Урок 6. Складні та прості відсотки: формули і задачі

Bankchart.com.ua розказує, що таке і як нараховуються прості та складні відсотки. На цьому уроці з математики ми розглянемо формули і задачі на обчислення простих і складних відсотків.

Путівник за статтею

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСІХ

Оскільки банки, фінансові установи регулярно нараховують прості відсотки за кредитами, складні відсотки за депозитами, тема видів відсотків є надзвичайно важливою. Тому розглянемо її детальніше.

Що таке прості відсотки?

Прості відсотки – це спосіб розрахунку суми відсотків, який полягає у множенні основної суми на процентну ставку та кількість періодів, за які відсотки повинні бути сплачені.

Формула простих відсотків. Задачі

Розглянемо задачу. Вкладник розмістив в банку А_о грн. під прості відсотки р% зі щомісячною виплатою на період n місяців. Порахувати, яку суму отримає вкладник після закінчення терміну дії депозиту.

В сучасних умовах ми можемо скористатись депозитним калькулятором і швидко дізнатись суму доходу з депозиту. Проте важливо розуміти, як нараховуються відсотки за простою схемою.

Очевидно, що за n місяців банк нарахує p ⋅ n відсотків від початкової суми А_о грн:

Через n місяців вкладник отримає початкову суму депозиту і відсотки:

Тобто, через період n вкладник отримає таку суму грошей. Формула простих відсотків:

Задача. Магазин передбачив систему знижок на м’ясну продукцію в залежності від дати реалізації. Початкова ціна складає 500 грн., кожні 10 день – пердбачена знижка в розмірі 3%. Обчислити ціну товару на 10 і 20 дні.

Розв’язання:

Використовуючи формулу простих відсотків, знайдемо ціну товару на 10 і 20 дні:

Відповідь: ціна товару на 10 день – 485 грн., на 20 день – 470,45 грн.

Формула складних відсотків. Задачі

Для виведення формули складних відсотків розглянемо задачу на розміщення депозитного вкладу в банку. Припустимо, що вкладник розмістив А_о грн під p% річних. Через рік банк нарахує відсотків в розмірі:

Через рік вкладник матиме на рахунку:

На наступний рік відсотки нараховуються не на початкову суму вкладу, а на суму, яка є на кінець 1-го року (тобто на суму вкладу і відсотки). Через n років сума вкладу і відсотків становитиме:

Формула складного відсотка:

Задача. Клієнт банку оформив депозит з капіталізацією вкладу (складний відсоток, накопичувальний вклад). Сума вкладу – 10 тис. грн., відсоток по депозиту – 18% річних. Скільки грошей буде у вкладника на рахунку через 5 років.

Розв’язання:

Використовуючи формулу складного відсотку, порахуємо суму грошей через 5 років:

Відповідь: 24137,2 грн.

Задача. Завод з виробництва дитячих конструкторів виготовляв 600 одиниць щомісяця в січні. Після вдосконалення технологій обсяг виробництва двічі збільшувався на однаковий відсоток і склав 726 одиниць в грудні. На скільки відсотків відбулось збільшення виробництва?

Розв’язання:

Для знаходження процентів збільшення використаємо формулу складних відсотків:

Підставивши вихідні дані, знайдемо відсоток збільшення виробництва:

Відповідь: об’єм виробництва двічі зростав на 10%

Використання формул Excel для обчислення виплат і заощаджень

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Вебпрограма Excel Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2011 для Mac Excel Mobile Інші…Менше

Керування особистими фінансами може бути складно, особливо коли ви намагаєтеся спланувати свої платежі та заощадження. Excel за допомогою формул і шаблонів бюджету можна розрахувати майбутню вартість ваших боргів та інвестицій, що полегшує визначення тривалості досягнення цілей. Використовуйте такі функції:

• PMT: повертає суму виплати за позикою на основі постійних періодичних виплат і постійної відсоткової ставки.
• NPER: обчислює кількість періодів виплат для інвестицій на основі постійних періодичних виплат і постійної відсоткової ставки.
• Функція PV повертає поточну вартість інвестиції. Поточна вартість – це загальна сума, яку на цей час домовлялася низка майбутніх виплат.
• FV: повертає майбутню вартість інвестиції на основі постійних періодичних виплат і постійної відсоткової ставки.

Розрахунок щомісячних платежів для погашення заборгованості за кредитною карткою

Припустімо, що сума заборгованості складає 5400 ₴ під річну відсоткову ставку 17%. Доки заборгованість не буде повністю погашено, ви не зможете розраховуватися карткою за покупки.

За допомогою функції PMT(rate;NPER;PV)

ми отримуємо щомісячний платіж у 266,99 ₴, щоб погасити заборгованість протягом двох років.

• Аргумент Rate – це відсоткова ставка на період погашення позики. Наприклад, у цій формулі річна відсоткова ставка 17% ділиться на 12 (кількість місяців у році).
• Аргумент NPER (2*12) – це загальна кількість періодів виплат за позикою.
• Аргумент PV, або поточна вартість, складає 5400.

Визначення щомісячних виплат за іпотекою

Уявіть, що ви придбали будинок за 180 000 ₴ під річну ставку 5% на 30 років.

За допомогою функції PMT(rate;NPER;PV)

ми отримаємо суму щомісячного платежу (окрім страхування та податків) у 966,28 ₴.

• Аргумент Rate складає 5%, розділених на 12 місяців у році.
• Аргумент NPER складає 30*12 для іпотеки на 30 років із 12 щомісячними платежами, які вносяться щороку.
• Аргумент PV складає 180 000 (поточна вартість позики).

Розрахунок суми щомісячних заощаджень, потрібної для відпустки

Ви хочете протягом трьох років відкласти кошти на відпустку вартістю 8500 ₴. Річна відсоткова ставка для заощаджень складає 1,5%.

показує, що потрібно щомісяця відкладати по 230,99 ₴, щоб зібрати 8500 ₴ протягом трьох років.

• Аргумент Rate складає 1,5%, розділених на 12 місяців у році.
• Аргумент NPER складає 3*12 для 12 щомісячних платежів упродовж трьох років.
• Аргумент PV (поточна вартість) складає 0, тому що відлік починається з нуля.
• Значення аргументу FV (майбутня вартість), якого потрібно досягнути, складає 8500 ₴.

Тепер припустімо, що ви заощаджуватимете кошти на 8500 доларів США протягом трьох років і хочете дізнатися, яку суму потрібно зарахувати на рахунок, щоб щомісячні заощаджувати кошти в розмірі 175,00 дол. США на місяць. Функція PV обчислює, скільки початкового депозиту призведе до майбутньої вартості.

За допомогою функції PV(rate;NPER;PMT;FV)

ми дізнаємося, що потрібен початковий депозит у розмірі 1969,62 ₴, щоб можна було відкладати по 175,00 ₴ на місяць і зібрати 8500 ₴ протягом трьох років.

• Аргумент Rate складає 1,5%/12.
• Аргумент NPER складає 3*12 (або 12 щомісячних платежів упродовж трьох років).
• Аргумент PMT складає –175 (потрібно відкладати по 175 ₴ щомісяця).
• Аргумент FV (майбутня вартість) дорівнює 8500.

Розрахунок терміну погашення кредиту фізичній особі

Уявіть, що ви взяли кредит фізичній особі на суму 2500 ₴ і погодилися щомісяця виплачувати по 150 ₴ під 3% річних.

За допомогою функції NPER(rate;PMT;PV)

ми з’ясовуємо, що для погашення кредиту потрібно 17 місяців і кілька днів.

• Аргумент Rate складає 3%/12 щомісячних виплат на рік.
• Аргумент PMT дорівнює –150.
• Аргумент PV (поточна вартість) складає 2500.

Розрахунок першого внеску

Скажімо, ви хочете протягом трьох років придбати автомобіль вартістю 19 000 США під 2,9% річних. Ви хочете зберегти щомісячні платежі на рівні 350 ₴, тож вам потрібно розрахувати перший внесок. У цій формулі результат функції PV – це сума кредиту, яка віднімається від купівельної ціни, щоб отримати перший внесок.

За допомогою функції PV(rate;NPER;PMT)

ми з’ясовуємо, що перший внесок складає 6946,48 ₴.

• У формулі перш за все вказується купівельна ціна 19 000 ₴. Результат функції PV віднімається від купівельної ціни.
• Аргумент Rate складає 2,9%, розділених на 12.
• Аргумент NPER складає 3*12 (або 12 щомісячних платежів упродовж трьох років).
• Аргумент PMT складає –350 (потрібно сплачувати по 350 ₴ щомісяця).

Оцінка динаміки збільшення заощаджень

Починаючи з 500 ₴ на рахунку, скільки можна буде зібрати за 10 місяців, якщо класти на депозит по 200 ₴ щомісяця під 1,5% річних?

За допомогою функції FV(rate;NPER;PMT;PV)

визначаємо, що за 10 місяців ви заощадите 2517,57.

• Аргумент Rate складає 1,5%/12.
• Аргумент NPER складає 10 (місяців).
• Аргумент PMT дорівнює –200.
• Аргумент PV (поточна вартість) складає –500.