикутника є умовою існування трикутника.
   2. Проти більшої сторони трикутника лежить більший його кут, і навпаки.
   3. Проти рівних сторін трикутника лежать рівні кути, і навпаки. Зокрема, всі кути в рівносторонньому трикутнику рівні.
   4. Сума кутів трикутника дорівнює . З двох останніх властивостей випливає, що кожен кут в рівносторонньому трикутнику дорівнює .
   5. Продовжуючи одну із сторін трикутника, наприклад, сторону , отримуємо зовнішній кут . Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з ним, тобто .

   Зовнішній кут трикутника

   1. Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.
   2. Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині для будь-якого виду трикутників, дорівнює .

   Задачі на трикутник – приклад:

   В рівнобедренному трикутнику сторони та рівні, а . Знайти .

   Трикутник ABC

   Перейшовши до розв’язку, на першому кроці, позначимо величину кута через . Тоді, виходячи з того, що в рівнобедреному трикутнику, проти рівних сторін, лежать рівні кути, отримаємо: . Далі, скориставшись властивістю про суму кутів трикутника, знаходимо значення невідомої : . Звідси, шуканий кут трикутника дорівнює градусів ( ).

   Трикутник. Формули та властивості трикутників.

   Означення. Трикутник – фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

   Типи трикутників

   За величиною кутів

   За кількістю рівних сторін

   Вершини, кути та сторони трикутника

   Властивості кутів та сторін трикутника

   У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Проти рівних сторін лежать рівні кути: якщо α > β , тоді a > b якщо α = β , тоді a = b

   Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника більша за довжину сторони, що залишилася: a + b > c
   b + c > a
   c + a > b

   Теорема синусів

   Теорема косинусів

   Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвійний добуток цих сторін на косинус кута між ними. a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

   Теорема про проекції

   Формули для обчислення довжин сторін трикутника

   Формули сторін через медіани a = 2 3 √ 2( m_b 2 + m_c 2 ) – m_a 2 b = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_c 2 ) – m_b 2 c = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_b 2 ) – m_c 2

   Медіани трикутника

   Означення. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

   Властивості медіан трикутника:

   Медіани трикутника перетинаються в одній точці. (Точка перетину медіан називається центроїдом)

   Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників. S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

   Формули медіан трикутника

   Формули медіан трикутника через сторони

   m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

   m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

   m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

   Бісектриси трикутника

   Властивості бісектрис трикутника:

   Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, – центрі вписаного кола.

   Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника

   Формули бісектрис трикутника

   Формули бісектрис трикутника через сторони:

   де p = a + b + c 2 – напівпериметр трикутника

   Формули бісектрис трикутника через дві сторони і кут:

   Висоти трикутника

   Означення. Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.

   • бути всередині трикутника – для гострокутного трикутника;
   • збігатися з його стороною – для катета прямокутного трикутника;
   • проходити поза трикутником – для гострих кутів тупокутного трикутника.

   Властивості висот трикутника

   Формули висот трикутника

   Коло вписане в трикутник

   Означення. Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх трьох його сторін.

   Властивості кола вписаного в трикутник

   Формули радіусу кола вписаного в трикутник

   r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

   Коло описане навколо трикутника

   Означення. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно містить усі вершини трикутника.

   Властивості кола описаного навколо трикутника

   Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

   Центр описаного кола лежить усередині гострокутного трикутника, зовні тупокутного трикутника, на середині гіпотенузи прямокутного трикутника.

   Формули радіуса кола описаного навколо трикутника

   R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

   Зв’язок між вписаним та описании колами трикутника

   Середня лінія трикутника

   Властивості середньої лінії трикутника

   MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

   3. Середня лінія відсікає трикутник, подібний до цього, площа якого дорівнює чверті площі вихідного трикутника

   4. При перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.

   Ознаки. Якщо відрізок паралельний одній із сторін трикутника і з’єднує середину сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, цей відрізок – середня лінія.

   Периметр трикутника

   Периметр трикутника ∆ ABC дорівнює сумі довжин його сторін

   Формули площі трикутника

   Формула площі трикутника по стороні та висоті
   Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти

   Формула Герона

   Формула площі трикутника за двома сторонами та кутом між ними
   Площа трикутника дорівнює половині добутка двох його сторін помноженого на синус кута між ними.

   Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
   Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

   Рівність трикутників

   Властивість. У рівних трикутників рівні їх відповідні елементи. (У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, проти рівних кутів лежать рівні сторони)

   Ознаки рівності трикутників

   Перша ознака рівності трикутників – за двома сторонами та кутом між ними

   Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

   Друга ознака рівності трикутників – за стороною та двом прилеглим кутам

   Якщо сторона і два кути, що прилягають до неї одного трикутника, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

   Третя ознака рівності трикутників – за трьома сторонам

   Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

   Подібність трикутників

   Означення. Подібні трикутники – трикутники відповідні кути яких рівні, а відповідні сторони пропорційні.

   ∆АВС ~ ∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

   де k – коефіцієнт подібності

   Ознаки подоби трикутників

   Перша ознака подоби трикутників

   Друга ознака подібності трикутників

   Третя ознака подоби трикутників

   Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

   Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

   Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
   Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

   Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

   4.3: Класифікуйте трикутники за допомогою вимірювання сторони

   Малюнок \(\PageIndex<1>\) Таша відправляється в плавання з батьком на старому човні батька. Вітрило виглядає як трикутник. Всі сторони вітрила мають різну довжину. Таша хоче класифікувати трикутник, але вона не впевнена, як його назвати. З огляду на довжини сторін трикутника, як Таша може класифікувати трикутник? У цій концепції ви дізнаєтеся, як класифікувати трикутники за довжиною їх сторін.

   Класифікація трикутників за довжиною сторін

   Ви можете використовувати довжини сторін, щоб допомогти вам класифікувати трикутники. Давайте розглянемо, як класифікувати трикутники по довжині сторони. Рівносторонній трикутник має однакові довжини сторін. Ось приклад. Малюнок \(\PageIndex\) Ці маленькі лінії дають вам знати, що довжини сторін однакові. Іноді ви побачите їх, а іноді ні, можливо, вам доведеться з’ясувати це самостійно або вимірюючи за допомогою лінійки. Скальний трикутник – це трикутник, де довжини всіх трьох сторін різні. Ось приклад сходового трикутника. Малюнок \(\PageIndex\) Ви можете бачити, що всі три сторони трикутника мають різну довжину. Рівнобедрений трикутник має дві довжини сторін, які однакові, і одну довжину сторони, яка відрізняється. Ось приклад рівнобедреного трикутника. Малюнок \(\PageIndex\)

   Приклад \(\PageIndex<1>\) Раніше вам давали проблему про Ташу і її вітрило. Її вітрило має форму трикутника з різною довжиною сторін. Яку класифікацію повинна дати Таша трикутник? Рішення Спочатку визначте, чи однакова будь-яка з бокових довжин. Ні Потім класифікуйте трикутник. Сцени Відповідь – сходовий трикутник.

   Приклад \(\PageIndex<2>\) Класифікуйте цей трикутник як масштабний, рівнобедрений або рівносторонній відповідно до його довжини сторін. Довжина боків, 6 см, 4 см, 6 см Кути 70, 70, 40 градусів Рішення Спочатку визначте, чи однакова будь-яка з бокових довжин. Так Далі визначте, скільки довжини сторін однакові. Дві Потім класифікуйте трикутник. Рівнобедрений Відповідь – рівнобедрений трикутник.

   Приклад \(\PageIndex<3>\) Класифікуйте цей трикутник за його довжинами сторін. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Спочатку визначте, чи однакова будь-яка з бокових довжин. Ні, Потім класифікуйте трикутник. Сцени Відповідь – сходовий трикутник.

   Приклад \(\PageIndex<4>\) Класифікуйте трикутник за його довжинами сторін. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Спочатку визначте, чи однакова будь-яка з бокових довжин. Так Далі визначте, скільки довжини сторін однакові. Всі довжини сторін однакові Потім класифікуйте трикутник. Рівносторонній Відповідь – рівносторонній трикутник.

   Приклад \(\PageIndex<5>\) Класифікуйте трикутник за його довжинами сторін. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Спочатку визначте, чи однакова будь-яка з бокових довжин. Так Далі визначте, скільки довжини сторін однакові. Дві Потім класифікуйте трикутник. Рівнобедрений Відповідь – рівнобедрений трикутник.

   Рецензія

   1. Якщо трикутник – прямокутний трикутник, то скільки кутів гострі?
   2. Скільки кутів в прямому трикутнику є прямими кутами?
   3. Скільки градусів в прямокутному трикутнику?
   4. Що таке тупий кут?
   5. Скільки тупих кутів знаходиться в тупому трикутнику?
   6. Якщо є один тупий кут, скільки кутів гострі?
   7. Якщо трикутник рівнокутний, яка міра всіх трьох кутів?
   8. Що означає слово «внутрішній кут»?
   9. Правда чи брехня. Довжини сторін сходового трикутника всі рівні.
   10. Правда чи брехня. Довжини сторін сходового трикутника всі різні.
   11. Правда чи брехня. Довжини сторін рівностороннього трикутника всі рівні.
   12. Правда чи брехня. Рівнобедрений трикутник має дві довжини сторін однакову і одну різну.
   13. Правда чи брехня. Рядовий трикутник також може бути рівнобедреним трикутником.
   14. Правда чи брехня. Рівносторонній трикутник теж рівнокутний.
   15. Правда чи брехня. Скальний трикутник не може бути гострим трикутником.

   Огляд (Відповіді)

   Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.8.