2. Знаходження точок екстремуму

Теорема 3. Якщо функція \(y=f(x)\) має екстремум в точці x = x 0 , тоді в цій точці похідна функції або дорівнює нулю, або не існує.

Теорема 4 (достатні умови екстремуму). Нехай функція y = f ( x ) неперервна на проміжку \(X\) і має всередині проміжку стаціонарну або критичну точку x = x 0 . Тоді:

а ) якщо у цієї точки існує такий окіл, в якому при x < x 0 виконується нерівність f ′ ( x ) < 0 , а при x >x 0 — нерівність f ′ ( x ) > 0 , тоді x = x 0 — точка мінімуму функції y = f ( x ) );

б ) якщо у цієї точки існує такий окіл, в якому при x < x 0 виконується нерівність f ′ ( x ) >0 , а при x > x 0 — нерівність f ′ ( x ) < 0 , тоді x = x 0 — точка максимуму функції y = f ( x ) ) ;

в) якщо у цієї точки існує такий окіл, що в ньому і ліворуч і праворуч від точки x 0 знаки похідної однакові, тоді в точці x 0 экстремума немає.

Для зручності домовимося внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю, називати стаціонарними , а внутрішні точки області визначення функції, в яких функція неперервна, але похідна не існує, — критичними .

Отже, щоб визначити екстремуми (мінімуми і максимуми) функції f ( x ) , спочатку потрібно знайти критичні точки, в яких f ′ ( x ) = 0 або ж похідна не існує (і які належать області визначення функції). Тоді легко визначити інтервали, в яких у похідної незмінний знак. (Критичні (стаціонарні) точки ділять реальну числову пряму на інтервали з незмінним знаком похідної. Щоб визначити знак похідної, достатньо обчислити значення похідної функції в будь-якій точці відповідного інтервалу).

Алгоритм дослідження неперервної функції y = f ( x ) на монотонність і екстремуми:

2. знайти стаціонарні та критичні .

3. відзначити стаціонарні та критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на одержаних проміжках.

4. спираючись на теореми 1, 2 і 4, зробити висновки про монотонності функції і про її точки екстремуму.

Отже: якщо похідна функції в критичній точці:

1) змінює знак з від’ємного на додатний, тоді це точка локального мінімуму;
2) змінює знак з додатного на від’ємний, тоді це точка локального максимуму;
3) не змінює знак, тоді в цій точці немає екстремуму.

Похідна цієї функції – f ′ ( x ) = x x − 2 ( x − 1 ) 2 , отже, критичні точки функції, це \(x=0\) і \(x=2\). Точка \(x=1\) не належить області визначення функції.

Вони ділять реальну числову пряму на чотири інтервали: − ∞ ; 0 ∪ 0 ; 1 ∪ 1 ; 2 ∪ 2 ; + ∞ . Знак першого інтервалу додатний (наприклад, \(f(-1)=0.75\)). Другого – від’ємний, третього – від’ємний, четвертий – додатний.

Отже, похідна змінює знак тільки в точках \(x=0\) і \(x=2\).
У точці \(x=0\) вона змінює знак з додатного на від’ємний, отже, це точка локального максимуму зі значенням функції \(f(0)=0\).
У точці \(x=2\) вона змінює знак з від’ємного на додатний, отже, це точка локального мінімуму зі значенням функції \(f(2)=4\).

Як обчислити та інтерпретувати точки перетину

Точка перетину двох функцiй — це точка, в якiй графiки функцiй перетинаються один з одним. Щоб знайти точку перетину, потрiбно розв’язати систему рiвнянь, що складається з двох функцiй .

Точка перетину мiж двома графiками

Щоб знайти точку, в якiй перетинаються графiк f i графiк g , потрiбно розв’язати рiвняння f ( x ) = g ( x ) .

Знайди точку перетину мiж функцiями f ( x ) = − x − 1 i g ( x ) = 2 x + 8

Оскiльки f ( x ) = y i g ( x ) = y , то можна задати їх рiвними одна однiй:

− x − 1 = 2 x + 8 − 3 x = 9 | : − 3 x = − 3

Пiдстав x у f ( x ) = − x − 1 , тому що це найпростiший вираз iз двох. Можна також пiдставити x у g ( x ) .

Отримуємо точку перетину мiж f ( x ) i g ( x )

Знайди точку перетину мiж функцiями f ( x ) = x 2 + 3 x − 2 i g ( x ) = 2 x + 3

Оскiльки f ( x ) = y i g ( x ) = y , то можна задати їх рiвними одна однiй:

x 2 + 3 x − 2 = 2 x + 3 x 2 + x − 5 = 0

x = − 1 ± 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 5 ) 2 ⋅ 1 = − 1 ± 1 + 2 0 2 = − 1 ± 2 1 2 ,

x 1 = − 1 − 2 1 2 ≈ − 2 . 7 9 , x 2 = − 1 + 2 1 2 ≈ 1 . 7 9 .

Пiдстав x 1 i x 2 у g ( x ) = 2 x + 3 , тому що це найпростiший вираз. Можна також пiдставити значення у f ( x ) .

y 1 = g ( − 2 . 7 9 ) = 2 ⋅ ( − 2 . 7 9 ) + 3 = − 2 . 5 8 y 2 = g ( 1 . 7 9 ) = 2 ⋅ 1 . 7 9 + 3 = 6 . 5 8

Отримуємо точки перетину мiж f ( x ) i g ( x )

( x 1 , y 1 ) = ( − 2 . 7 9 , − 2 . 5 8 ) , ( x 2 , y 2 ) = ( 1 . 7 9 , 6 . 5 8 ) .

Для яких значень x функцiї f ( x ) = sin ⁡ x i g ( x ) = cos ⁡ x є рiвними?

Знайди точку перетину мiж графiками, задавши їх рiвними один одному:

sin ⁡ x = cos ⁡ x | : cos ⁡ x tan ⁡ x = 1 x = tan ⁡ − 1 ( 1 ) = π 4 + n π

Важливо переконатися, що ми не пропустили жодного розв’язку, оскiльки дiлили на cos ⁡ x , який може бути рiвним 0. Для перевiрки дивимося, що станеться, якщо cos ⁡ x = 0 . Тодi x = π 2 , що означає, що sin ⁡ x = 1 , або x = 3 π 2 , що означає, що sin ⁡ x = − 1 . В обох випадках sin ⁡ x вiдрiзняється вiд cos ⁡ x , а отже, це не розв’язки.

Iснує нескiнченна кiлькiсть точок перетину, i точки мають значення x , що дорiвнюють x = π 4 + n π для n ∈ ℤ . Щоб знайти значення y , пiдставляємо їх в одну з функцiй, наприклад у f ( x ) = sin ⁡ x . У цьому випадку потрiбно розумiти, що навiть якщо tan ⁡ x має перiод π , ми знайшли два рiзних кути на одиничному колi з радiанами π мiж ними. Ось чому отримуємо два рiзних значення, коли знову пiдставляємо в f ( x ) = sin ⁡ x :

f ( π 4 ) = sin ⁡ π 4 = 2 2 f ( π 4 + π ) = sin ⁡ 5 π 4 = − 2 2 .

Це два рiзних значення y , y = 2 2 i y = − 2 2 , кожне з яких належить вiдповiдному куту на одиничному колi. Цi кути повторюються з перiодом 2 π . Разом отримуємо двi рiзнi точки перетину:

( x 1 , y 1 ) = ( π 4 + n ⋅ 2 π , 2 2 ) , n ∈ ℤ ( x 2 , y 2 ) = ( 5 π 4 + n ⋅ 2 π , − 2 2 ) , n ∈ ℤ

( x 1 , y 1 ) = ( π 4 + n ⋅ 2 π , 2 2 ) , n ∈ ℤ ( x 2 , y 2 ) = ( 5 π 4 + n ⋅ 2 π , − 2 2 ) , n ∈ ℤ

Зверни увагу! У задачах цього типу тебе задовольнить вiдповiдь, що мiстить n , оскiльки вiд тебе вимагалося знайти всi точки, тобто загальний розв’язок, а не точки в межах певного iнтервалу .