Як знайти гіпотенузу?

На самому початку нагадаємо, що трикутник – це багатогранник, у якого є 3 кута. Як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відомі інші величини трикутника?

Інструкція

1. Відомі довжини катетів. В даному випадку, гіпотенузу можна обчислити, застосовуючи теорему Піфагора. Дана теорема звучить так: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього випливає, щоб розрахувати довжину гіпотенузи, необхідно звести в квадрат по черзі величину кожного катета. Після чого отримані цифри скласти, а із загального результату вже витягти квадратний корінь.
2. Як знаходити гіпотенузу в трикутнику KFB, якщо відомий катет (ВК) і прилегла до нього кут? Відомий кут позначимо?. Одне з властивостей прямокутного трикутника говорить наступне, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини гіпотенузи дорівнює косинусу кута, розташованого між гіпотенузою і цим катетом. Записати це можна наступним чином: FB = BK * cos (?).
3. Відомий інший катет (KF) і цей же самий кут?, Тепер вже він буде протилежним. Гіпотенуза також можна знайти, якщо застосувати ті ж самі властивості прямокутного трикутника. Тут ми отримаємо, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини його гіпотенузи дорівнює синусу кута, протилежного катета. Записуємо: FB = KF * sin (?).
4. Як знайти гіпотенузу трикутника, якщо біля нього описана окружність, у якої відомий її радіус. З властивостей кола, яка описана навколо прямокутного трикутника відомо, що у такий окружності центр збігається з точкою гіпотенузи, яка розділяє його навпіл. Іншими словами – радіус дорівнює половині гіпотенузи. А це означає, що два радіуса становлять гіпотенузу: FB = 2 * R.

Знаючи властивості прямокутного трикутника і теорему Піфагора, дуже просто обчислити довжину гіпотенузи. Якщо вам все ж складно запам’ятати всі властивості, тоді просто вивчите готові формули, в які дуже просто підставити відомі значення, щоб розрахувати довжину гіпотенузи.

Гіпотенуза прямокутного трикутника – формула та приклади

Гіпотенуза прямокутного трикутника – це сторона, протилежна куту 90 градусів.

Зазначимо, що ми можемо обчислити гіпотенузу за допомогою теореми Піфагора. Ця теорема говорить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін трикутника. Отже, щоб отримати довжину гіпотенузи, нам потрібно мати довжини катетів.

В даному параграфі ми коротко, без доведення, розглянемо теорему Піфагора. Крім того, використаємо цю теорему, щоб розв’язати деякі задачі на знаходження довжини гіпотенузи.

Як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника?

Гіпотенуза – це найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона лежить навпроти прямого кута. Як зазначалося вище, якщо відома довжина обох катетів, то її розмір можна обчислити за теоремою Піфагора.

Нагадаємо, що теорема Піфагора говорить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін. До прикладу розглянемо прямокутний трикутник ABC, що міститься нижче:

У цьому трикутнику BC – гіпотенуза, оскільки це сторона, протилежна прямому куту. Таким чином, згідно з теоремою матимемо:

Якщо добути квадратний корінь з обох сторін, то отримаємо формулу гіпотенузи прямокутного триктуника:

Зауваження: якщо позначити довжини двох катетів трикутника (взаємно перпендикулярних сторін) буквами a і b, а довжину гіпотенузи – c, то формула гіпотенузи перепишеться у більш звичній буквенній формі:

Гіпотенуза прямокутного трикутника – приклади з відповідями.

Формула гіпотенузи прямокутного трикутника використовується для вирішення наступних прикладів. Для кожного прикладу є відповідне рішення, але, щоб потренуватися, рекомендуємо спробувати розв’язати вправи самостійно.

Приклад 1: чому дорівнює гіпотенуза прямокутного трикутника зі сторонами 3 см і 4 см?

Отже, за умовою маємо, що катети рівні 3 см та 4 см. Використовуючи ці значення у формулі гіпотенузи, будемо мати:

Звідси, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 5 см.

Приклад 2: знайти гіпотенузу прямокутного трикутника зі сторонами 6 см і 8 см.

Зазначимо, що у цьому випадку катети трикутника рівні 6 см та 8 см. Використовуючи ці значення у формулі гіпотенузи, матимемо:

Звідси, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см.

Приклад 3: знайти довжину діагоналі квадрата, сторони якого дорівнюють 10 см.

Тут ми повинні пам’ятати, що квадрат не тільки має всі сторони рівні, але і кожен з його внутрішніх кутів дорівнює 90°. Таким чином, діагональ квадрата ділить його на два рівні прямокутні трикутники, де діагональ є гіпотенузою.

Отже, скориставшись формулою гіпотенузи, ми можемо знайти довжину діагоналі BD:

Звідси, діагональ квадрата дорівнює 14.14 cм.

Приклад 4: гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть радіус описаного кола.

Зазначимо, що факт, який слід врахувати при рішенні даної задачі, полягає в тому, що гіпотенуза дорівнює діаметру кола, описаного навколо прямокутного трикутника. Отже, матимемо:

Звідси, радіус описаного кола дорівнює 6 см.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про прямокутний трикутник? Перегляньте ці сторінки:

11.2: Формули та кола відстані та середини

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Знайти довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, катети якого \(12\) і \(16\) дюйми.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.34.
2. Фактор: \(x^-18 x+81\) .
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.24.
3. Вирішіть, заповнивши квадрат: \(x^-12 x-12=0\) .
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.22.

У цьому розділі ми розглянемо конічні перерізи, які зазвичай називають конічними, та їх властивості. Коніки – це криві, які виходять з площини, що перетинає подвійний конус – два конуси, розміщені точка-точка. Кожну половинку подвійного конуса називають ворсом.

Є чотири конуси: коло, парабола, еліпс і гіпербола. На наступному малюнку показано, як площина, що перетинає подвійний конус, призводить до кожної кривої.

Кожна з кривих має безліч додатків, які впливають на ваше повсякденне життя, від мобільного телефону до акустики та навігаційних систем. У цьому розділі ми розглянемо властивості кола.

Використовуйте формулу відстані

Ми використовували теорему Піфагора, щоб знайти довжини сторін прямокутного трикутника. Тут ми знову будемо використовувати цю теорему, щоб знайти відстані на прямокутній системі координат. Знайшовши відстань на прямокутній системі координат, ми можемо встановити зв’язок між геометрією конічного конуса та алгеброю, що відкриває світ можливостей для застосування.

Нашим першим кроком є розробка формули для пошуку відстаней між точками прямокутної системи координат. Ми побудуємо точки і створимо прямокутний трикутник так само, як ми робили, коли ми знайшли нахил у графіках і функціях. Потім ми зробимо це на крок далі і використовуємо теорему Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи трикутника – це відстань між точками.

Приклад \(\PageIndex\)

Використовуйте прямокутну систему координат, щоб знайти відстань між точками \((6,4)\) і \((2,1)\) .

Таблиця 11.1.1

Вправа \(\PageIndex\)

Використовуйте прямокутну систему координат, щоб знайти відстань між точками \((6,1)\) і \((2,-2)\) .

Вправа \(\PageIndex\)

Використовуйте прямокутну систему координат, щоб знайти відстань між точками \((5,3)\) і \((-3,-3)\) .

Метод, який ми використовували в останньому прикладі, призводить нас до формули, щоб знайти відстань між двома точками \(\left(x_, y_\right)\) і \(\left(x_, y_\right)\) .

Коли ми знайшли довжину горизонтальної ноги, ми віднімаємо \(6−2\) яка є \(x_-x_\) .

Коли ми знайшли довжину вертикальної ноги, ми віднімаємо \(4−1\) яка є \(y_-y_\) .

Якщо трикутник був у іншому положенні, ми, можливо, віднімали \(x_-x_\) або \(y_-y_\) . Вирази \(x_-x_\) і \(x_-x_\) варіюються тільки в знак отриманого числа. Щоб отримати позитивне значення – оскільки відстань позитивна – ми можемо використовувати абсолютне значення. Так що узагальнити скажемо \(\left|x_-x_\right|\) і \(\left|y_-y_\right|\) .

У теоремі Піфагора підставляємо загальні вирази, \(\left|x_-x_\right|\) \(\left|y_-y_\right|\) а не числа.

Це формула відстані, яку ми використовуємо, щоб знайти відстань \(d\) між двома точками \((x_,y_)\) і \((x_, y_)\) .

Визначення \(\PageIndex\)

Відстань \(d\) між двома точками \((x_,y_)\) і \((x_, y_)\)

Приклад \(\PageIndex\)

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками \((-5,-3)\) і \((7,2)\) .

Напишіть формулу відстані.

Вправа \(\PageIndex\)

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками \((-4,-5)\) і \((5,7)\) .

Вправа \(\PageIndex\)

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками \((-2,-5)\) і \((-14,-10)\) .

Приклад \(\PageIndex\)

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками \((10,−4)\) і \((−1,5)\) . Напишіть відповідь у точному вигляді, а потім знайдіть десяткове наближення, округлене до найближчої десятої, якщо потрібно.

Напишіть формулу відстані.

Оскільки \(202\) це не ідеальний квадрат, ми можемо залишити відповідь у точному вигляді або знайти десяткове наближення.

Вправа \(\PageIndex\)

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками \((−4,−5)\) і \((3,4)\) . Напишіть відповідь у точному вигляді, а потім знайдіть десяткове наближення, округлене до найближчої десятої, якщо потрібно.

Вправа \(\PageIndex\)

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти відстань між точками \((−2,−5)\) і \((−3,−4)\) . Напишіть відповідь у точному вигляді, а потім знайдіть десяткове наближення, округлене до найближчої десятої, якщо потрібно.

Використовуйте формулу середньої точки

Часто корисно мати можливість знайти середню точку сегмента. Наприклад, якщо у вас є кінцеві точки діаметра кола, ви можете знайти центр кола, який є середньою точкою діаметра. Щоб знайти середню точку відрізка лінії, ми знаходимо середнє значення \(x\) -координат та середнє значення \(y\) -координат кінцевих точок.

Визначення \(\PageIndex\)

Середина відрізка лінії, кінцевими точками якого є дві точки \(\left(x_, y_\right)\) і \(\left(x_, y_\right)\)

Щоб знайти середню точку відрізка лінії, ми знаходимо середнє значення \(x\) -координат та середнє значення \(y\) -координат кінцевих точок.

Приклад \(\PageIndex\)

Скористайтеся формулою середньої точки, щоб знайти середину відрізків ліній, кінцевими точками яких є \((−5,−4)\) і \((7,2)\) . Покладіть кінцеві точки та середину на прямокутній системі координат.

Середина відрізка – це точка

Вправа \(\PageIndex\)

Скористайтеся формулою середньої точки, щоб знайти середину відрізків ліній, кінцевими точками яких є \((−3,−5)\) і \((5,7)\) . Покладіть кінцеві точки та середину на прямокутній системі координат.

Відповідь Малюнок 11.1.7

Вправа \(\PageIndex\)

Скористайтеся формулою середньої точки, щоб знайти середину відрізків ліній, кінцевими точками яких є \((−2,−5)\) і \((6,−1)\) . Покладіть кінцеві точки та середину на прямокутній системі координат.

Відповідь Малюнок 11.1.8

Як формула відстані, так і формула середньої точки залежать від двох точок, \(\left(x_, y_\right)\) і \(\left(x_, y_\right)\) . Легко переплутати, яка формула вимагає додавання, а яка віднімання координат. Якщо ми пам’ятаємо, звідки беруться формули, може бути простіше запам’ятати формули.

Запишіть рівняння кола в стандартній формі

Як ми вже згадували, наша мета полягає в тому, щоб з’єднати геометрію конічного конуса з алгеброю. Використовуючи координатну площину, ми можемо зробити це легко.

Ми визначаємо коло як усі точки на площині, які є фіксованою відстанню від заданої точки в площині. Задана точка називається центром \((h,k)\) , а фіксована відстань називається \(r\) радіусом кола.

Визначення \(\PageIndex\)

Коло – це всі точки на площині, які є фіксованою відстанню від заданої точки в площині. Задана точка називається центром \((h,k)\) , а фіксована відстань називається \(r\) радіусом кола.

Таблиця 11.1.3

Це стандартна форма рівняння кола з центром \((h,k)\) , і радіусом, \(r\) .

Визначення \(\PageIndex\)

Стандартна форма рівняння кола з центром \((h,k)\) , і радіусом \(r\) ,

Приклад \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом \(3\) і центром \((0,0)\) .

Таблиця 11.1.4

Вправа \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом \(6\) і центром \((0,0)\) .

Вправа \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом \(8\) і центром \((0,0)\) .

В останньому прикладі центр був \((0,0)\) . Зверніть увагу, що сталося з рівнянням. Всякий раз \((0,0)\) , коли центр є, стандартна форма стає \(x^+y^=r^\) .

Приклад \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом \(2\) і центром \((−1,3)\) .

Таблиця 11.1.5

Вправа \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом \(7\) і центром \((2,−4)\) .

Вправа \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з радіусом \(9\) і центром \((−3,−5)\) .

У наступному прикладі радіус не задано. Для обчислення радіуса використовуємо формулу відстані з двома заданими точками.

Приклад \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з центром \((2,4)\) , який також містить точку \((−2,1)\) .

Радіус – це відстань від центру до будь-якої точки на колі, тому ми можемо використовувати формулу відстані для її обчислення. Ми будемо використовувати центр \((2,4)\) і точку \((−2,1)\)

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти радіус.

Тепер, коли ми знаємо радіус і центр \((2,4)\) , ми можемо використовувати стандартну форму рівняння кола, щоб знайти рівняння. \(r=5\)

Використовуйте стандартну форму рівняння кола.

Вправа \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з центром \((2,1)\) , який також містить точку \((−2,−2)\) .

Вправа \(\PageIndex\)

Запишіть стандартну форму рівняння кола з центром \((7,1)\) , який також містить точку \((−1,−5)\) .

Графік кола

Будь-яке рівняння виду \((x-h)^+(y-k)^=r^\) є стандартною формою рівняння кола з центром \((h,k)\) , і радіусом, \(r\) . Потім ми можемо намалювати коло на прямокутній системі координат.

Зверніть увагу, що стандартна форма вимагає віднімання з \(x\) і \(y\) . У наступному прикладі рівняння має \(x+2\) , тому нам потрібно переписати додавання як віднімання негативу.

Приклад \(\PageIndex\)

Знайдіть центр і радіус, потім намалюйте графік кола: \((x+2)^+(y-1)^=9\) .

Використовуйте стандартну форму рівняння кола.

Визначте центр, \((h,k)\) і радіус, \(r\) .

Вправа \(\PageIndex\)

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола: \((x-3)^+(y+4)^=4\) .

1. Коло по центру \((3,-4)\) з радіусом \(2\) .

Вправа \(\PageIndex\)

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола: \((x-3)^+(y-1)^=16\) .

1. Коло по центру \((3,1)\) з радіусом \(4\) .

Щоб знайти центр і радіус, ми повинні написати рівняння в стандартному вигляді. У наступному прикладі ми повинні спочатку отримати коефіцієнт \(x^, y^\) бути одиницею.

Приклад \(\PageIndex\)

Знайдіть центр і радіус, а потім графік кола, \(4 x^+4 y^=64\) .

Таблиця 11.1.7

Вправа \(\PageIndex\)

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола: \(3 x^+3 y^=27\)

1. Коло по центру \((0,0)\) з радіусом \(3\) .

Вправа \(\PageIndex\)

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола: \(5 x^+5 y^=125\)

1. Коло по центру \((0,0)\) з радіусом \(5\) .

Якщо розгорнути рівняння з прикладу 11.1.8 \((x+2)^+(y-1)^=9\) , рівняння кола виглядає зовсім інакше.

Впорядкуйте терміни в порядку зменшення ступеня, і отримайте нуль праворуч

Така форма рівняння називається загальною формою рівняння кола.

Визначення \(\PageIndex\)

Загальна форма рівняння кола дорівнює

Якщо нам дано рівняння в загальному вигляді, ми можемо змінити його на стандартну форму, заповнивши квадрати в обох \(x\) і \(y\) . Тоді ми можемо намалювати коло, використовуючи його центр і радіус.

Приклад \(\PageIndex\)

Нам потрібно переписати цю загальну форму в стандартну форму, щоб знайти центр і радіус.

Таблиця 11.1.8

Вправа \(\PageIndex\)

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола: \(x^+y^-6 x-8 y+9=0\) .

1. Коло по центру \((3,4)\) з радіусом \(4\) .

Вправа \(\PageIndex\)

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола: \(x^+y^+6 x-2 y+1=0\)

1. Коло по центру \((-3,1)\) з радіусом \(3\) .

У наступному прикладі є \(y\) -термін і a \(y^\) -термін. Але зверніть увагу, що немає \(x\) -термін, тільки \(x^\) -термін. Ми бачили це раніше і знаємо, що \(h\) це означає \(0\) . Нам потрібно буде заповнити квадрат для \(y\) термінів, але не для \(x\) термінів.

Приклад \(\PageIndex\)

Нам потрібно переписати цю загальну форму в стандартну форму, щоб знайти центр і радіус.

Таблиця 11.1.9

Вправа \(\PageIndex\)

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола: \(x^+y^-2 x-3=0\) .

1. Коло по центру \((-1,0)\) з радіусом \(2\) .

Вправа \(\PageIndex\)

1. Знайдіть центр і радіус, потім
2. Графік кола: \(x^+y^-12 y+11=0\) .

1. Коло по центру \((0,6)\) з радіусом \(5\) .

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для отримання додаткових інструкцій та практики за допомогою формул відстані та середньої точки та графічних кіл.

• Формули та кола відстань-середина
• Пошук відстані та середини між двома точками
• Завершення квадрата для написання рівняння у стандартній формі кола

Ключові концепції

• Відстань формула: відстань \(d\) між двома точками \(\left(x_, y_\right)\) і \(\left(x_, y_\right)\) \(d=\sqrt<\left(x_-x_\right)^+\left(y_-y_\right)^>\)
• середина формули: середина відрізка лінії, кінцеві точки якої дві точки \(\left(x_, y_\right)\) і \(\left(x_, y_\right)\) \(\left(\frac, \frac\right)\) Щоб знайти середню точку відрізка лінії, ми знаходимо середнє значення \(x\) -координат та середнє значення \(y\) -координат кінцевих точок.
• Коло: Коло – це всі точки на площині, які є фіксованою відстанню від фіксованої точки на площині. Задана точка називається центром \((h,k)\) , а фіксована відстань називається \(r\) радіусом кола.
• Стандартна форма рівняння кола:стандартна форма рівняння кола з центром \((h,k)\) , і радіусом \(r\)

• Загальна форма рівняння кола: загальна форма рівняння кола \(x^+y^+a x+b y+c=0\)

Глосарій

коло Коло – це всі точки в площині, які є фіксованою відстанню від фіксованої точки в площині.