Характеристики паралелепіпеда, типи, площа, обсяг

A паралелепіпед це геометричне тіло, утворене шістьма гранями, основною ознакою яких є те, що всі їхні грані паралелограм, а також їхні протилежні сторони паралельні один одному. Це поширений багатогранник у нашому повсякденному житті, адже його можна знайти в ящиках для взуття, формі цегли, формі мікрохвильової печі тощо..

Будучи багатогранника, паралелепіпед охоплює кінцевий об’єм, а всі його грані плоскі. Вона є частиною групи призм, які є тими багатогранниками, в яких всі їхні вершини містяться в двох паралельних площинах..

• 1 Елементи паралелепіпеда
  • 1.1 Обличчя
  • 1.2 Край
  • 1.3 Вершина
  • 1.4 Діагональ
  • 1.5 Центр
  • 3.1 Розрахунок діагоналей
  • 4.1 Площа ортоедра
  • 4.2 Площа куба
  • 4.3 Площа ромбода
  • 4.4. Площа ромбічного
  • 5.1 Ідеальний паралелепіпед

  Елементи паралелепіпеда

  Обличчя

  Вони є кожною з областей, утворених паралелограмами, що обмежують паралелепіпед. Паралелепіпед має шість граней, де кожна грань має чотири суміжні грані і одну протилежну. Крім того, кожна сторона паралельна з її протилежністю.

  Краї

  Вони є спільною стороною двох облич. Всього паралелепіпед має дванадцять ребер.

  Вершина

  Це загальна точка трьох граней, що примикають один до одного два-два. Паралелепіпед має вісім вершин.

  Діагональ

  Враховуючи дві протилежні сторони паралелепіпеда, можна намалювати відрізок лінії, що йде від вершини однієї грані до протилежної вершини іншої.

  Цей сегмент відомий як діагональ паралелепіпеда. Кожен паралелепіпед має чотири діагоналі.

  Центр міста

  Це точка, в якій перетинаються всі діагоналі.

  Характеристика паралелепіпеда

  Як ми вже згадували, це геометричне тіло має дванадцять ребер, шість граней і вісім вершин.

  У паралелепіпеді можна виділити три набори, утворені чотирма ребрами, які паралельні один одному. Крім того, ребра цих наборів також виконують властивість, що має однакову довжину.

  Інша властивість, якою володіють паралелепіпеди, полягає в тому, що вони є опуклими, тобто якщо ми візьмемо будь-яку пару точок, що належать до внутрішньої частини паралелепіпеда, то сегмент, визначений цією парою точок, також буде знаходитися всередині паралелепіпеда..

  Крім того, паралелепіпеди, які є опуклими багатогранниками, відповідають теоремі Ейлера для багатогранників, що дає нам зв’язок між кількістю граней, числом ребер і кількістю вершин. Це співвідношення дається у вигляді наступного рівняння:

  Ця функція відома як характеристика Ейлера.

  Де C – число граней, V – кількість вершин і A – кількість ребер.

  Типи

  Ми можемо класифікувати паралелепіпеди на їхніх обличчях у таких типах:

  Ортопедичні

  Це паралелепіпеди, де їхні обличчя утворені шістьма прямокутниками. Кожен прямокутник перпендикулярний тим, яким він розділяє край. Вони є найпоширенішими в нашому повсякденному житті, як звичайний спосіб коробки для взуття і цегли.

  Куб або правильний шестигранник

  Це окремий випадок попереднього, де кожна з граней є квадратом.

  Кубик також є частиною геометричних тіл, які називаються платонічними тілами. Платонічне тверде тіло – це опуклий багатогранник, так що обидві його грані та його внутрішні кути однакові.

  Romboedro

  Це паралелепіпед з діамантами на обличчі. Всі ці алмази рівні між собою, оскільки вони розділяють ребра.

  Romboiedro

  Шість її ромбоїдів. Нагадаємо, що ромбоїд – це багатокутник з чотирма сторонами і чотирма кутами, які дорівнюють двом-два. Ромбоїди – це паралелограми, які не є ні квадратними, ні прямокутними, ні ромбами.

  З іншого боку, похилі паралелепіпеди – це ті, в яких принаймні одна висота не узгоджується з її краєм. До цієї класифікації можна віднести ромбодерони і ромбічедри.

  Діагональний розрахунок

  Для обчислення діагоналі ортоедра можна використовувати теорему Піфагора для R 3 .

  Нагадаємо, що ортоедр має властивість, що кожна сторона перпендикулярна сторонам, які поділяють край. З цього факту можна зробити висновок, що кожне ребро перпендикулярне тій, яка розділяє вершину.

  Для обчислення довжини діагоналі ортоедра виконуємо наступне:

  1. Розраховуємо діагональ однієї з граней, яку будемо ставити за основу. Для цього використовуємо теорему Піфагора. Назвіть цю діагональ d_b.

  2. Потім з d_b ми можемо сформувати новий правий трикутник, такий, що гіпотенуза згаданого трикутника є шуканою діагоналлю D..

  3. Ми знову використовуємо теорему Піфагора і маємо, що довжина вказаної діагоналі:

  Інший спосіб розрахунку діагоналей більш графічним способом – це сума вільних векторів.

  Нагадаємо, що два вільних вектора A і B додаються шляхом розміщення хвоста вектора B кінчиком вектора A.

  Вектор (A + B) – це той, який починається з хвоста A і закінчується на кінці B.

  Розглянемо паралелепіпед, до якого ми хочемо обчислити діагональ.

  Ми ідентифікуємо ребра з зручно орієнтованими векторами.

  Потім додаємо ці вектори і отриманий вектор буде діагональ паралелепіпеда.

  Площа

  Площа паралелепіпеда задається сумою кожної з областей їхніх граней.

  Якщо визначити одну з сторін як основу,

  Де A_L дорівнює сумі областей всіх сторін, суміжних з базою, званих бічною областю і A_B є базовою областю.

  Залежно від типу паралелепіпеда, з яким ми працюємо, ми можемо переписати цю формулу.

  Площа ортоедра

  Приклад 1

  Враховуючи наступний ортоедр, зі сторонами a = 6 см, b = 8 см і c = 10 см, розрахуйте площу паралелепіпеда і довжину його діагоналі.

  Використовуючи формулу для площі ортоедра, ми повинні

  A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 см 2 .

  Зауважимо, що оскільки вона є ортоедром, то довжина будь-якої з чотирьох її діагоналей однакова.

  Використовуючи теорему Піфагора для простору, ми повинні

  D = (6 2 + 8 2 + 10 2 ) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

  Площа куба

  Оскільки кожне ребро має однакову довжину, то a = b і a = c. Підставляючи в попередню формулу, ми маємо

  A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a 2 ) = 6a 2

  Приклад 2

  Коробка ігрової консолі має форму куба. Якщо ми хочемо обернути цю коробку подарунковим папером, скільки паперу ми будемо витрачати, знаючи, що довжина країв куба дорівнює 45 см?

  Використовуючи формулу кубічної області, отримаємо це

  A = 6 (45 см) 2 = 6 (2025 см 2 = 12150 cm 2

  Площа ромбода

  Оскільки всі їхні обличчя однакові, досить обчислити площу однієї з них і помножити її на шість.

  Ми можемо розрахувати площу алмазу, використовуючи його діагоналі з наступною формулою

  Використовуючи цю формулу, випливає, що загальна площа ромбодера становить

  Приклад 3

  Грані наступного ромбоедра формуються ромбом, діагоналі якого D = 7 см і d = 4 см. Ваша область буде

  Площа ромбічного

  Щоб розрахувати площу ромбічного, необхідно обчислити площу ромбоїдів, які її складають. Оскільки паралелепіпеди дотримуються властивості, що протилежні сторони мають однакову область, ми можемо асоціювати сторони в три пари.

  Таким чином ми маємо, що ваша територія буде

  Де b_i є основи, пов’язані з сторонами і_i його відносна висота, що відповідає зазначеним основам.

  Приклад 4

  Розглянемо наступний паралелепіпед,

  де сторона A і сторона A ‘(її протилежна сторона) мають в якості основи b = 10, а для висоти h = 6.

  B і B ‘мають b = 4 і h = 6, то

  А C і C ‘мають b = 10 і h = 5, так

  Нарешті, область ромбодерів

  Обсяг паралелепіпеда

  Формула, яка дає нам об’єм паралелепіпеда, є добуток площі однієї з його граней висотою, що відповідає вказаній границі.

  Залежно від типу паралелепіпеда зазначена формула може бути спрощена.

  Таким чином, ми маємо, наприклад, що обсяг ортогедра буде заданий

  Де a, b і c являють собою довжину ребер ортоедра.

  А в окремому випадку куб є

  Приклад 1

  Існує три різні моделі для блоків файлів cookie, і ви хочете знати, в якій з цих моделей можна зберігати більше файлів cookie, тобто, який з цих полів має найбільший обсяг.

  Перший – це куб, ребро якого має довжину a = 10 cm

  Його обсяг буде V = 1000 см 3

  Другий має ребра b = 17 см, c = 5 см, d = 9 см

  А тому його об’єм V = 765 см 3

  Третій має е = 9 см, f = 9 см і g = 13 см

  Тому коробка з найбільшим обсягом є третьою.

  Інший метод отримання обсягу паралелепіпеда полягає в тому, щоб вдатися до векторної алгебри. Зокрема, потрійний скалярний продукт.

  Однією з геометричних інтерпретацій, що має потрійний скалярний продукт, є об’єм паралелепіпеда, ребер якого є трьома векторами, які мають однакову вершину як початкову точку..

  Таким чином, якщо ми маємо паралелепіпед і хочемо знати, який його об’єм, достатньо представити його в системі координат в R 3 зіставлення однієї з її вершин з походженням.

  Тоді ми представляємо ребра, що збігаються по походженню з векторами, як показано на малюнку.

  І таким чином ми маємо, що обсяг згаданого паралелепіпеда дається

  Або еквівалентно об’єм є визначником матриці 3 × 3, утвореної компонентами крайових векторів.

  Приклад 2

  Представляючи наступний паралелепіпед в R 3 ми можемо бачити, що вектори, які визначають її, є наступними

  u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) і w = (-0.25, -4, 4)

  Використання потрійного скалярного продукту

  uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, – 15)

  (uxv) = w = (0,0, – 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = – 60

  З цього ми робимо висновок, що V = 60

  Тепер розглянемо наступний паралелепіпед в R3, ребра якого визначаються векторами

  A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) і C = (3, 4, 4)

  Використання детермінант дає нам це

  Таким чином, ми маємо, що обсяг згаданого паралелепіпеда дорівнює 112.

  Обидва еквівалентні способи обчислення обсягу.

  Ідеальний паралелепіпед

  Він відомий як цегла Ейлера (або блоку Ейлера) до ортоедра, який виконує властивість того, що довжина його ребер і довжина діагоналей кожного з його граней цілі числа.

  Хоча Ейлер не був першим вченим, який вивчав ортоедрони, що відповідають цій властивості, він знайшов цікаві результати про них..

  Меншу цеглу Ейлера виявив Пол Халке, а довжина його країв a = 44, b = 117 і c = 240.

  Відкрита проблема в теорії чисел полягає в наступному

  На даний момент на це питання не можна було відповісти, оскільки не вдалося довести, що цих органів не існує, але не знайдено жодного.

  До цих пір було показано, що ідеальні паралелепіпеди існують. Перше, що буде виявлено, має довжину його ребер значенням 103, 106 і 271.

  Бібліографія

  1. Гай, Р. (1981). Невирішені проблеми в теорії чисел. Springer.
  2. Landaverde, F. d. (1997). Геометрія. Прогрес.
  3. Лейтольд, Л. (1992). РОЗРАХУНОК з аналітичною геометрією. HARLA, S.A..
  4. Рендон, А. (2004). Технічний малюнок: Робоча книга 3 2-й бакалавр . Tebar.
  5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Фізика т. 1. Мексика: континентальний.

  Означення і властивості прямокутного паралелепіпеда

  Прямокутний паралелепіпед – це об’ємна фігура, яка складається з двох паралельних прямокутних основ і чотирьох прямокутних граней. Ми також можемо розглядати прямокутний паралелепіпед як кубоїди або як многогранник з двома конгруентними паралельними основами.

  Оскільки прямокутний паралелепіпед є тривимірною фігурою, його основними характеристиками є об’єм і площа поверхні.

  В даній публікації ми дізнаємося про деякі найважливіші властивості прямокутного паралелепіпеда, а також, розв’яжемо кілька прикладів та практичних запитань.

  Що таке прямокутний паралелепіпед?

  Прямокутний паралелепіпед – це об’ємна фігури, яка має 6 граней, 12 ребер і 8 вершин.

  Прямокутний паралелепіпед також називають кубоїдом, тому він має деякі спільні властивості з кубом. Наприклад, кожна грань паралелепіпеда стикається з чотирма іншими гранями під прямим кутом. Однак на відміну від куба, у якого грані квадратні, грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками.

  Вершини також схожі на вершини куба, оскільки вони є точками, де стикаються три ребра і три грані.

  Види прямокутних паралелепіпедів.

  Існує два види прямокутних паралелепіпедів, які класифікуються залежно від форми граней або кута між гранями та основою.

  1. Правильний прямокутний паралелепіпед: у правильному прямокутному паралелепіпеді грані перпендикулярні до кожної з його основ. В даному випадку, всі бічні грані є прямокутниками.
  2. Похилий прямокутний паралелепіпед: у похилому прямокутному паралелепіпеді грані не перпендикулярні до основ. Іншими словами, грані в цьому паралелепіпеді є паралелограмами.

  Загалом, прямокутний паралелепіпед без будь-яких специфікацій є правильним прямокутним паралелепіпедом.

  Основні властивості прямокутного паралелепіпеда.

  Нижче наведено властивості прямокутного паралелепіпеда, які допомагають нам легко його ідентифікувати:

  • прямокутний паралелепіпед має 6 граней, 8 вершин і 12 ребер;
  • у правильному прямокутному паралелепіпеді грані – прямокутники, а в похилому прямокутному парадедепіпеді – паралелограми;
  • прямокутний паралелепіпед має 3 виміри: довжину, ширину та висоту;
  • протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні;
  • в прямокутного паралелепіпеда чотири діагоналі;
  • діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою;
  • діагоналі прямокутного паралелепіпеда перетинаються в одній точці.

  Приклади задач та практичниз запитань на тему «Означення і властивості прямокутного паралелепіпеда».

  Приклад 1: що таке прямокутний паралелепіпед?

  Прямокутний паралелепіпед – це тривимірна фігура, яка має 6 прямокутних граней, 8 вершин і 12 ребер. Усі пари протилежних граней прямокутного паралелепіпеда конгруентні.

  Приклад 2: яка різниця між кубом і прямокутним паралелепіпедом?

  Куб – це тривимірна геометрична фігура яка має 6 рівних квадратних граней, тоді як прямокутний паралелепіпед має 6 граней, які є прямокутниками. Протилежні грані в прямокутному паралелепіпеді однакові.

  Приклад 3: яке відношення кутів до граней у прямокутному паралелепіпеді?

  Прямокутний паралелепіпед має 8 кутів (вершин) і 6 граней. Отже, відношення кутів до граней у прямокутному паралелепіпеді дорівнює 8:6 або 4:3.

  Приклад 4: знайти площу граней прямокутного паралелепіпеда , сторони , і якого дорівнюють 7, 3 та 5 сантиметрів відповідно.

  Згідно з властивостями, протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні, тобто , , .

  Виходячи з того, що грані рівні, їх площі так само рівні між собою ( , , ).

  Крім того, у правильному прямокутному паралелепіпеді грані – прямокутники. Отже, скориставшись формулою площі прямокутника матимемо:

  Звідси, площі граней і , і та і дорівнюють 21, 15 і 35 сантиметрів квадратних відповідно.

  Приклад 5: знайти кут прямокутного паралелепіпеда , для якого , і . Відповідь дайте у градусах.

  Розгляувши прямокутний трикутник , по теоремі Піфагора, матимемо:

  Розглянемо далі прямокутний трикутник . Так як то трикутник є рівнобедреним, значить, кути при його основі рівні.

  Таким чином, шуканий кут дорівнює .

  Дивіться також:

  Хочете дізнатися більше про прямокутний паралелепіпед? Перегляньте ці сторінки:

  Задачі на знаходження об’єму паралелепіпеда

  Тема уроку. Поняття об’єму. Основні властивості об’ємів. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

  Мета уроку: формування поняття об’єму; вивчення основних властивостей

  об’ємів; виведення формули для об’єму прямокутного паралелепіпеда; формування вмінь знаходити об’єм прямокутного паралелепіпеда.

  Обладнання: моделі прямокутного паралелепіпеда.

  Тема уроку. Поняття об’єму. Основні властивості об’ємів. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

  Мета уроку: формування поняття об’єму; вивчення основних властивостей

  об’ємів; виведення формули для об’єму прямокутного паралелепіпеда; формування вмінь знаходити об’єм прямокутного паралелепіпеда.

  Обладнання: моделі прямокутного паралелепіпеда.

  І. Перевірка домашнього завдання

  Наприкінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки вико ­ нання домашнього завдання та ведення зошитів.

  II . Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

  Об’єм, основні властивості об’ємів

  Кожне геометричне тіло займає частину простору.

  Об’ємом геометричного тіла будемо називати додатне число, яке характеризує частину простору, що займає геометричне тіло, і за ­ довольняє таким умовам:

  1. Рівні тіла мають рівні об’єми.

  2. Якщо тіло розбите на кілька частин, то його об’єм дорівнює сумі об’ємів усіх цих частин.

  3. Об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.

  Куб, довжина ребра якого дорівнює одиниці довжини, називають одиничним .

  Об’єм одиничного куба приймають за одиницю об’єму, називаючи таку одиницю кубічною.

  Наприклад: кубічний сантиметр — це об’єм куба, ребро якого дорів ­ нює 1 см.

  Виконання вправ

  Одиниці об’єму записують скорочено:

  1 кубічний кілометр = 1 куб. км = 1 км 3 ;

  1 кубічний метр = 1 куб. м = 1 м 3 ;

  1 кубічний сантиметр = 1 куб. см = 1 см 3 ;

  1 кубічний дециметр = 1 куб. дм = 1 дм 3 ;

  1 кубічний міліметр = 1 куб. мм = 1 мм 3 .

  Одиниця об’єму 1 дм 3 має й іншу назву — 1 літр. Співвідношення між цими величинами подано нижче:

  Виміряти об’єм, геометричного тіла — значить знайти число, яке показує, скільки одиничних кубів міститься в даному тілі.

  На рис. показано тіла, складені з кубів із ребром 1 см, їх об’єми дорівнюють по 6 см 3 .

  Тіла, які мають рівні об’єми, називаються рівновеликими .

  Ми будемо далі розглядати лише прості тіла — тіла, які можна розбити на скінчене число трикутних пірамід. Вивчені многогранники: призми, піраміди, зрізані піраміди — є простими тілами.

  Слід зазначити, що в «Началах» Евкліда і у творах Архімеда були виведені точні формули для знаходження об’ємів многогранників і де ­ яких тіл обертання (циліндра, конуса, кулі та їх частин).

  К. Ж. Жордан (1838—1922) — французький математик, один із засновників сучасної математики, розробив в 1892 році теорію площ і об’ємів.

  У минулому одиницями вимірювання об’єму були міри посудин, які використовувались для зберігання сипких і рідких тіл. Наприклад, в Англії: 36,4 дм 3 — бушель; 4,5 дм 3 — галон; 159 дм 3 — барель; від 470 см 3 до 568 см 3 — пінта; на Русі: 12 дм 3 — відро; 1,2 дм 3 — штоф; 490 дм 3 — діжка.

  У давнину міра маси, а отже і об’єму, часто збігалась із мірою вартості товару — грошовою одиницею.

  На Русі основна одиниця маси — гривня — була водночас грошовою одиницею. Гривня — злиток срібла, маса якого наближено дорівнювала 1 фунту – 96 золотникам, 1 золотник – 4,3 г.

  У другій половині XIII ст. гривню почали рубати пополам і назвали рублем, який із XV ст. став основною грошовою одиницею.

  Зараз в Україні гривня — грошова одиниця.

  Формула для об’єму прямокутного паралелепіпеда

  Теорема

  Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів, тобто якщо a , b , c — лінійні виміри прямокутного паралелепі ­ педа, то його об’єм V обчислюється за формулою V = abc .

  Доведення

  1. Нехай виміри а, b, с прямокутного паралелепіпеда виражені натуральни ­ ми числами. Такий паралелепіпед мо ­ жна розрізати на с шарів, кожний з яких містить ab одиничних кубів. Отже, об’єм цього парале ­ лепіпеда:

  2. Нехай виміри а, b , с прямокутного паралелепіпеда виражені раціо ­ нальними числами. Зведемо ці числа до спільного знаменника, одержимо: , , , де т , п , р, q — натуральні числа.

  Розіб’ємо паралелепіпед на куби, довжина ребра яких дорівнює частини одиниці довжини, загальна кількість таких кубів до ­ рівнює mpq . Згідно з властивістю об’ємів об’єм паралелепіпеда дорівнює добутку об’єму одного із цих кубів на число mpq . Але об’єм куба з ребром одиниці довжини дорівнює частини об’єму одиничного куба. Отже,

  ІІІ. Розв’язування задач

  1. Знайдіть об’єм куба, ребро якого дорівнює 5 см. ( Відповідь. 125 см 3 .)

  2. Знайдіть об’єм куба, якщо площа повної поверхні дорівнює 150 см 2 . ( Відповідь. 125 см 3 .)

  3. Об’єм куба дорівнює 8 см 3 . Знайдіть площу повної поверхні куба.

  4. Знайдіть об’єм куба, діагональ якого дорівнює d . ( Відповідь . )

  5. Знайдіть об’єм куба, площа грані якого дорівнює Q . ( Відповідь. .)

  6. Знайдіть об’єм куба, діагональ грані якого дорівнює d . ( Відповідь . .)

  7. Площі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють S ₁ , S ₂ , S ₃ . Доведіть, що V = .

  Тоді об’єм паралеле ­ піпеда

  8. Знайдіть об’єм піраміди, основа якої — грань куба, що має об’єм V, а вершина піраміди — точка перетину діагоналей цього куба. ( Відповідь . .)