✅Як знайти корінь числа: прості способи без калькулятора
За допомогою калькулятора корінь будь-якого числа витягується елементарно. Але на іспитах доведеться робити це без гаджета. Тому важливо засвоїти прості способи вилучення кореня.
Як знайти квадратний корінь? Є прості способи: метод ділення цілих чисел, пошук дробових коренів із будь-яких чисел, пошук середнього арифметичного. Також є алгоритм пошуку кореня з великих чисел.
Метод ділення
Освітній онлайн-ресурс Mathematics Libre Texts пояснює, що знайти квадратний корінь із числа – це значить, знайти таке число, яке під час множення на себе дасть вихідне число, тобто те, з якого задано знайти корінь.
У математиці, навчальній та науковій літературі квадратний корінь позначають спеціальним символом, який називається радикал (√). Він має вигляд галочки, яка іноді на письмі продовжується верхньою горизонтальною лінією. Число під знаком кореня називається підкореневий вираз (число, з якого треба витягти корінь). Наприклад, якщо задано витягти корінь із 9, то це виглядатиме так: √9=3.
У математиці є низка чисел, які називаються повним квадратом або ідеальним, досконалим квадратом: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Це цілі числа, які діляться на деяке число так, що в результаті виходить число, яке збігається з дільником.
Знайти ці корені можна за допомогою ділення: 4÷2=2, 9÷3=3, 16÷4=4, 25÷5=5, 36÷6=6, 49÷7=7, 64÷8=8, 81÷9=9, 100÷10=10. Це означає, що √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10. Коріннями з таких квадратів завжди будуть цілі числа, а не дроби.
Ряд чисел, які називаються повними квадратами, рекомендується запам’ятати, щоб за потреби їх легко впізнавати. Сайт найбільшого у світі видавця освітніх ресурсів Twinkl пропонує робочий аркуш, на якому виписані повні квадрати.
Метод пошуку дробового числа
Із чисел, які не входять до ряду повних квадратів, теж доводиться витягувати квадратні корені. Це можна зробити з будь-якого числа, але процес буде важчим – методом проб.
Як витягти корінь із будь-якого числа? Для цього треба визначити, які є поруч повні квадрати, а потім у діапазоні між ними шукати дробове число, яке під час множення на себе дасть вихідне число.
Розглянемо, як діяти, щоб витягти корінь, наприклад, із числа 20:
- Згадайте, які є повні квадрати близькі до числа 20. Це числа 16 і 25 (√16=4 і √25=5). Отже, корінь із 20 буде перебувати в діапазоні між числами 4 і 5.
- Розгляньте середнє між ними число 4,5, помножте його на самого себе, тобто підведіть до квадрата: 4,5×4,5=20,25. Число виходить більше 20, тому розглядайте варіанти з меншим числом, наприклад: 4,4×4,4=19,36. Тепер число менше 20, отже, корінь із 20 треба шукати між 4,5 і 4,4. Візьміть число 4,445: 4,445×4,445=19,758. Це вже близько, але ще менше 20.
- Продовжуючи пошук, прийдете до такого рішення: 4,475×4,475=20,03. Такий результат округліть і отримаєте 20. Таким чином, отримуємо відповідь: √20=4,475.
За допомогою середнього арифметичного
Із чисел, які не належать до повних квадратів, можна витягти корінь ще одним способом – методом усереднення, тобто пошуком середнього арифметичного. Наприклад, щоб витягти корінь із 10, застосуйте такий алгоритм дій:
- Почніть із пошуку двох повних квадратів, між якими знаходиться число 10. Це будуть числа 9 і 16 (√9=3, √16=4). Отже, корінь із 10 слід шукати в діапазоні чисел від 3 до 4. Очевидно, що це буде якесь дробове число.
- Розділіть число, з якого треба знайти корінь (10), на квадратний корінь із першого повного квадрата: 10÷3=3,33.
- Знайдіть середнє арифметичне від 3 і 3,33: (3+3,33)÷2=3,167.
- Розділіть 10 на це середнє арифметичне: 10÷3,167=3,1579.
- Тепер знайдіть середнє арифметичне між двома останніми результатами: (3,167+3,1579)÷2=3,1623.
Залишається перевірити, чи буде число 3,1623 коренем із 10. Для цього помножте його на самого себе: 3,1623×3,1623=10,001. Значить відповідь: √10=3,1623.
Витяг кореня квадратного з великих чисел
Є простий спосіб вилучення кореня з великих чисел. За допомогою цього алгоритму зможете робити дію швидко і після деякого тренування майже усно. Наприклад, якщо треба витягти корінь із числа 3364, виконайте послідовно такі дії:
- Обмежте шуканий корінь зверху і знизу числами, кратними 10. Починайте з піднесення до квадрата числа від 10 і далі: 10²=100, 20²=400 і так далі. Це легко зробити усно. Під час подальшого пошуку виявите, що число 3364 розташоване між 50² (2500) і 60²(3600). Це і буде нижня та верхня межі пошуку. З цього випливає, що шуканий корінь із 3364 буде не меншим за 50² і не більшим за 60², а потрібне число треба шукати між числами 50 і 60. У результаті такої простої дії скоротили діапазон пошуку до десяти чисел.
- Другим кроком буде відсіювання чисел, які точно не можуть бути коренями з 3364. Для цього зверніть увагу на останню цифру цього числа – 4: одразу зрозумієте, на що закінчується те число, яке шукаєте. На 4 можуть закінчуватися квадрати чисел 2, тобто (2²=4), і 8 (8²=64). Цей крок підказує, що квадрат від 3364 закінчуватиметься або на 2, або на 8. У визначеному першою дією діапазоні від 50 до 60 це можуть бути тільки два числа – 52 або 58.
- На третьому кроці залишається зробити фінальні обчислення – піднести до квадрата послідовно обидва числа: 52²=2704; 58²=3364. Стає очевидним, що шуканим числом буде друге число з передбачуваних: √3364=58.
Запропонований алгоритм дав змогу за 3 кроки знайти корінь із великого числа. Таким чином, можна знаходити квадратні корені з будь-яких багатозначних чисел, але вони не завжди будуть виходити цілими. У складніших випадках доведеться доповнити цей спосіб розглянутим раніше методом пошуку дробового числа або середнього арифметичного.
Витягти квадратний корінь із чисел у різних завданнях допоможе один із запропонованих способів. Це вміння стане в пригоді надалі на іспитах з математики або фізики, коли калькуляторами користуватися не можна.
Таблиця з поясненнями на тему “Методи визначення кореня числа без калькулятора”
| Метод | Опис | Приклад | Примітки та факти |
|---|---|---|---|
| Підбір | Наближений підбір кореня шляхом спроб і помилок. | Корінь з 25: Починаємо з 4 (4 2 = 16), 5 2 = 25 – це відповідь. | Найпростіший, але не завжди точний метод. |
| Факторизація | Розкладання числа на прості множники і групування їх парами. | Корінь з 36: 36 = 2 × 2 × 3 × 3, корінь = 2 × 3 = 6. | Ефективний для квадратних чисел. |
| Метод наближення | Використання близьких квадратних чисел для оцінки кореня. | Корінь з 50: 7 2 = 49, 8 2 = 64, корінь ≈ 7. | Точність залежить від обраного числа. |
| Графічний метод | Креслення графіка y = x^2 і знаходження відповідного значення. | Для кореня з 9 креслимо y = x 2 до точки (3, 9). | Вимагає точного креслення. |
| Інтерполяція | Використання проміжних значень між відомими квадратами. | Корінь з 17: між 4 2 (16) і 5 2 (25), ближче до 4. | Підходить для чисел між квадратами. |
Висновок
Визначення квадратного кореня числа без використання калькулятора може бути здійснене різними методами, залежно від ситуації та наявних ресурсів. Метод підбору простий, але може бути неточним, тоді як факторизація ефективна для квадратних чисел.
Метод наближення і інтерполяція дозволяють знайти приблизний корінь, коли точний розрахунок неможливий. Графічний метод вимагає більше часу та зусиль, але може бути корисним для візуального уявлення. Вибір методу залежить від конкретного числа та контексту задачі.
Корінь (математика)
Це стаття про добування коренів. Див. також Корінь функції та Радикал цілого числа.
Корінь n -го степеня із числа a визначається [1] як таке число b , що b n = a . =a.> Тут n — натуральне число, що зветься показником кореня (або степенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок n = 1 є тривіальним (звичайним). Добування кореня є протилежною математичною операцією до операції піднесення числа в степінь.
Позначення: b = a n , ]>,> символ (знак кореня) в правій частині називається радикалом. Число a (підкореневий вираз) найчастіше дійсне або комплексне.
Приклади для дійсних чисел:
Як видно з першого прикладу, у дійсного кореня можуть бути два значення (додатнє і від’ємне), і це ускладнює роботу з коренем. Щоб забезпечити однозначність, вводиться поняття арифметичного кореня, значення якого завжди невід’ємне, в першому прикладі це число 3.
Означення та пов’язані поняття
Крім наведеного вище, можна дати два рівносильних означення кореня [2] :
- Коренем n -го степеня із числа a є розв’язок x рівняння x n = a =a> (відзначимо, що розв’язків може бути кілька або жодного);
- Коренем n -го степеня із числа a є корінь многочлена x n − a , -a,> тобто значення x , при якому зазначений многочлен дорівнює нулю.
Операція обчислення a n ]>> називається «добуванням кореня n -го степеня» із числа a . Це одна з двох операцій, обернених піднесенню до степеня, [3] а саме — знаходження основи степеня b за відомим показником n і результатом піднесення до степеня a = b n > . Друга обернена операція, логарифмування, знаходить показник степеня за відомою основою та результатом.
Корені другого і третього степеня використовуються особливо часто і тому мають спеціальні назви. [3]