Числа після трильйону. Назва чисел

Ставте після будь-якої цифри нулі або перемножуйте з десятками, зведеними в скільки завгодно великий ступінь. Мало не здасться. Здається дуже багато. Але голі записи все-таки не надто вражають. Громоздні нулі у гуманітарію викликають не так здивування, як легку позіхання. У будь-якому випадку, до будь-якого найбільшого числа у світі, яке ви можете уявити, завжди можна додати ще одиницю… І число вийде ще більше.

І все-таки, чи є в український чи будь-якій іншій мові слова для позначення дуже великих чисел? Тих, які більше мільйона, мільярда, трильйона, більйона? І взагалі, більйон – це скільки?

Виявляється, є дві системи найменування чисел. Але не арабська, єгипетська, або будь-яких інших стародавніх цивілізацій, а – американська та англійська.

В американській системі
числа називаються так: береться латинське чисельне + – іліон (суфікс). Таким чином, виходять числа:

Трильйон – 1 000 000 000 000 (12 нулів)

Квадрильйон – 1 000 000 000 000 000 (15 нулів)

Квінтильйон – 1 та 18 нулів

Секстильйон – 1 та 21 нуль

Формула проста: 3 · x + 3 (х – латинське числівник)

По ідеї повинні бути ще числа аніліон (unus в латинській мові – один) та дуоліон (duo – два), але, на мою думку, такі назви взагалі не використовуються.

Англійська система найменування чисел
поширена переважно.

Тут теж береться латинське числівник і до нього додається суфікс-ілліон. Однак назва наступного числа, яка більша за попереднє в 1 000 разів, утворюється за допомогою того ж латинського числа та суфікса – іліард. Тобто:

Трильйон – 1 та 21 нуль (в американській системі – секстильйон!)

Триліард – 1 та 24 нуля (в американській системі – септилліон)

Квадрильйон – 1 та 27 нулів

Квадрилліард – 1 та 30 нулів

Квінтильйон – 1 та 33 нуля

Квінілліард – 1 та 36 нулів

Секстильйон – 1 та 39 нулів

Секстильярд – 1 та 42 нуля

Формули для підрахунку кількості нулів, такі:

Для чисел, що закінчуються на – Ільйон – 6 · x +3

Для чисел, що закінчуються на – ілліард – 6·x+6

Як бачите, плутанина можлива. Але не залякаємось!

У України її прийнято американська система найменування чисел.
З англійської системи ми запозичили назву числа “мільярд” – 1000000000 = 109

А де ж “заповітний” більйон? – Та більйон – це і є мільярд! Американською. А ми хоч і користуємося американською системою, а “мільярд” взяли з англійської.

Користуючись латинськими найменуваннями чисел та американською системою назвемо числа:

– Вігінтильйон
– 1 і 63 нуля

– центиліон
– 1 та 303 нуля

– Міллеілліон
– одиниця і 3003 нуля! О-го-го…

Але це, виявляється, не все. Є ще числа позасистемні.

І перше з них, мабуть, міріада
– сотня сотень = 10000

Гугол
(саме на честь нього названа відома пошукова система) – одиниця та сто нулів

В одному з буддійських трактатів названо число асанкхейя
– одиниця та сто сорок нулів!

Назва числа гуголплекс
(як і гугол) вигадав англійський математик Едвард Каснер та його дев’ятирічний племінник – одиниця з – мама дорога! – Гуголом нулів!

Математик Ск’юз назвав на честь себе число Ск’юза. Воно означає e
у ступені e
у ступені e
у ступеню 79, тобто eee 79

А потім виникли великі труднощі. Назви числам вигадати можна. А як їх записувати? Кількість ступенів ступенів ступенів така, що просто не забирається на сторінку!

І тоді деякі математики стали записувати числа у геометричних постатях. А першим, кажуть, такий спосіб запису вигадав видатний письменник і мислитель Данило Іванович Хармс.

І, все-таки, яке саме велике число в світі? – Воно називається СТАСПЛЕКС і дорівнює G 100,

де G – число Грема, найбільше число, що коли-небудь застосовувалося в математичних доказах.

Це число – стасплекс – вигадав чудова людина, наш співвітчизник Стас Козловський,

до ЖЖ якого я вас і адресую:) – ctac

Дитина сьогодні запитала: “А як називається найбільша кількість у світі?” Питання цікаве. Поліз в інтернет і ось на першому рядку Яндекса знайшов найдокладнішу статтю в ЖЖ. Там все докладно розписано. Виявляється існує дві системи найменування чисел: Англійська та Американська. І, наприклад, квадрилліон за англійською та американською системами – це зовсім різні. Найбільшим не складовим числом є

Міллеілліон = 10 в 3003 ступеня.

Син в результаті прийшов до цілком розумного введення, що вважати можна нескінченно.

Оригінал взято у ctac

у Найбільше число у світі

У дитинстві мене мучило питання, яке існує
найбільше число, і я мучив цим безглуздим
питанням практично всіх підряд. Дізнавшись число
мільйон, я питав, чи є число більше
мільйона. Мільярд? А понад мільярд? Трильйон?
А більше за трильйон? Нарешті, знайшовся хтось розумний,
хто мені пояснив, що питання дурне, тому що
достатньо лише додати до
найбільшого числа одиницю, і виявиться, що воно
ніколи не було найбільшим, тому що існують
число ще більше.

І ось, через багато років, я вирішив поставити інше
питання, а саме: яке існує найбільше
число, яке має власну
назву?
Благо, зараз їсти інет і спантеличити
їм можна терплячі пошукові машини, які не
будуть називати мої питання ідіотськими;-).
Власне, це я й зробив, і ось що в результаті
з’ясував.

Існують дві системи найменування чисел –
американська та англійська.

Американська система побудована досить
просто. Всі назви великих чисел будуються так:
спочатку йде латинське порядкове число,
а в кінці до неї додається суфікс-ілліон.
Виняток становить назву “мільйон”
яка є назвою числа тисяча (лат. mille
)
і збільшувального суфікса -ілліон (див. таблицю).
Так виходять числа – трильйон,
квадриліон, квінтиліон, секстильйон, септиліон, октиліон,
ноніліон та дециліон. Американська система
використовується у США, Канаді, Франції та України.
Дізнатися кількість нулів у числі, записаному за
американською системою, можна за простою формулою
3 x + 3 (де x – латинське числівник).

Англійська система найменування
найпоширеніша у світі. Їй користуються, наприклад, у
Великій Британії та Іспанії, а також у більшості
колишніх англійських та іспанських колоній. Назви
чисел у цій системі будуються так: так: до
латинського чисельного додають суфікс
-ілліон, наступне число (у 1000 разів більше)
будується за принципом – те саме
латинське чисельне, але суфікс – -ілліард.
Тобто після трильйону в англійській системі
йде трильярд, а потім квадриллион, за
яким слідує квадрилліард і т.д. Таким
чином, квадрильйон за англійською та
американською системами – це зовсім різні
числа! Дізнатися кількість нулів у числі,
записаному за англійською системою і
що закінчується суфіксом -ілліон, можна за
формулою 6 x + 3 (де x – латинське чисельне) і
за формулою 6 x + 6 для чисел, що закінчуються на
-ілліард.

З англійської системи в українську мову перейшло
лише число мільярд (10 9), яке все ж таки
було б правильніше називати так, як його називають
американці — більйоном, так як у нас прийнята
саме американська система. Але хто у нас у
країні щось робить за правилами! До речі,
іноді в український мові вживають і слово
трильярд (можете самі в цьому переконатися,
запустивши пошук у Гуглі чи Яндексі) і означає воно, зважаючи на
все, 1000 трильйонів, тобто. квадрильйон.

Крім чисел, записаних з допомогою латинських
префіксів за американської чи англійської системі,
відомі і звані позасистемні числа,
тобто. числа, які мають свої власні
назви без жодних латинських префіксів. Таких
чисел існує кілька, але докладніше про них я
розповім трохи згодом.

Повернемося до запису за допомогою латинських
чисельних. Здавалося б, що ними можна
записувати числа до нескінченності, але це не
так. Зараз поясню чому. Подивимося для
початку як називаються числа від 1 до 10 33:

І ось тепер виникає питання, а що далі. Що
там за дециліоном? В принципі, можна, звичайно ж,
за допомогою об’єднання приставок породити такі
монстри, як: андециліон, дуодециліон,
тредециліон, кваттордециліон, квіндециліон, сексдециліон,
септемдециліон ,
октодециліон
і
новемдециліон, але це вже будуть чисел. Тому власних
імен за цією системою, крім зазначених вище, ще
можна отримати лише три
– вігінтильйон (від латів. viginti –
двадцять), центиліон (від латів. centum – сто) і
мілілеон (від латів. mille – тисяча). Більше
тисячі власних назв для чисел у римлян
не було (усі числа більше тисячі у них були
складовими). Наприклад, мільйон (1 000 000) римляни
називали decies centena milia , тобто “десять сотень
тисяч”. А тепер, власне, таблиця:

Таким чином, за подібною системою числа
більше, ніж 10 3003 , який мав би
власну, непорівнянну назву отримати
неможливо! Проте числа більше
мільйона відомі – це ті самі
позасистемні числа. Розкажемо нарешті про них.

Найменше таке число – це міріада

(воно є навіть у словнику Даля), яке означає
сотню сотень, тобто – 10 000. Слово це, щоправда,
застаріло і практично не використовується, але
цікаво, що широко використовується слово
“міріади”, яке означає зовсім не
певне число, а незліченну, незліченну
безліч чогось. Вважається, що слово міріада
(англ. myriad) прийшло до європейських мов з давнього
Єгипту.

Гугол
(від англ. Googol) — це число десять
сотою мірою, тобто одиниця зі ста нулями. Про
“гугол” уперше написав у 1938 році у статті
“New Names in Mathematics” у січневому номері журналу
Scripta Mathematica американський математик Едвард Каснер
(Edward Kasner). За його словами, назвати “гуголом”
велику кількість запропонував його дев’ятирічний
племінник Мілтон Сіротта (Milton Sirotta).
Загальновідомим же це число стало завдяки
пошуковій машині Google, названої на честь нього. Зверніть увагу, що
Google – це торгова марка, а googol – число.

У відомому буддійському трактаті Джайна-сутри, що
відноситься до

100 р. до н .
Вважається, що цій кількості дорівнює кількість
космічних циклів, необхідних для набуття
нірвани.

Гуголплекс
(англ. googolplex
) – число також
придумане Каснер зі своїм племінником і
означає одиницю з гуголом нулів, тобто 10 10 100 .
Ось як сам Каснер описує це “відкриття”:

Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. Назва “ googol
” була введена за дитиною (Dr. Kasner’s nine-year-old nephew)
, яка була поставлена ​​до думки про дуже великий номер, namely, 1 with hundred zeros after it.
Він був дуже впевнений, що цей номер не був infinite, і там, наскільки виправданий, що це було, щоб мати назву
. При тому ж часі, що я маю на увазі “googol”, я хотів, щоб
name for a still larger number: “Googolplex.” А googolplex є дуже
великим, ніж googol, але є більш міцним, як в’язання з ним було кинути до пункту.

Mathematics and the Imagination
(1940) до Kasner і James R.
Newman.

Ще більше, ніж гуголплекс число – число
Скьюза (Skewes number) було запропоновано Скьюзом в 1933
(Skewes. J. London Math. Soc.
8
, 277-283, 1933) при
доказі гіпотези
Ріманна, що стосується простих чисел. Воно
означає e
ступенем e
ступенем e
ступенем 79 ,
тобто eee 79 . Пізніше,
Рієл (te Riele, HJJ “On the Sign of the Difference П
(x)-Li(x).”
Math. Comput.
48
, 323-328, 1987) звів число Скьюза до ee 27/4 ,
що приблизно дорівнює 8,185 · 10 370 . Зрозуміло
, що якщо значення числа Ск’юза залежить від
числа e
, то воно не ціле, тому
розглядати ми його не будемо, інакше довелося б
згадати інші ненатуральні числа — число
пі, число e, число Авогадро тощо.

Але слід зазначити, що є друге число
Скьюза, яке математиці позначається як Sk 2 ,
яке ще більше, ніж перше число Скьюза (Sk 1).
Друге число Скьюза
було введено Дж.
Скьюзом у тій же статті для позначення числа, до
якого гіпотеза Ріманна справедлива. Sk 2
дорівнює 10 10 10 10 3 тобто 10 10 10 1000
.

Як ви розумієте чим більше серед ступенів,
тим складніше зрозуміти яке з чисел більше.
Наприклад, подивившись на числа Ск’юза, без
спеціальних обчислень практично неможливо
зрозуміти, яке з цих двох чисел більше. Таким
чином, для надвеликих чисел користуватися
ступенями стає незручно. Мало того, можна
придумати такі числа (і вони вже придумані), коли
степені просто не влазять на сторінку.
Так, що на сторінку! Вони не влізуть, навіть у книгу,
розміром із увесь Всесвіт! У такому разі постає
питання як їх записувати. Проблема, як ви
розумієте, можна вирішити, і математики розробили
кілька принципів для запису таких чисел.
Щоправда, кожен математик, хто ставив цю
проблему, вигадував свій спосіб запису, що
призвело до існування кількох, не пов’язаних
один з одним, способів для запису чисел — це
нотації Кнута, Конвея, Стейнхауза та ін.

Розглянемо нотацію Хьюго Стенхауза (H. Steinhaus. Mathematical
Snapshots
, 3rd edn. 1983), яка є досить простою. Стейн
хауз запропонував записувати великі числа всередині
геометричних фігур – трикутника, квадрата та
кола:

Стейнхауз придумав два нові надвеликі
числа. Він назвав число Мега
, а число Мегістон.

Математик Лео Мозер доопрацював нотацію
Стенхауза, яка була обмежена тим, що якщо
потрібно записувати числа набагато більше
мегістона, виникали труднощі і незручності, так
як доводилося малювати безліч кіл один
всередині іншого. Мозер запропонував після квадратів
малювати не кола, а п’ятикутники, потім
шестикутники і таке інше. Також він запропонував
формальний запис цих багатокутників,
щоб можна було записувати числа, не малюючи
складних малюнків. Нотація Мозера виглядає так:

Таким чином, за нотацією Мозера
стейнхаузовська мега записується як 2, а
мегістон як 10. Крім того, Лео Мозер запропонував
називати багатокутник з числом сторін рівним
меге – мегагоном. І запропонував число “2 в
Мегагоні”, тобто 2. Це число стало
відомим як число Мозер (Moser’s number) або просто
як мозер
.

Але й мозер не найбільше. Найбільшим
числом, яке коли-небудь застосовувалося в
математичному доказі, є
гранична величина, відома як число Грема

(Graham’s number), вперше використана в 1977 році в
доказі однієї оцінки в теорії Рамсея. Воно
пов’язане з біхроматичними гіперкубами і не
може бути виражене без особливої ​​64-рівневої
системи спеціальних математичних символів,
запроваджених Кнутом у 1976 році.

На жаль, число записане в нотації Кнута
не можна перевести в запис у системі Мозера.
Тому доведеться пояснити цю систему. У
принципі, у ній теж немає нічого складного. Дональд
Кнут (так, так, це той самий Кнут, який написав
“Мистецтво програмування” і створив
редактор TeX) вигадав поняття надступеня,
яке запропонував записувати стрілками,
спрямованими вгору:

Думаю, що все зрозуміло, тому повернемося до
Грема. Грем запропонував, так звані G-числа:

Число G 63 почало називатися числом
Грема
(позначається воно часто просто як G).
Це число є найбільшим відомим у
світі числом і занесене навіть у Книгу рекордів
Гінесса. А ось, що число Грема більше за число
Мозера.

PS
Щоб принести велику користь
всьому людству і прославитися у віках, я
вирішив сам вигадати і назвати найбільше
. Це число називатиметься стасплекс
і
воно дорівнює числу G 100 . Запам’ятайте його, і коли
ваші діти будуть питати яке найбільше у
світі число, кажіть їм, що це число називається стасплекс
.

У дитинстві мене мучило питання, яке існує
найбільше число, і я мучив цим безглуздим
питанням практично всіх підряд. Дізнавшись число
мільйон, я питав, чи є число більше
мільйона. Мільярд? А понад мільярд? Трильйон?
А більше за трильйон? Нарешті, знайшовся хтось розумний,
хто мені пояснив, що питання дурне, тому що
достатньо лише додати до
найбільшого числа одиницю, і виявиться, що воно
ніколи не було найбільшим, тому що існують
число ще більше.

І ось, через багато років, я вирішив поставити інше
питання, а саме: яке існує найбільше
число, яке має власну
назву?
Благо, зараз їсти інет і спантеличити
їм можна терплячі пошукові машини, які не
будуть називати мої питання ідіотськими;-).
Власне, це я й зробив, і ось що в результаті
з’ясував.

Існують дві системи найменування чисел –
американська та англійська.

Американська система побудована досить
просто. Всі назви великих чисел будуються так:
спочатку йде латинське порядкове число,
а в кінці до неї додається суфікс-ілліон.
Виняток становить назву “мільйон”
яка є назвою числа тисяча (лат. mille
)
і збільшувального суфікса -ілліон (див. таблицю).
Так виходять числа – трильйон,
квадриліон, квінтиліон, секстильйон, септиліон, октиліон,
нонільйон та дециліон. Американська система
використовується у США, Канаді, Франції та України.
Дізнатися кількість нулів у числі, записаному за
американською системою, можна за простою формулою
3 x + 3 (де x – латинське числівник).

Англійська система найменування
найпоширеніша у світі. Їй користуються, наприклад, у
Великій Британії та Іспанії, а також у більшості
колишніх англійських та іспанських колоній. Назви
чисел у цій системі будуються так: так: до
латинського чисельного додають суфікс
-ілліон, наступне число (у 1000 разів більше)
будується за принципом – те саме
латинське чисельне, але суфікс – -ілліард.
Тобто після трильйону в англійській системі
йде трильярд, а потім квадриллион, за
яким слідує квадрилліард і т.д. Таким
чином, квадрильйон за англійською та
американською системами – це зовсім різні
числа! Дізнатися кількість нулів у числі,
записаному за англійською системою і
що закінчується суфіксом -ілліон, можна за
формулою 6 x + 3 (де x – латинське чисельне) і
за формулою 6 x + 6 для чисел, що закінчуються на
-ілліард.

З англійської системи в українську мову перейшло
лише число мільярд (10 9), яке все ж таки
було б правильніше називати так, як його називають
американці – Біліон, так як у нас прийнята
саме американська система. Але хто у нас у
країні щось робить за правилами! До речі,
іноді в український мові вживають і слово
трильярд (можете самі в цьому переконатися,
запустивши пошук у Гуглі чи Яндексі) і означає воно, зважаючи на
все, 1000 трильйонів, тобто. квадрильйон.

Крім чисел, записаних з допомогою латинських
префіксів за американської чи англійської системі,
відомі і звані позасистемні числа,
тобто. числа, які мають свої власні
назви без жодних латинських префіксів. Таких
чисел існує кілька, але докладніше про них я
розповім трохи згодом.

Повернемося до запису за допомогою латинських
чисельних. Здавалося б, що ними можна
записувати числа до нескінченності, але це не
так. Зараз поясню чому. Подивимося для
початку як називаються числа від 1 до 10 33:

І ось тепер виникає питання, а що далі. Що
там за дециліоном? В принципі, можна, звичайно ж,
за допомогою об’єднання приставок породити такі
монстри, як: андециліон, дуодециліон,
тредециліон, кваттордециліон, квіндециліон, сексдециліон,
септемдециліон ,
октодециліон
і
новемдециліон, але це вже будуть чисел. Тому власних
імен за цією системою, крім зазначених вище, ще
можна отримати лише три
– вігінтильйон (від латів. viginti –
двадцять), центиліон (від латів. centum – сто) та
мілілеон (від латів. mille – тисяча). Більше
тисячі власних назв для чисел у римлян
не було (усі числа більше тисячі у них були
складовими). Наприклад, мільйон (1 000 000) римляни
називали decies centena milia , тобто “десять сотень
тисяч”. А тепер, власне, таблиця:

Таким чином, за подібною системою числа
більше, ніж 10 3003 , який мав би
власну, непорівнянну назву отримати
неможливо! Проте числа більше
мільйона відомі – це ті самі
позасистемні числа. Розкажемо нарешті про них.

Найменше таке число – це міріада

(воно є навіть у словнику Даля), яке означає
сотню сотень, тобто – 10 000. Слово це, щоправда,
застаріло і практично не використовується, але
цікаво, що широко використовується слово
“міріади”, яке означає зовсім не
певне число, а незліченну, незліченну
безліч чогось. Вважається, що слово міріада
(англ. myriad) прийшло до європейських мов з давнього
Єгипту.

Гугол
(від англ. Googol) – це число десять в
сотому ступені, тобто одиниця зі ста нулями. Про
“гугол” уперше написав у 1938 році у статті
“New Names in Mathematics” у січневому номері журналу
Scripta Mathematica американський математик Едвард Каснер
(Edward Kasner). За його словами, назвати “гуголом”
велику кількість запропонував його дев’ятирічний
племінник Мілтон Сіротта (Milton Sirotta).
Загальновідомим же це число стало завдяки
пошуковій машині Google, названої на честь нього. Зверніть увагу, що
Google – це торгова марка, а googol – число.

У відомому буддійському трактаті Джайна-сутри, що
відноситься до

100 р. до н .
Вважається, що цій кількості дорівнює кількість
космічних циклів, необхідних для набуття
нірвани.

Гуголплекс
(англ. googolplex
) – число також
придумане Каснер зі своїм племінником і
означає одиницю з гуголом нулів, тобто 10 10 100 .
Ось як сам Каснер описує це “відкриття”:

Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. Назва “ googol
” була введена за дитиною (Dr. Kasner’s nine-year-old nephew)
, яка була поставлена ​​до думки про дуже великий номер, namely, 1 with hundred zeros after it.
Він був дуже впевнений, що цей номер не був infinite, і там, наскільки виправданий, що це було, щоб мати назву
. При тому ж часі, що я маю на увазі “googol”, я хотів, щоб
name for a still larger number: “Googolplex.” А googolplex є дуже
великим, ніж googol, але є більш міцним, як в’язання з ним було кинути до пункту.

Mathematics and the Imagination
(1940) до Kasner і James R.
Newman.

Ще більше, ніж гуголплекс число – число
Скьюза (Skewes” number) було запропоновано Скьюзом в 1933
(Skewes. J. London Math. Soc.
8
, 277-283, 1933) при
доказі гіпотези
Ріманна, що стосується простих чисел. Воно
означає e
ступенем e
ступенем e
ступенем 79 ,
тобто eee 79 . Пізніше,
Рієл (te Riele, HJJ “On the Sign of the Difference П
(x)-Li(x).”
Math. Comput.
48
, 323-328, 1987) звів число Скьюза до ee 27/4 ,
що приблизно дорівнює 8,185 · 10 370 . Зрозуміло
, що якщо значення числа Скьюза залежить від
числа e
, то воно не ціле, тому
розглядати ми його не будемо, інакше довелося б
згадати інші ненатуральні числа – число
пі, число e, число Авогадро тощо.

Але слід зазначити, що є друге число
Скьюза, яке математиці позначається як Sk 2 ,
яке ще більше, ніж перше число Скьюза (Sk 1).
Друге число Скьюза
було введено Дж.
Скьюзом у тій же статті для позначення числа, до
якого гіпотеза Ріманна справедлива. Sk 2
дорівнює 10 10 10 10 3 тобто 10 10 10 1000
.

Як ви розумієте чим більше серед ступенів,
тим складніше зрозуміти яке з чисел більше.
Наприклад, подивившись на числа Ск’юза, без
спеціальних обчислень практично неможливо
зрозуміти, яке з цих двох чисел більше. Таким
чином, для надвеликих чисел користуватися
ступенями стає незручно. Мало того, можна
придумати такі числа (і вони вже придумані), коли
степені просто не влазять на сторінку.
Так, що на сторінку! Вони не влізуть, навіть у книгу,
розміром із увесь Всесвіт! У такому разі постає
питання як їх записувати. Проблема, як ви
розумієте, можна вирішити, і математики розробили
кілька принципів для запису таких чисел.
Щоправда, кожен математик, хто ставив цю
проблему вигадував свій спосіб запису, що
призвело до існування кількох, не пов’язаних
один з одним, способів для запису чисел – це
нотації Кнута, Конвея, Стейнхауза та інших.

Розглянемо нотацію Хьюго Стенхауза (H. Steinhaus. Mathematical
Snapshots
, 3rd edn. 1983), яка є досить простою. Стейн
хауз запропонував записувати великі числа всередині
геометричних фігур – трикутника, квадрата та
кола:

Стейнхауз придумав два нові надвеликі
числа. Він назвав число Мега
, а число Мегістон.

Математик Лео Мозер доопрацював нотацію
Стенхауза, яка була обмежена тим, що якщо
потрібно записувати числа набагато більше
мегістона, виникали труднощі і незручності, так
як доводилося малювати безліч кіл один
всередині іншого. Мозер запропонував після квадратів
малювати не кола, а п’ятикутники, потім
шестикутники і таке інше. Також він запропонував
формальний запис цих багатокутників,
щоб можна було записувати числа, не малюючи
складних малюнків. Нотація Мозера виглядає так:

Таким чином, за нотацією Мозера
стейнхаузовська мега записується як 2, а
мегістон як 10. Крім того, Лео Мозер запропонував
називати багатокутник з числом сторін рівним
меге – мегагоном. І запропонував число “2 в
Мегагоні”, тобто 2. Це число стало
відомим як число Мозер (Moser’s number) або просто
як мозер
.

Але й мозер не найбільше. Найбільшим
числом, яке коли-небудь застосовувалося в
математичному доказі, є
гранична величина, відома як число Грема

(Graham’s number), вперше використана в 1977 році в
доказі однієї оцінки в теорії Рамсея. Воно
пов’язане з біхроматичними гіперкубами і не
може бути виражене без особливої ​​64-рівневої
системи спеціальних математичних символів,
запроваджених Кнутом у 1976 році.

На жаль, число записане в нотації Кнута
не можна перевести в запис у системі Мозера.
Тому доведеться пояснити цю систему. У
принципі, у ній теж немає нічого складного. Дональд
Кнут (так, так, це той самий Кнут, який написав
“Мистецтво програмування” і створив
редактор TeX) вигадав поняття надступеня,
яке запропонував записувати стрілками,
спрямованими вгору:

Думаю, що все зрозуміло, тому повернемося до
Грема. Грем запропонував, так звані G-числа:

Число G 63 почало називатися числом
Грема
(позначається воно часто просто як G).
Це число є найбільшим відомим у
світі числом і занесене навіть у Книгу рекордів
Гінесса. А ось, що число Грема більше за число
Мозера.

PS
Щоб принести велику користь
всьому людству і прославитися у віках, я
вирішив сам вигадати і назвати найбільше
. Це число називатиметься стасплекс
і
воно дорівнює числу G 100 . Запам’ятайте його, і коли
ваші діти будуть питати яке найбільше у
світі число, кажіть їм, що це число називається стасплекс
.

Update (4.09.2003):
Дякуємо всім за
коментарі. Виявилося, що при написанні тексту я припустився кількох помилок. Спробую зараз виправити.

1. Я зробив кілька помилок, просто згадавши число Авогадро. По-перше, кілька людей вказали мені, що насправді 6,022 · 10 23 – саме, що не є натуральним числом. А
   по-друге, є
   думка і вона мені здається вірною, що число
   Авогадро взагалі не є числом у
   власному, математичному сенсі слова, оскільки
   воно залежить від системи одиниць. Тепер воно
   виявляється у “моль -1 “, але якщо його
   висловити, наприклад у молях чи ще у чому-небудь,
   воно буде висловлюватися зовсім інший цифрою, але
   числом Авогадро від цього бути не
   перестане.
2. 10 000 – темрява
   100 000 – легіон
   1 000 000 – леодр
   10 000 000 – ворон чи брехня
   100 000 000 – колода
   Що цікаво, давні слов’яни теж любили
   великі числа вміли рахувати до мільярда. Причому
   такий рахунок називався вони “малий рахунок”. У
   деяких рукописах авторами розглядався
   і “великий рахунок”, доходив до числа 10 50 .
   Про числа більше, ніж 10 50 говорилося: “І
   більше цього немає людському розуму розуміти”.
   Назви що у “малому
   рахунку”, переносилися на “великий рахунок”, але
   з іншим змістом. Так, темрява означала вже не 10 000, а
   мільйон, легіон – темряву тем (мільйон мільйонів);
   леодр – легіон легіонів (10 у 24 ступені), далі
   говорилося – десять леодрів, сто леодрів, … , і,
   нарешті, сто тисяч тем легіон леодрів (10 у 47);
   леодр леодрів (10-48) називався ворон і, нарешті,
   колода (10-49).
3. Тему національних назв чисел можна
   розширити, якщо згадати і про забуту мною
   японську систему найменування чисел, яка
   дуже відрізняється від англійської та американської
   системи (ієрогліфи я малювати не буду, якщо
   комусь цікаво, то вони):
   10 0 – ichi
   10 1 – jyuu
   10 2 – hyaku
   10 3 – sen
   10 4 – man
   10 8 – oku
   10 12 – chou
   10 16 – kei
   10 20 – gai
   10 24 – jyo
   10 28 – jyou
   10
   32 –
   0
   0 44 – sai
   10 48 – goku
   10 52 – gougasya
   10 56 – asougi
   10 60 – nayuta
   10 64 – fukashigi
   10 68 – muryoutaisuu
4. Щодо чисел Х’юго Стейнхауза (у України його
   ім’я перекладали чомусь як Гуго Штейнгауз). botev
   запевняє, що ідея записувати надвеликі числа
   у вигляді чисел у кружечках, належить не
   Стейнхаузу, а Данилові Хармсу, який задовго до
   нього опублікував цю ідею у статті “Підняття
   числа”. Також хочу подякувати Євгену
   Скляревському, автору найцікавішого сайту з
   цікавої математики в українськомовному
   інтернеті – Арбуза, за
   інформацію, що Стейнхауз придумав не тільки
   числа мега та мегістон, але й запропонував ще число медзон
   ,
   рівну (в його нотації) “3 у кружечку” .
5. Тепер про кількість миріаду
   чи міріої.
   Щодо походження цієї кількості існують
   різні думки. Одні вважають, що воно виникло в
   Єгипті, інші вважають, що воно народилося лише
   в Античній Греції. Як би там не було насправді,
   але популярність міріада набула саме
   завдяки грекам. Міріада було назвою для
   10 000, а чисел більше десяти тисяч назв
   був. Однак у замітці “Псаміт” (тобто
   обчислення піску) Архімед показав, як можна
   систематично будувати і називати скільки завгодно
   великі числа. Зокрема, розміщуючи в маковому
   зерні 10 000 (міріада) піщинок, він знаходить, що у
   Всесвіті (куля діаметром у міріаду діаметрів
   Землі) помістилося б (у наших позначеннях) не
   більше ніж 10 63 піщинок. Цікаво, що
   сучасні підрахунки кількості атомів у
   видимому Всесвіті призводять до 10 67
   (всього в міріаду разів більше). Назви чисел
   Архімед запропонував такі:
   1 міріада = 104.
   1 ді-міріада = міріада міріад = 108.
   1 три-міріада = ді-міріада ді-міріад = 10 16 .
   1 тетра-міріада = три-міріада три-міріад = 1032.
   і т.д.

Коректно відповісти на це питання не можна, оскільки числовий ряд не має верхньої межі. Так, до будь-якого числа достатньо лише додати одиницю, щоб отримати число ще більше. Хоча самі числа нескінченні, власних назв у них не так вже й багато, тому що більшість із них задовольняються іменами, складеними з менших чисел. Так, наприклад, числа і мають власні назви “одиниця” і “сто”, а назва числа вже складова (“сто один”). Зрозуміло, що у кінцевому наборі чисел, яких людство нагородило власним ім’ям, має бути якесь найбільше. Але як воно називається і чому воно рівне? Давайте ж, спробуємо в цьому розібратися і заразом дізнатися, наскільки великі числа придумали математики.

Історія сучасної системи найменування великих чисел веде початок із середини XV століття, коли в Італії стали користуватися словами «мільйон» (дослівно – велика тисяча) для тисячі у квадраті, «бімільйон» для мільйона в квадраті та «тримільйон» для мільйона в кубі. Про цю систему ми знаємо завдяки французькому математику Ніколя Шюке (Nicolas Chuquet, бл. 1450 – бл. 1500): у своєму трактаті «Наука про числа» (Triparty en la science des nombres, 1484) він розвинув цю ідею, запропонувавши далі скористатися кількісними числівниками (див. таблицю), додаючи їх до закінчення “-ілліон”. Так, «бімільйон» у Шюке перетворився на більйон, «тримільйон» на трильйон, а мільйон у четвертій мірі став «квадрилліоном».

У системі Шюке число ,
що знаходилося між мільйоном і більйоном, не мало власної назви і називалося просто тисячі мільйонів, аналогічно називалося тисячі більйонів, – тисячі трильйонів і т.д. Це було не дуже зручно, і в 1549 французький письменник і вчений Жак Пелетьє (Jacques Peletier du Mans, 1517-1582) запропонував назвати такі «проміжні» числа за допомогою тих же латинських префіксів, але закінчення «-ілліард». Так, стало називатися “мільярдом”, – “біліардом”, – “трільярдом” і т.д.

Система Шюке-Пелетьє поступово стала популярна і стали користуватися по всій Європі. Однак у XVII столітті виникла несподівана проблема. Виявилося, деякі учені чомусь стали плутатися і називати число не «мільярдом» чи «тисячю мільйонів», а «білліоном». Незабаром ця помилка швидко поширилася, і виникла парадоксальна ситуація – “біліон” став одночасно синонімом “мільярда” ()
та “мільйона мільйонів” ().

Ця плутанина тривала досить довго і призвела до того, що США створили свою систему найменування великих чисел. За американською системою назви чисел будуються як і, як у системі Шюке, – латинський префікс і закінчення «ілліон». Проте величини цих чисел різняться. Якщо в системі Шюке назви із закінченням «ілліон» отримували числа, які були ступенями мільйона, то в американській системі закінчення «-ілліон» отримали ступінь тисячі. Тобто тисяча мільйонів ()
стала називатися «більйоном», ()
– «трильйоном», ()
– «квадрилліоном» тощо.

Стара ж система найменування великих чисел продовжувала використовуватися в консервативній Великій Британії і стала в усьому світі називатися «британською», незважаючи на те, що вона була придумана французами Шюке та Пелетьє. Однак у 1970-х роках Великобританія офіційно перейшла на «американську систему», що призвело до того, що називати одну систему американською, а іншу британською стало дивно. В результаті зараз американську систему зазвичай називають «короткою шкалою», а британську систему або систему Шюке-Пелетьє – «довгою шкалою».

Щоб не заплутатися, підіб’ємо проміжний підсумок:

Коротка шкала найменування використовується зараз у США, Великій Британії, Канаді, Ірландії, Австралії, Бразилії та Пуерто-Ріко. У України, Данії, Туреччині та Болгарії також використовується коротка шкала, за винятком того, що число називається не “біліон”, а “мільярд”. Довга ж шкала нині продовжує використовуватися у більшості інших країн.

Цікаво, що в нашій країні остаточний перехід до короткої шкали стався лише у другій половині ХХ століття. Так, наприклад, ще Яків Ісидорович Перельман (1882–1942) у своїй «Цікавій арифметиці» згадує паралельне існування у СРСР двох шкал. Коротка шкала, згідно з Перельманом, використовувалася в життєвому побуті та фінансових розрахунках, а довга – у наукових книгах з астрономії та фізики. Однак зараз використовувати в України довгу шкалу неправильно, хоча цифри там виходять великі.

Але повернемося до пошуку найбільшої кількості. Після дециліону назви чисел виходять шляхом об’єднання приставок. Так виходять такі числа як ундециліон, дуодециліон, тредециліон, кваттордециліон, квіндециліон, сексдециліон, септемдециліон, октодециліон, новемдециліон і т.д. Однак ці назви нам уже не цікаві, тому що ми домовилися знайти найбільше з власним нескладним назвою.

Якщо ж ми звернемося до латинської граматики, то виявимо, що нескладні назви для чисел більше десяти у римлян було всього три: viginti – «двадцять», centum – «сто» і mille – «тисяча». Для чисел більше, ніж «тисяча», своїх назв у римлян не було. Наприклад, мільйон ()

римляни називали “decies centena milia”, тобто “десять разів по сотні тисяч”. За правилом Шюке, ці три латинські числівники, що залишилися, дають нам такі назви для чисел як «вігінтильйон», «центилліон» і «міллеілліон».

Отже, ми з’ясували, що за «короткою шкалою» максимальне число, яке має власну назву та не є складовим із менших чисел – це «міллеілліон» ().
Якби в України була б прийнята «довга шкала» найменування чисел, то найбільшим числом із власною назвою виявився б «міллілліард» ().

Проте існують назви і ще більших чисел.

Деякі числа мають власну назву, без зв’язку з системою найменування за допомогою латинських префіксів. І таких чисел чимало. Можна, наприклад, згадати число e, число «пі», дюжину, число звіра та ін. Проте оскільки нас зараз цікавлять великі числа, то розглянемо ті числа зі своїм нескладним назвою, які більше мільйона.

До XVII століття на Русі застосовувалася власна система найменування чисел. Десятки тисяч називалися «темрями», сотні тисяч – «легіонами», мільйони – «леодрами», десятки мільйонів – «воронами», а сотні мільйонів – «колодами». Цей рахунок до сотень мільйонів називався «малим рахунком», а деяких рукописах авторами розглядався і «великий рахунок», у якому вживалися самі назви для великих чисел, але з іншим сенсом. Так, «темрява» означала вже не десять тисяч, а тисячу тисяч.

«Колодою» ж у великому слов’янському рахунку чомусь називали не «ворон воронів» ()

, А лише десять «воронів», тобто (див. таблицю).

Число також має власну назву і вигадав його дев’ятирічний хлопчик. А справа була така. У 1938 році американський математик Едвард Кеснер (Edward Kasner, 1878-1955) гуляв парком з двома своїми племінниками і обговорював з ними великі числа. У ході розмови зайшла мова про кількість зі ста нулями, яка не мала власної назви. Один із племінників, дев’ятирічний Мілтон Сіротта (Milton Sirott), запропонував назвати це число «гуголом» (googol). В 1940 Едвард Кеснер спільно з Джеймсом Ньюманом написав науково-популярну книгу «Математика і уява», де і розповів любителям математики про число гугол. Ще ширшу популярність гугол отримав наприкінці 1990-х, завдяки названій на честь нього пошуковій машині Google.

Назва для ще більшого числа, ніж гугол, виникла в 1950 завдяки батькові інформатики Клоду Шеннону (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). У статті «Програмування комп’ютера для гри в шахи» він спробував оцінити кількість можливих варіантів шахової гри. Відповідно до нього, кожна гра триває в середньому ходів і на кожному ході гравець робить вибір у середньому з варіантів, що відповідає (приблизно рівне)
варіантам гри. Ця робота стала широко відомою, і це число стало називатися «числом Шеннона».

У відомому буддійському трактаті Джайна-сутри, що відноситься до 100 року до н.
Вважається, що цій кількості дорівнює кількість космічних циклів, необхідних для набуття нірвани.

Дев’ятирічний Мілтон Сіротта увійшов в історію математики не тільки тим, що придумав число гугол, але й тим, що одночасно з ним запропонував ще одне число – “гуголплекс”, яке дорівнює ступеню “гугол”, тобто одиниці з гуголом нулів.

Ще два числа, більші, ніж гуголплекс, було запропоновано південноафриканським математиком Стенлі Скьюзом (Stanley Skewes, 1899–1988) за підтвердженням гіпотези Рімана. Перше число, яке пізніше стали називати «першим числом Скьюза», дорівнює ступеня ступеня ,
тобто .
Однак «друге число Ск’юза» ще більше і становить .

Очевидно, що чим більше серед ступенів у ступенях, тим складніше записувати числа і розуміти їх значення при читанні. Мало того, можна придумати такі числа (і вони, до речі, вже придумані), коли ступеня ступенів просто не поміщаються на сторінку. Так, що на сторінку! Вони не вмістяться навіть у книжку розміром із увесь Всесвіт! У такому разі постає питання як такі числа записувати. Проблема, на щастя, можна вирішити, і математики розробили кілька принципів для запису таких чисел. Щоправда, кожен математик, хто ставив цю проблему, придумував свій спосіб записи, що призвело до існування кількох не пов’язаних один з одним способів для запису великих чисел – це нотації Кнута, Конвея, Штейнгауза та ін.

У 1938 році, в той же рік, коли дев’ятирічний Мілтон Сіротта вигадав числа гугол і гуголплекс, у Польщі вийшла книжка про цікаву математику «Математичний калейдоскоп», написана Гуго Штейнгаузом (Hugo Dionizy Steinhaus, 1887–1972). Ця книга стала дуже популярною, витримала безліч видань і була перекладена багатьма мовами, у тому числі англійською та українською. У ній Штейнгауз, обговорюючи великі числа, пропонує простий спосіб їх запису, використовуючи три геометричні фігури – трикутник, квадрат та коло:

”
у квадраті” означає ”
в трикутниках”,
”
у колі” означає ”
у квадратах”.

Пояснюючи цей спосіб запису, Штейнгауз вигадує число “мега”, рівне у колі і показує, що воно одно в “квадраті” або в трикутниках. Щоб підрахувати його, треба звести в ступінь ,
що вийшло число звести в ступінь ,
потім число, що вийшло, звести в ступінь отриманого числа і так далі зводити в ступінь разів. Наприклад, калькулятор у MS Windows не може підрахувати через переповнення навіть у двох трикутниках. Приблизно це величезна кількість становить .

Визначивши число “мега”, Штейнгауз пропонує читачам самостійно оцінити інше число – “медзон”, рівне в колі. В іншому виданні книги Штейнгауз замість медзона пропонує оцінити ще більше – “мегістон”, рівне в колі. Слідом за Штейнгаузом я також порекомендую читачам на якийсь час відірватися від цього тексту і самим спробувати записати ці числа за допомогою звичайних ступенів, щоб відчути їхню гігантську величину.

Втім, є назви для великих чисел. Так, канадський математик Лео Мозер (Leo Moser, 1921-1970) доопрацював нотацію Штейнгауза, яка була обмежена тим, що, якби знадобилося записати числа багато великих мегістонів, то виникли б труднощі та незручності, тому що довелося б малювати безліч кіл один всередині іншого. Мозер запропонував після квадратів малювати не кола, а п’ятикутники, потім шестикутники і таке інше. Також він запропонував формальний запис цих багатокутників, щоб можна було записувати числа, не малюючи складних малюнків. Нотація Мозера виглядає так:

”
У квадраті” = = ”
У трикутниках” = ;

«
У п’ятикутнику» = = «
У квадратах» = ;

Таким чином, за нотацією Мозера штейнгаузовський “мега” записується як ,
“медзон” як ,
а “мегістон” як .
Крім того, Лео Мозер запропонував називати багатокутник із числом сторін рівним меге – «мегагоном». І запропонував число «

у мегагоні», тобто .
Це число стало відомим як число Мозер або просто як «мозер».

Але навіть і «мозер» не найбільше. Отже, найбільшим числом, яке коли-небудь застосовувалося в математичному доказі, є «число Грема». Вперше це число було використане американським математиком Рональдом Гремом (Ronald Graham) у 1977 році при доказі однієї оцінки в теорії Рамсея, а саме при підрахунку розмірності певних мірних

біхроматичних гіперкубів. Відомість же число Грема одержало лише після розповіді про нього у книзі Мартіна Гарднера, що вийшла в 1989 році, «Від мозаїк Пенроуза до надійних шифрів».

Щоб пояснити, наскільки велика кількість Грема, доведеться пояснити ще один спосіб запису великих чисел, введений Дональдом Кнутом в 1976 році. Американський професор Дональд Кнут вигадав поняття надступеня, яке запропонував записувати стрілками, спрямованими вгору.

Звичайні арифметичні операції – додавання, множення та зведення у ступінь – природним чином можуть бути розширені в послідовність гіпероператорів в такий спосіб.

Множення натуральних чисел може бути визначено через повторно вироблену операцію додавання («скласти копії числа»):

Зведення числа в ступінь може бути визначено як повторна операція множення («перемножити копій числа»),
і в позначеннях Кнута цей запис виглядає як одиночна стрілочка, що вказує вгору:

Така одиночна стрілка вгору використовувалася як піктограма ступеня в мові програмування Алгол.

Тут і далі обчислення виразу завжди йде справа наліво, також і стрілочні оператори Кнута (як і операція зведення в ступінь) за визначенням мають правою асоціативністю (черговістю справа наліво). Згідно з цим визначенням,

Вже це призводить до чималим числам, але система позначень на цьому не закінчується. Оператор потрійна стрілочка використовується для запису повторного зведення в ступінь оператора подвійна стрілочка (також відомого як пентація):

Потім оператора “четверна стрілочка”:

І т. д. Загальне правило оператор «-я

стрілочка», відповідно до правої асоціативності, продовжується праворуч у послідовну серію операторів «

стрілочка». Символічно це можна записати так,

Форма позначення зазвичай використовується для запису зі стрілками.

Деякі числа настільки великі, що навіть запис стрілочками Кнута стає надто громіздким; у цьому випадку використання оператора -стрілочка
краще (і також для опису зі змінним числом стрілочок), або еквівалентно, гіпероператорам. Але деякі числа настільки величезні, що навіть такий запис недостатній. Наприклад, число Грема.

При використанні Стрілкової нотації Кнута число Грема може бути записане як

Де кількість стрілок у кожному шарі, починаючи з верхнього, визначається числом у наступному шарі, тобто
де ,
де верхній індекс у стрілки показує загальну кількість стрілок. Іншими словами, обчислюється в кроки: на першому кроці ми обчислюємо із чотирма стрілками між трійками, на другому – зі стрілками між трійками, на третьому – зі стрілками між трійками тощо; в кінці ми обчислюємо зі стрілок між трійками.

Це може бути записано як ,
де ,
де верхній індекс означає ітерації функцій.

Якщо іншим числам з «іменами» можна підібрати відповідне число об’єктів (наприклад, кількість зірок у видимій частині Всесвіту оцінюється в секстильйонах – ,
а кількість атомів, з яких складається земна куля має порядок додекальйонів), то гугол уже «віртуальний», не кажучи вже про число Грема. Масштаб тільки першого члена настільки великий, що його практично неможливо усвідомити, хоча запис вище відносно простий для розуміння. Хоча – це всього лише кількість веж у цій формулі для ,
вже це число набагато більше за кількість об’ємів Планка (найменший можливий фізичний об’єм), які містяться у всесвіті (приблизно ).
Після першого члена нас чекають ще члена послідовності, що стрімко зростає.

Ще в четвертому класі мене зацікавило питання: “А як називаються числа більше мільярда? І чому?”. З того часу я довго шукав всю інформацію з цього питання і збирав її по крихтах. Але з появою доступу до Інтернету, пошук значно прискорився. Тепер я представляю всю знайдену мною інформацію, щоб інші могли відповісти питанням: “Як називаються великі і дуже великі числа?”.

Трішки історії

Південні та східні слов’янські народи для запису чисел користувалися алфавітною нумерацією. Причому у українських роль цифр грали в повному обсязі букви, лише ті, які є у грецькому алфавіті. Над буквою, що позначала цифру, ставився спеціальний значок “титло”. У цьому числові значення літер зростали у тому порядку, у якому слідували літери в грецькому алфавіті (порядок літер слов’янського алфавіту був дещо інший).

У України її слов’янська нумерація збереглася остаточно 17 століття. За Петра I взяла гору так звана “арабська нумерація”, якою ми користуємося і зараз.

У назвах чисел також відбувалися зміни. Наприклад, до 15 століття число “двадцять” позначалося як “два десяти” (два десятки), але потім скоротилося для більш швидкої вимови. До 15 століття число “сорок” позначалося словом “чотиридесяте”, а в 15-16 століттях це слово було витіснене словом “сорок”, яке спочатку позначало мішок, в який містилося 40 білиць або соболиних шкурок. Про походження слова “тисяча” є два варіанти: від старої назви “товсте сто” або модифікації латинського слова centum – “сто”.

Назва “мільйон” вперше з’явилося в Італії в 1500 р. і утворилося додаванням збільшувального суфікса до “мілі” – тисяча (тобто позначало “велику тисячу”), в українську мову воно пронило пізніше, а до цього те ж значення в українською мовою позначалося числом “леодр”. Слово “мільярд” увійшло у вжиток лише від часу франко-пруссої війни (1871 р.), коли французам довелося сплатити Німеччини контрибуцію 5 000 000 000 франків. Як і “мільйон” слово “мільярд” походить від кореня “тисяча” з добавкою італійського збільшувального суфікса. У Німеччині та Америці деякий час під словом “мільярд” мали на увазі число 100 000 000; цим пояснюється, що слово мільярдер в Америці стало використовуватися до того, як у будь-кого з багатіїв з’явилося 1000000000 доларів. У старовинній (XVIII ст.) “Арифметиці” Магніцького, наводиться таблиця назв чисел, доведена до “квадрильйона” (10^24, за системою через 6 розрядів). Перельман Я.І. у книзі “Цікава арифметика” наводяться назви великих чисел того часу, які дещо відрізняються від сьогоднішніх: септильон (10^42), октальйон (10^48), нональон (10^54), декальон (10^60), ендекальон (10^ 66), додекальон (10^72) і написано, що “далі назв немає”.

Принципи побудови назв і список великих чисел

Усі назви великих чисел побудовані досить простим чином: спочатку йде латинське порядкове число, а в кінці до нього додається суфікс-ілліон. Виняток становить назву “мільйон”, яка є назвою числа тисяча (mille) і збільшувального суфікса -ілліон. У світі існує два основних типи назв великих чисел:
система 3х+3 (де х – латинське порядкове число) – ця система використовується в України, Франції, США, Канаді, Італії, Туреччині, Бразилії, Греції
та система 6х (де х – латинське порядкове число) – ця система найбільш поширена у світі (наприклад: Іспанія, Німеччина, Угорщина, Португалія, Польща, Чехія, Швеція, Данія, Фінляндія). У ній відсутні проміжні 6х+3 закінчуються суфіксом -ілліард (з неї ми запозичували мільярд, який ще називається більйон).

Загальний список чисел, що використовуються в України, представляю нижче:

Вимова чисел, що йдуть далі, часто різняться.

• …
  • 10 100 – гугол (число вигадав 9-річний племінник американського математика Едварда Каснера)
  • 10 123 – квадрагінтіліон (quadraginta, XL)
  • • 10 153 – квінквагінтильйон (quinquaginta, L)
    • • 10 183 – сексагінтиліон (sexaginta, LX)
      • • 10 213 – септуагінтиліон (septuaginta, LXX)
        • • 10 243 – октогінтиліон (octoginta, LXXX)
          • • 10 273 – нонагінтиліон (nonaginta, XC)
            • • 10 303 – центиліон (Centum, C)

              Подальші назви може бути отримані або прямим, або зворотним порядком латинських числівників (як і невідомо):

              • • 10 306 – анцентилліон або центунільйон
                • • 10 309 – дуоцентильйон або центдуолліон
                  • • 10 312 – третентіліон або центтриліон
                    • • 10 315 – кватторцентилліон або центквадрилліон
                      • • 10 402 – третригінтацентилліон або центтретригінтиліон

                        Я вважаю, що найбільш правильним буде другий варіант написання, тому що він більше відповідає побудові чисельних в латинській мові і дозволяє уникнути двозначностей (наприклад, в числі третентіліон, яке за першим написанням є і 10903 і 10312).
                        Числа далі:
                        Деякі літературні посилання:
                        

                        1. 1. Перельман Я.І. “Цікава арифметика”. – М.: Тріада-Літера, 1994, стор 134-140
                           1. 1. Вигодський М.Я. “Довідник з елементарної математики”. – С-Пб., 1994, стор 64-65
                              1. 1. “Енциклопедія знань”. – Упоряд. В.І. Короткевич. – С-Пб.: Сова, 2006, стор 257
                                 1. “Цікаво про фізику та математику”. – Бібліотечка Квант. вип. 50. – М.: Наука, 1988, стор 50

                                 Округлення числа у Excel. Легкі правила заокруглення чисел після коми

                                 Щоб розглянути особливість округлення тієї чи іншої кількості, необхідно проаналізувати конкретні приклади та деяку основну інформацію.

                                 Як округлювати числа до сотих

                                 • Для округлення числа до сотих необхідно залишати після коми дві цифри, решта, звичайно ж, відкидається. Якщо перша цифра, яка відкидається, це 0, 1, 2, 3 або 4, попередня цифра залишається незмінною.
                                 • Якщо ж цифра, що відкидається, – це 5, 6, 7, 8 або 9, то потрібно збільшити попередню цифру на одиницю.
                                 • Наприклад, якщо потрібно округлити число 75,748, то після заокруглення ми отримуємо 75,75. Якщо ми маємо 19,912, то в результаті округлення, а точніше, без необхідності його використання, ми отримуємо 19,91. У випадку з 19,912 цифра, яка йде після сотих, не округляється, тому вона просто відкидається.
                                 • Якщо йдеться про число 18,4893, то округлення до сотих відбувається так: перша цифра, яку потрібно відкинути, це 3, тому жодних змін не відбувається. Виходить 18,48.
                                 • У випадку з числом 0,2254, ми маємо першу цифру, яка відкидається при округленні до сотих. Це п’ятірка, яка свідчить про те, що попереднє число потрібно збільшити на одиницю. Тобто, ми отримуємо 0,23.
                                 • Бувають і випадки, коли округлення змінює всі цифри. Наприклад, щоб округлити до сотих число 64,9972, бачимо, що число 7 округляє попередні. Отримуємо 65,00.

                                 Як округлювати числа до цілих

                                 При округленні чисел до цілих ситуація така сама. Якщо маємо, наприклад, 25,5 , то після округлення ми отримуємо 26 . У разі достатньої кількості цифр після коми округлення відбувається таким чином: після округлення 4,371251 ми отримуємо 4 .

                                 Округлення до десятих відбувається так само, як і у випадку з сотими. Наприклад, якщо потрібно округлити число 45,21618, ми отримуємо 45,2. Якщо друга цифра після десятої – це 5 або більше, попередня цифра збільшується на одиницю. Як приклад можна округлити 13,6734, й у результаті вийде 13,7.

                                 Важливо звертати увагу на цифру, розташовану перед тією, що відсікається. Наприклад, якщо ми маємо число 1,450 , то після округлення отримуємо 1,4 . Однак у випадку з 4,851 доцільно округлювати до 4,9, оскільки після п’ятірки ще йде одиниця.

                                 Багато людей цікавляться, як округлювати числа. Ця необхідність часто виникає у людей, які своє життя пов’язують із бухгалтерією чи іншими видами діяльності, де потрібні розрахунки. Округлення може проводитися до цілих, десятих і таке інше. І необхідно знати, як це робити правильно, щоб розрахунки були менш точними.

                                 А що таке взагалі ціле число? Це те, що закінчується на 0 (здебільшого). У повсякденному житті вміння округляти числа значно полегшує походи магазинами. Стоячи біля каси, можна приблизно прикинути загальну вартість покупок, порівняти скільки коштує кілограм однойменного товару в різних за вагою пакетах. З числами, наведеними до зручної форми, легше робити усні розрахунки, не вдаючись по допомогу калькулятора.

                                 Навіщо округляються числа?

                                 Будь-які цифри людина схильна округляти у випадках, коли потрібно виконувати більш спрощені операції. Наприклад, диня важить 3150 кілограмів. Коли людина буде розповідати своїм знайомим про те, скільки грамів має південний плід, вона може бути не дуже цікавим співрозмовником. Значно лаконічніше звучать фрази типу “Ось я купив трикілограмову диню” без уникнення будь-яких непотрібних деталей.

                                 Цікаво, що навіть у науці немає потреби завжди мати справу з максимально точними числами. А якщо йдеться про періодичні нескінченні дроби, які мають вигляд 3,33333333…3, то це стає неможливим. Тому найлогічним варіантом буде звичайне округлення їх. Як правило, результат після цього незначно спотворюється. Отже, як округлювати числа?

                                 Декілька важливих правил при округленні чисел

                                 Отже, якщо ви захотіли округлити число, то важливо розуміти основні принципи округлення? Це операція зміни, спрямована на зменшення кількості знаків після коми. Щоб здійснювати цю дію, необхідно знати кілька важливих правил:

                                 1. Якщо кількість потрібного розряду знаходиться в межах 5-9, округлення здійснюється у більшу сторону.
                                 2. Якщо кількість потрібного розряду знаходиться в межах 1-4, округлення проводиться меншу сторону.

                                 Наприклад, ми маємо число 59. Нам його потрібно округлити. Щоб це зробити, треба взяти число 9 і додати до нього одиницю, щоб вийшло 60. Ось і на запитання, як округлювати числа. А тепер розглянемо окремі випадки. Власне ми розібралися, як округлити число до десятків за допомогою цього прикладу. Тепер залишилося лише використовувати ці знання на практиці.

                                 Як округлити число до цілих

                                 Дуже часто трапляється так, що є необхідність округлити, наприклад, число 5,9. Дана процедура не становить великої праці. Потрібно для початку опустити кому, і перед нашим поглядом постає при округлі вже знайоме нам число 60. А тепер ставимо кому на місце, і отримуємо 6,0. Оскільки нулі в десяткових дробах, зазвичай, опускаються, то отримуємо у результаті цифру 6.

                                 Аналогічну операцію можна робити і з складнішими числами. Наприклад, як округлювати числа типу 5,49 до цілих? Тут все залежить від того, яку мету ви поставите перед собою. Взагалі, за правилами математики, 5,49 – це не 5,5. Тому округлити його у велику сторону не можна. Але можна його округлити до 5,5, після чого вже законним стає округлення до 6. Але такий прийом не завжди спрацьовує, так що потрібно бути гранично обережним.

                                 В принципі, вище вже було розглянуто приклад правильного округлення числа до десятих, тому зараз важливо відобразити лише основний принцип. По суті, все відбувається приблизно так само. Якщо цифра, яка знаходиться на другій позиції після коми, знаходиться в межах 5-9, то вона взагалі забирається, а цифра, що стоїть перед нею, збільшується на один. Якщо ж менше 5, то ця цифра забирається, а попередня залишається на своєму місці.

                                 Наприклад, при 4,59 до 4,6 цифра “9” йде, а до п’ятірки додається одиниця. А от при округленні 4,41 одиниця опускається, а четвірка залишається у незмінному вигляді.

                                 Як використовують маркетологи невміння масового споживача округляти цифри?

                                 Виявляється, більшість людей у ​​світі немає звички оцінити реальну вартість товару, що активно експлуатують маркетологи. Усі знають слогани акцій типу “Купуйте всього за 9,99”. Так, ми свідомо розуміємо, що це вже насправді десять доларів. Тим не менш, наш мозок влаштований так, що сприймає тільки першу цифру. Так що нехитра операція приведення числа у зручний вигляд має увійти до звички.

                                 Дуже часто округлення дозволяє краще оцінити проміжні успіхи, що виражаються у чисельній формі. Наприклад, людина стала заробляти 550 доларів на місяць. Оптиміст скаже, що це майже 600, песиміст – що це трохи більше 500. Начебто різниця є, але мозку приємніше “бачити”, що об’єкт досяг чогось більшого (або навпаки).

                                 Можна навести безліч прикладів, коли вміння округляти виявляється неймовірно корисним. Важливо виявляти винахідливість і по можливості завантажуватися непотрібною інформацією. Тоді успіх буде негайним.

                                 Дробові числа в електронних таблицях Excel можна виводити на екран з різним ступенем точності
                                 .

                                 • найпростіший спосіб
                                   – на вкладці « Головна
                                   » натискаємо кнопки « Збільшити розрядність
                                   » або « Зменшити розрядність
                                   »;
                                 • клацаємо правою кнопкою миші
                                   по комірці, в меню вибираємо « Формат осередків …
                                   », далі вкладка « Число
                                   », вибираємо формат « Числовий
                                   », визначаємо, скільки буде десяткових знаків після коми (за замовчуванням пропонується 2 знаки);
                                 • клацаємо осередок, на вкладці « Головна
                                   » вибираємо « Числовий
                                   », або йдемо на « Інші числові формати…
                                   » і там налаштовуємо.

                                 Ось як виглядає дріб 0,129, якщо змінювати кількість десяткових знаків після коми у форматі комірки:

                                 Зверніть увагу, в A1, A2, A3 записане одне й те саме значення
                                 змінюється тільки форма уявлення. При подальших розрахунках буде використовуватися величина, видима на екрані, а вихідна
                                 . Початківця користувача електронних таблиць це може заплутати. Щоб реально змінити значення, необхідно використовувати спеціальні функції, їх у Excel кілька.

                                 Формула округлення

                                 Одна з часто застосовуваних функцій округлення – ОКРУГЛ
                                 . Вона працює за стандартними математичними правилами. Вибираємо комірку, клацаємо значок « Вставити функцію
                                 », категорія « Математичні
                                 », знаходимо ОКРУГЛ
                                 

                                 Визначаємо аргументи, їх два – сам дріб
                                 та кількість
                                 розрядів. Клацаємо ” ОК
                                 ” і дивимося, що вийшло.

                                 Наприклад, вираз =ОКРУГЛ(0,129;1)
                                 дасть результат 0,1. Нульова кількість розрядів дозволяє позбавлятися дробової частини. Вибір негативної кількості розрядів дозволяє округляти цілу частину до десятків, сотень тощо. Наприклад, вираз =ОКРУГЛ(5,129;-1)
                                 дасть 10.

                                 Округлюємо у більший чи менший бік

                                 В Excel представлені інші засоби, що дозволяють працювати з десятковими дробами. Одне з них – ОКРУГЛВВЕРХ
                                 , видає найближче число, більше
                                 за модулем. Наприклад, вираз =ОКРУГЛВВЕРХ(-10,2;0) дасть -11. Кількість розрядів тут 0, отже, отримаємо ціле значення. Найближче ціле
                                 , більше за модулем, – саме -11. Приклад використання:

                                 ОКРУГЛВНИЗ
                                 аналогічна попередньої функції, але видає найближче значення, що є меншим за модулем. Відмінність у роботі вищеописаних засобів видно з прикладів
                                 :

                                 =ОКРУГЛ(7,384;0)	7
                                 =ОКРУГЛВВЕРХ(7,384;0)	8
                                 =ОКРУГЛВНИЗ(7,384;0)	7
                                 =ОКРУГЛ(7,384;1)	7,4
                                 =ОКРУГЛВВЕРХ(7,384;1)	7,4
                                 =ОКРУГВНИЗ(7,384;1)	7,3

                                 Припустимо, що ви хочете округлити число до найближчого цілого, тому що десяткові значення вам не важливі, або уявити число у вигляді ступеня 10, щоб спростити приблизні обчислення. Існує кілька способів заокруглення чисел.

                                 Зміна кількості знаків після коми без зміни значення

                                 На аркуші

                                 У вбудованому числовому форматі

                                 Округлення числа нагору

                                 Округлення числа до найближчого значення

                                 Округлення числа до найближчого дробового значення

                                 Округлення числа до вказаної кількості значних розрядів

                                 Значні розряди – це розряди, які впливають точність числа.

                                 У прикладах цього розділу використовуються функції ОКРУГЛ
                                 , ОКРУГЛВВЕРХ
                                 та ОКРУГЛВНИЗ
                                 . Вони показують способи округлення позитивних, негативних, цілих і дробових чисел, але наведені приклади охоплюють лише невелику частину можливих ситуацій.

                                 У цьому списку містяться загальні правила, які необхідно враховувати при округленні чисел до вказаної кількості значущих розрядів. Ви можете поекспериментувати з функціями округлення та підставити власні числа та параметри, щоб отримати число з необхідною кількістю значних розрядів.

                                 Округлювані негативні числа передусім перетворюються на абсолютні значення (значення без знака “мінус”). Після заокруглення знак “мінус” застосовується повторно. Хоча це може бути нелогічним, саме так виконується округлення. Наприклад, при використанні функції ОКРУГЛВНИЗ
                                 для округлення числа -889 до двох значних розрядів результатом є число -880. Спочатку -889 перетворюється на абсолютне значення (889). Потім це значення округляється до двох значних розрядів (880). Після цього повторно застосовується знак мінус, що дає в результаті -880.

                                 При застосуванні до позитивного числа функції ОКРУГЛВНИЗ
                                 воно завжди округляється вниз, а при застосуванні функції ОКРУГЛВВЕРХ
                                 – вгору.

                                 Функція ОКРУГЛ
                                 округляє дробові числа наступним чином: якщо частина більша або дорівнює 0,5, число округляється вгору. Якщо частина менша 0,5, число округляється вниз.

                                 Функція ОКРУГЛ
                                 округляє цілі числа вгору або вниз аналогічним чином, замість дільника 0,5 використовується 5.

                                 Загалом при округленні числа без дробової частини (цілого числа) необхідно відняти довжину числа з необхідної кількості значних розрядів. Наприклад, щоб округлити 2345678 вниз до 3 значущих розрядів, використовується функція ОКРУГЛВНИЗ
                                 з параметром -4: = ОКРУГЛВНИЗ(2345678,-4)
                                 . У цьому число округляється значення 2340000, де частина “234” є значні розряди.

                                 Округлення числа до заданого кратного

                                 Іноді може бути потрібно округлити значення до кратного заданому числу. Наприклад, припустимо, що компанія постачає товари в ящиках по 18 одиниць. За допомогою функції ОКРУГЛТ можна визначити, скільки ящиків потрібно для постачання 204 одиниць товару. В даному випадку відповіддю є 12, так як число 204 при розподілі на 18 дає значення 11333, яке необхідно округлити вгору. У 12-му ящику буде лише 6 одиниць товару.

                                 Може також знадобитися округлити негативне значення до кратного негативного або дробове – до кратного дробового. Для цього також можна застосовувати функцію ОКРУГЛТ
                                 .

                                 Зрозумійте значення цифр у десяткових частках.
                                 У будь-якому числі різні цифри є різними розрядами. Наприклад, серед 1872 одиниця становить тисячі, вісімка – сотні, сімка – десятки, двійка – одиниці. Якщо в числі є десяткова кома, то цифри праворуч від неї відбивають дроби від цілого числа
                                 .
                                 
                                 

                                 • Визначте розряд десяткового дробу, до якого хочете його округлити.
                                   Першим кроком у заокругленні десяткових дробів є визначення місця, до якого потрібно округлити число
                                   . Якщо ви робите домашню роботу, це зазвичай визначено умовою завдання. Найчастіше за умови може бути вказана необхідність округлити відповідь до десятих, сотих або тисячних знаків після коми.
                                   • Наприклад, якщо стоїть завдання округлення числа 12, 9889 до тисячних часток, почати слід із виявлення розташування цих тисячних часток. Відрахуйте знаки від коми як десяті, соті, тисячні, після яких йдуть десятитисячні
                                     . Друга вісімка буде саме тим, що вам потрібно (12,98 8
                                     9).
                                   • Іноді за умови може вказуватися конкретне місце для округлення (наприклад, “округлення до третього знака після коми” означає те саме, що і “округлення до тисячних”).
                                   • У взятому раніше прикладі числа (12,9889) необхідно зробити округлення до тисячних (12,98 8
                                     9), тому тепер слід подивитися на цифру праворуч від тисячної частки, саме на останню дев’ятку (12,988 9
                                     ).
                                   • У взятому прикладі (12,9889) остання дев’ятка більше п’ятірки, тому ми округлятимемо тисячні у більшу сторону.
                                     Округлене число стане у вигляді 12,989
                                     . Зверніть увагу, що після заокруглення цифри відкинуті.
                                   • Ви не можете округлити число 12,9889 в меншу сторону, оскільки остання дев’ятка не є четвіркою або меншою цифрою. Проте, якби аналізованим числом було 12,988 4
                                     , його можна було б округлити до 12,988
                                     .
                                   • Процедура здається знайомою? Це пов’язано з тим, так само округляються і цілі числа, а наявність коми нічого не змінює.
                                   • Іншими словами, знайдіть місце розташування цілих одиниць числа, подивіться на цифру праворуч. Якщо вона більша або дорівнює п’яти, то округліть ціле число у більшу сторону. Якщо вона менша або дорівнює чотирьом, то округліть ціле число в меншу сторону. Наявність коми між цілою частиною числа та його десятковим дробом нічого не змінює.
                                   • Наприклад, якщо вам потрібно округлити вищенаведене число (12,9889) до цілих, то ви почнете з місця розташування цілих одиниць числа: 1 2
                                     ,9889. Так як дев’ятка праворуч від цього місця більше п’яти, то робимо округлення до 13
                                     цілих. Так як відповідь представлений цілим числом, то писати кому більше немає необхідності.
                                   • Наприклад, якщо у вимогах сказано робити округлення до десятих у меншу сторону, то в числі 4,59 ви залишите п’ятірку, незважаючи на те, що дев’ятка праворуч від неї зазвичай повинна призводити до округлення у більшу сторону. Це дасть вам результатом 4,5
                                     .
                                   • Аналогічно, якщо вам сказано округлити число 180,1 до цілих у велику сторону
                                     , то у вас вийде 181
                                     .