Математика 6 клас – О.С. Істер

Число 11 ділиться тільки на 1 і на себе. Іншими словами, число 11 має тільки два дільники: 1 і 11. У числа 8 чотири дільники: 1, 2, 4 і 8. Число 18 має шість дільників: 1, 2, 3, 6, 9 і 18.

Такі числа, як 8 і 18, називають складеними числами, а такі, як 11, — простими числами.

– Натуральне число називають простим, якщо воно має тільки два різних дільники: одиницю і саме це число. Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше двох дільників.

Число 1 має тільки один дільник: саме себе. Тому воно не є ані простим, ані складеним.

Першими десятьма простими числами є 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. На форзаці підручника наведено таблицю простих чисел від 2 до 997.

Найменше просте число — 2, найбільшого простого числа не існує. Яке просте число ми не взяли б, існує більше за нього просте число. Простих чисел безліч. Серед простих чисел лише число 2 є парним, усі інші — непарні.

Як визначити, що дане число є простим або складеним? Якщо число має дільник, відмінний від 1 і самого себе, то це число має більше двох дільників і тому є складеним.

Приклад. Простим чи складеним є число 10 345?

Розв’язання. Це число є складеним, бо має дільником число 5, відмінне від 1 і 10 345.

– Будь-яке складене число можна розкласти на два множники, кожний з яких більший за 1 (наприклад, 10 345 = 5 ∙ 2069). Просте число так розкласти на множники не можна.

Давньогрецький математик Евклід (бл. 356 — 300 до н. е.) довів, що простих чисел безліч і найбільшого простого числа не існує.

Інший давньогрецький учений Ератосфен (бл. 276—194 до н. е.) запропонував спосіб для складання таблиці простих чисел. Цей спосіб назвали «решето Ератосфена». У чому він полягає? Знайдемо, наприклад, усі прості числа від 1 до 30. Для цього випишемо їх підряд. Викреслюємо 1, яке не є простим числом. Далі підкреслюємо число 2, яке є простим, і викреслюємо всі числа, що кратні 2, тобто числа 4, 6, 8, … Наступне незакреслене число 3, яке є простим. Підкреслюємо його і закреслюємо всі числа, кратні 3, тобто числа 6, 9, 12, … Підкреслюємо наступне незакреслене число 5, яке є простим, і т. д. Таким чином «висіяли» всі прості числа, що не перевищують число 30:

Значним є внесок у вивчення простих чисел математиків П.Л. Чебишова (1821—1894), який довів, що між будь-якими натуральними числами n і2n – 2, де n > 3, завжди є принаймні одне просте число (наприклад, між числами 4 і 6 є просте число 5; між 5 і 8 — просте число 7; між 15 і 28 — просте число 17 і т. д.), та І.М. Виноградова (1891—1983), який встановив, що будь-яке непарне число, більше за 5, можна подати у вигляді суми трьох простих чисел, наприклад:

7 = 2 + 2 + 3; 9 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5;

11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5 і т. д.

Які числа називають простими? Які числа називають складеними? Чому число 1 не є ані простим, ані складеним? і Наведи приклади простих чисел, складених чисел.

66. (Усно) Використовуючи таблицю простих чисел, назви прості числа, які:

1) менші від 37, але більші за 20;

2) більші за 78, але менші від 110.

67. Перевір, користуючись таблицею простих чисел, які із чисел прості, а які — складені: 197, 203, 239, 489, 563, 839, 871.

68. Визнач, використовуючи таблицю простих чисел, які із чисел прості, а які — складені: 113, 137, 171, 251, 293, 403, 439, 501, 701.

69. Доведи, що є складеним число:

1) 7152; 2) 60 003; 3) 11 115; 4) 3819.

70. Доведи, що є складеним число:

1) 80 001; 2) 7315; 3) 12 340; 4) 738.

71. Запиши всі дільники числа 24. Підкресли ті з них, які є простими числами.

72. Запиши замість зірочки таку цифру, щоб було складеним число: 1) 273*; 2) 5*39.

73. Запиши замість зірочки таку цифру, щоб було складеним число: 1) 987*; 2) 5*41.

74. Не використовуючи таблицю простих чисел, запиши:

1) усі прості числа, більші за 7 і менші від 20;

2) усі складені числа, більші за 50 і менші від 66.

75. Не використовуючи таблицю простих чисел, знайди:

1) усі прості числа х, при яких нерівність 37 < х < 60 є правильною;

2) усі складені числа у, при яких нерівність 4 < у < 21 є правильною.

76. Простим чи складеним числом є добуток:

1) 13 ∙ 1; 2) 15 ∙ 1; 3) 7 ∙ 11; 4) 1 ∙ 2 ∙ 67?

77. Чи можна записати просте трицифрове число, використавши лише один раз кожну із цифр:

78. Чи можна записати просте трицифрове число, використавши лише один раз кожну із цифр: 1) 0, 4, 5; 2) 1, 2, 0?

79. Простим чи складеним є число, записане за допомогою:

1) п’ятнадцяти одиниць; 2) дві тисячі чотирнадцяти п’ятірок; 3) усіх десяти цифр?

80. Виділи цілу та дробову частини числа:

81. Знайди пропущені числа та прочитай прізвище видатного письменника, який народився в Україні.

82. Знайди зручний спосіб для обчислення значення виразу:

2) 2 + 4 + 6 + … + 98 + 100 – 1 – 3 – 5 – … – 97 – 99.

Складене число

натуральне число, яке ділиться на що-небудь, крім 1 і самого себе / З Вікіпедії, безкоштовно енциклопедія

Скла́дене число́ — натуральне число, яке більше ніж 1 і не є простим. Кожне складене число є добутком двох натуральних чисел, більших ніж 1.

Натуральні числа від нуля до ста. Складені числа позначені зеленим кольором.

Послідовність складених чисел починається так:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144

Якщо складене число є добутком двох не обов’язково різних простих чисел, то таке число називається напівпростим. Якщо складене число є добутком трьох різних простих чисел то таке число називається сфенічним.

Oops something went wrong:

Складені числа

Складене число — натуральне число, більше одиниці і яке не є простим. Всі складові числа – це твір 2-х натуральних чисел, які більше одиниці.

• 3 можна розділити, щоб не було залишку на 1 і на 3;
• 5 можна розділити, щоб не було залишку на 1 і 5;
• 8 можна розділити, щоб не було залишку на 1, на 2, на 4 і на 8;
• 9 можна розділити, щоб не було залишку на 1, на 3 і на 9; і т. д.

Послідовність складових чисел починається таким чином: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, …

У одиниці є лише 1 дільник: одиниця. Тому одиниця не відноситься до складових і простим числам.

Кожне складене число кратно 3-м і більше натуральним числам.

На відміну від простих множників, всяке складене число легко розкласти на 2 множника, і вони будуть більше одиниці.

Найбільше складене число – число 4.

Властивості складених чисел.

Всяке складене число можна розкласти до виду добутку простих множників і тільки одним способом.

Доведемо, що в натуральному ряду можуть бути послідовності складових чисел будь-якої довжини. Наприклад:

Значить, у мільйоні послідовних чисел N+2,N+3,N+4…N+1000001 будуть лише складові числа: N+2 ділиться на 2, N+3 ділиться на 3 і т. д.