Скільки вимірів існує?

Термін вимір, як і багато інші наукові поняття, спочатку був придуманий письменниками фантастами, в книгах яких герої могли абсолютно нереально переміщатися в часі і просторі. Якщо задатися питанням, скільки вимірів існує в реальності, то тут варто звернутися до різних джерел.

Скільки вимірів існує на Землі?

Езотерики і шанувальники таємних знань стверджують, що наша планета має набагато більше вимірів, ніж ми можемо бачити і відчувати за допомогою власних органів і почуттів, а також оцінити розумом. Проте всі живемо в звичному для нас чотиривимірному світі. У всякому разі, поки що далі теоретичних припущень і гіпотез доказової бази про інші заходи нашого простору немає.

Відповідь на питання, скільки існує вимірів простору, ми отримали ще в школі. Пам’ятайте шкала систему координат? Довжина, ширина і висота визначають положення точки в просторі. Це три статичних поняття доступних нам вимірювань, четвертої динамічної координатою є час.

Якщо уявити собі, як плоскі координати X і Y з додаванням висоти знаходять тривимірну об’ємність ми можемо, те як реально відобразити накладення координат на час? Дуже просто: якщо уявити собі літак, що летить на висоті в певній точці координат, то через секунду його в цій точці вже не буде. Тобто, таким чином ми можемо зафіксувати момент часу.

В принципі з земними поняттями розібралися, але скільки вимірів існує у Всесвіті, поки зовсім неясно і самим ученим. Математично, оперуючи формулами, можна припустити, що можуть бути світи з різним кількістю параметрів, однак все це поняття поки діалектичні.

За деякими теоріями вчених світ з іншими і вимірами повинен бути або мікроскопічно малою, або просто нереально гігантським. Так як саме при дуже малих і дуже великих величинах фундаментальні закони мають деякі похибки. А подорожі в часі можливі, але лише вперед у майбутнє, але ніяк не назад у минуле. Однак і ці претензійні гіпотези вчених, як і астральні і ментальні теорії езотериків, поки залишаються лише недоведеними роздумами.

1.11: Вимірювані простори

У цьому розділі ми обговорюємо деякі теми з теорії мір, які є трохи більш просунутими, ніж теми в ранніх розділах цієї глави. Однак теорії вимірювання мають важливе значення для глибокого розуміння ймовірності, оскільки ймовірність сама по собі є мірою. Найважливішим з визначень є \(\sigma\) -алгебра, сукупність підмножин множини з певними властивостями замикання. Такі колекції грають фундаментальну роль, навіть для прикладної ймовірності, в кодуванні стану інформації про випадковий експеримент. З іншого боку, ми не будемо надмірно педантично ставитися до теоретико-мірних деталей в цьому тексті. Якщо ми не скажемо інакше, ми припускаємо, що всі множини, що з’являються, є вимірними (тобто членами відповідних \(\sigma\) -алгебр), і що всі функції є вимірними (щодо відповідних \(\sigma\) -алгебр). Хоча цей розділ є дещо абстрактним, багато доказів є прямими. Обов’язково спробуйте докази самостійно, перш ніж читати ті, що містяться в тексті.

Алгебри та \( \sigma \) алгебри

Припустимо, що \(S\) це безліч, що грає роль універсального набору для конкретної математичної моделі. Іноді неможливо включити всі підмножини \(S\) в нашу модель, особливо коли \(S\) це незліченно. У певному сенсі, чим більше наборів, які ми включаємо, тим складніше мати послідовні теорії. Однак ми майже завжди хочемо, щоб колекція допустимих підмножин була під основними операціями набору. Це призводить до деяких важливих визначень.

Алгебри множин

1. Якщо \(A \in \mathscr S\) тоді \(A^c \in \mathscr S\) .
2. Якщо \(A \in \mathscr S\) і \(B \in \mathscr S\) тоді \(A \cup B \in \mathscr S\) .

Якщо \(\mathscr S\) є алгеброю підмножин \(S\) тоді

1. \( S \in \mathscr S \)
2. \( \emptyset \in \mathscr S \)

1. Оскільки \( \mathscr S \) непорожній, існує \( A \in \mathscr S \) . Звідси \( A^c \in \mathscr S \) і так \( S = A \cup A^c \in \mathscr S \) .
2. \( \emptyset = S^c \in \mathscr S \)

Припустимо, що \(\mathscr S\) це алгебра підмножин \(S\) і що \(A_i \in \mathscr S\) для кожного \(i\) в скінченному наборі індексів \(I\) .

1. \(\bigcup_ A_i \in \mathscr S\)
2. \(\bigcap_ A_i \in \mathscr S\)

1. Це слід шляхом індукції на кількість елементів в \(I\) .
2. Це випливає з (а) та закону ДеМоргана. Якщо \( A_i \in \mathscr S \) для \( i \in I \) то \( A_i^c \in \mathscr S \) для \( i \in I \) . Тому \( \bigcup_ A_i^c \in \mathscr S \) і звідси \( \bigcap_ A_i = \left(\bigcup_ A_i^c\right)^c \in \mathscr S \) .

Таким чином, випливає, що алгебра множин закрита під скінченним числом множинних операцій. Тобто, якщо ми починаємо з кінцевого числа множин в алгебрі \( \mathscr S \) , і будуємо нову множину з кінцевим числом операцій множини (об’єднання, перетину, доповнення), то нова множина також знаходиться в \( \mathscr S \) . Однак у багатьох математичних теоріях ймовірності, зокрема, цього недостатньо; нам часто потрібно, щоб колекція допустимих підмножин була закрита під рахунковою кількістю операцій множини.

\(\sigma\) -Алгебри множин

Припустимо, що \(\mathscr S\) це непорожня колекція підмножин \(S\) . Тоді \(\mathscr S\) є (або ), якщо задовольняються наступні аксіоми:

1. Якщо \(A \in \mathscr S\) тоді \(A^c \in \mathscr S\) .
2. Якщо \(A_i \in \mathscr S\) для кожного \(i\) в обчислювальному індексі встановлено \(I\) , то \(\bigcup_ A_i \in \mathscr S\) .

Очевидно, що \(\sigma\) -алгебра підмножин також є алгеброю підмножин, тому основні результати для алгебр вище все ще тримаються. Зокрема, \( S \in \mathscr S \) і \( \emptyset \in \mathscr S \) .

Якщо \(A_i \in \mathscr S\) для кожного \(i\) в обчислювальному індексі встановлено \(I\) , то \(\bigcap_ A_i \in \mathscr S\) .

Доказ подібний до наведеного вище для алгебр. Якщо \( A_i \in \mathscr S \) для \( i \in I \) то \( A_i^c \in \mathscr S \) для \( i \in I \) . Тому \( \bigcup_ A_i^c \in \mathscr S \) і звідси \( \bigcap_ A_i = \left(\bigcup_ A_i^c\right)^c \in \mathscr S \) .

Таким чином, \(\sigma\) -алгебра підмножин \(S\) закривається під рахунковими союзами та перетинами. Це і є причиною появи символу \(\sigma\) в назві. Як згадувалося у вступному пункті, \( \sigma \) -алгебри мають фундаментальне значення в математиці загалом та теорії ймовірностей конкретно, і, таким чином, заслуговують на особливе визначення:

Якщо \( S \) множина і \( \mathscr S \) a \( \sigma \) -алгебра підмножин \( S \) , то пара \( (S, \mathscr S) \) називається .

Термін вимірюваний простір матиме більше сенсу в наступному розділі, коли ми обговорюємо позитивні заходи (і, зокрема, міри ймовірності) на таких просторах.

Припустимо, що \(S\) це множина і що \(\mathscr S\) є скінченною алгеброю підмножин \(S\) . Тоді \(\mathscr S\) також \(\sigma\) -алгебра.

Будь-яке зліченне об’єднання множин в \(\mathscr S\) зводиться до кінцевого союзу.

Однак існують алгебри, які не \(\sigma\) -алгебри. Ось класичний приклад:

Припустимо, що \( S \) це нескінченна безліч. Колекція підмножин, \( S \) визначених нижче, є алгеброю підмножин \( S \) , але не \(\sigma\) -алгебри: \[ \mathscr = \ A^c \text< is finite>\> \]

\( S \in \mathscr \) так як \( S^c = \emptyset \) є кінцевим. Якщо \( A \in \mathscr \) то \( A^c \in \mathscr \) по симетрії визначення. Припустимо, що \( A, \, B \in \mathscr \) . Якщо \( A \) і \( B \) обидва кінцеві, то \( A \cup B \) є кінцевим. Якщо \( A^c \) або \( B^c \) є кінцевим, то \( (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \) є кінцевим. У будь-якому випадку, \( A \cup B \in \mathscr \) . Таким чином, \( \mathscr \) є алгебра підмножин \( S \) .

Оскільки \( S \) нескінченна, вона містить незліченно нескінченну підмножину \( \ \) . Нехай \( A_n = \\> \) для \( n \in \N \) . Потім \( A_n \) кінцевий, так \( A_n \in \mathscr \) для кожного \( n \in \N \) . Нехай \( E = \bigcup_^\infty A_n = \ \) . Тоді \( E \) нескінченно по будівництву. Крім того \(\ \subseteq E^c \) , так \( E^c \) нескінченно, а також. Звідси \( E \notin \mathscr \) і так не \( \mathscr \) є \( \sigma \) -алгебра.

Загальні конструкції

Нагадаємо, що \(\mathscr(S)\) позначає колекцію всіх підмножин \(S\) , званих \(S\) . Тривіально, \(\mathscr(S)\) є найбільшим \(\sigma\) -алгебра \(S\) . Набір потужності часто є відповідним \( \sigma \) -алгебра, якщо \( S \) підраховується, але, як зазначалося вище, іноді занадто великий, щоб бути корисним, якщо \( S \) він незліченний. На іншій крайності найменша \(\sigma\) -алгебра \(S\) дається в наступному результаті:

Збірник \(\\) являє собою \(\sigma\) -алгебру.

Ясно \( \ \) це скінченна алгебра: \( S \) і \( \emptyset \) є доповненнями один одного, і \( S \cup \emptyset = S \) . \( \ \) Звідси і \( \sigma \) -алгебра за результатом вище.

У багатьох випадках ми хочемо побудувати \(\sigma\) -алгебру, яка містить певні основні множини. Наступні два результати показують, як це зробити.

Припустимо, що \(\mathscr S_i\) це \(\sigma\) -алгебра підмножин \(S\) для кожного \(i\) в непорожньому наборі індексів \(I\) . Тоді \( \mathscr S = \bigcap_ \mathscr S_i\) також \(\sigma\) -алгебра підмножин \(S\) .

Доказ є абсолютно простим. По-перше, \( S \in \mathscr S_i \) для кожного \( i \in I \) так \( S \in \mathscr S \) . Якщо \( A \in \mathscr S \) то \( A \in \mathscr S_i \) для кожного, \( i \in I \) а значить, \( A^c \in \mathscr S_i \) для кожного \( i \in I \) . Тому \( A^c \in \mathscr S \) . Нарешті припустимо, що \( A_j \in \mathscr S \) для кожного \( j \) в обчислювальному індексі набір \( J \) . Потім \( A_j \in \mathscr S_i \) для кожного \( i \in I \) \( j \in J \) і тому \( \bigcup_ A_j \in \mathscr S_i \) для кожного \( i \in I \) . Звідси випливає, що \( \bigcup_ A_j \in \mathscr S \) .

Зверніть увагу, що на набір індексів не ставиться ніяких обмежень \( I \) , крім того, що він буде непорожнім, тому зокрема він цілком може бути незліченним.

Припустимо, що \( S \) це множина і що \(\mathscr B\) є сукупністю підмножин \(S\) . , \(\mathscr B\) є \[\sigma(\mathscr B) = \bigcap \ <\mathscr S: \mathscr S \text< is a >\sigma\text S \text < and >\mathscr B \subseteq \mathscr S\>\] Якщо \( \mathscr B \) підраховується, то \( \sigma(\mathscr B) \) , як кажуть, .

Отже, \(\sigma\) -алгебра, породжена \(\mathscr B\) є перетином всіх \(\sigma\) -алгебр \(\mathscr B\) , які містять, які за попереднім результатом насправді є \(\sigma\) -алгебра. Зверніть увагу, що колекція \( \sigma \) -алгебр на перетині не є порожньою, оскільки \( \mathscr(S) \) знаходиться в збірці. Подумайте про \(\mathscr B\) множини як про основні набори, які ми хочемо бути вимірними, але не утворюють \(\sigma\) -алгебру.

\(\sigma\) Алгебра – \(\sigma(\mathscr B)\) це найменша \(\sigma\) алгебра, що містить \(\mathscr B\) .

1. \(\mathscr B \subseteq \sigma(\mathscr B)\)
2. \(\mathscr S\) If \(\sigma\) – алгебра підмножин \(S\) і \(\mathscr B \subseteq \mathscr S\) тоді \(\sigma(\mathscr B) \subseteq \mathscr S\) .

Обидва ці властивості випливають з визначення \( \sigma(\mathscr B) \) як перетину всіх \( \sigma \) -алгебр, які містять \( \mathscr B \) .

Відзначимо, що умови в останній теоремі повністю характеризують \( \sigma(\mathscr B) \) . Якщо \( \mathscr S_1 \) і \( \mathscr S_2 \) задовольняють умови, то по (а), \( \mathscr B \subseteq \mathscr S_1 \) і \( \mathscr B \subseteq \mathscr S_2 \) . Але потім по (б), \( \mathscr S_1 \subseteq \mathscr S_2 \) і \( \mathscr S_2 \subseteq \mathscr S_1\) .

Нехай \( \mathscr S = \ \) . Ясно \( \mathscr S \) це алгебра: \( A \) і \( A^c \) є доповненнями один одного, як є \( \emptyset \) і \( S \) . Крім того,\ почати &A\ чашка A^c = A\ чашка S = A^c\ чашка S = S\ чашка S =\ порожній набір\ чашка S = S\ &A\ чашка\ порожній набір = A\\ &A ^ C\ чашка\ порожній = A^C\ чашка A^C = A^c\\\ порожній набір\ чашка\ порожній set =\ emptyset\ end Оскільки \( \mathscr S \) є скінченним, то це \( \sigma \) -алгебра по (7) . Далі, \( A \in \mathscr S \) . І навпаки, якщо \( \mathscr T \) це \( \sigma \) -алгебра, а \( A \in \mathscr T \) потім, звичайно, \( \emptyset, S, A^c \in \mathscr T \) так \( \mathscr S \subseteq \mathscr T \) . Звідси \( \mathscr S = \sigma\ \)

Нехай \( \mathscr S = \left\ < \bigcup_A_j: J \subseteq I \right\> \) . Зауважимо, що \( S \in \mathscr S \) так \( S = \bigcup_ A_i \) . Далі припустимо, що \( B \in \mathscr S \) . Тоді \( B = \bigcup_ A_j \) для деяких \( J \subseteq I \) . Але потім \( B^c = \bigcup_ A_j \) , так \( B^c \in \mathscr S \) . Далі, припустимо, що \( B_k \in \mathscr S \) для \( k \in K \) де \( K \) є обчислювальним індексом набір. Тоді для кожного \( k \in K \) існує \( J_k \subseteq I \) таке, що \( B_k = \bigcup_ A_j \) . Але потім \( \bigcup_ B_k = \bigcup_ \bigcup_ A_j = \bigcup_ A_j \) куди \( J = \bigcup_ J_k \) . Гчче \( \bigcup_ B_k \in \mathscr S \) . Тому \( \mathscr S \) є \( \sigma \) -алгебра підмножин \( S \) . Тривіально, \( \mathscr \subseteq \mathscr S \) . Якщо \( \mathscr T \) \( \sigma \) -алгебра підмножин \( S \) і \( \mathscr \subseteq \mathscr T \) , то явно \( \bigcup_ A_j \in \mathscr T \) для кожного \( J \subseteq I \) . Звідси \( \mathscr S \subseteq \mathscr T\) .

1. \( \mathscr B = \^n\> \) перегородки \( S \) .
2. \( A_i = \bigcup\left\^n, \; x_i = 1\right\>\) для \(i \in \\) .
3. \(\sigma(\mathscr) = \sigma(\mathscr B) = \left\ B_x: J \subseteq \^n\right\>\) .

1. Припустимо, що \( x, \; y \in \^n \) і те \( x \ne y \) . Без втрати спільності ми можемо припустити, що для деяких \( j \in \ \) , \(x_j = 0 \) поки \( y_j = 1 \) . Потім \( B_x \subseteq A_j^c \) і \( B_y \subseteq A_j \) так \( B_x \) і \( B_y \) розчленовуються. Припустимо, що \( s \in S \) . Побудувати \( x \in \^n \) по \( x_i = 1 \) if \( s \in A_i \) і \( x_i = 0 \) if \( s \notin A_i \) , для кожного \( i \in \ \) . Тоді за визначенням, \( s \in B_x \) . Звідси \( \mathscr B \) перегородки \( S \) .
2. Виправити \( i \in \\) . Знову якщо \( x \in \^n \) і \( x_i = 1 \) тоді \( B_x \subseteq A_i \) . Звідси \(\bigcup\left\^n, \; x_i = 1\right\> \subseteq A_i\) . І навпаки, припустимо \( s \in A_i \) . Визначте \( y \in \^n \) , \( y_j = 1 \) якщо \( s \in A_j \) і \( y_j = 0 \) якщо \( s \notin A_j \) для кожного \( j \in \ \) . Потім \( y_i = 1 \) і \( s \in B_y \) . Звідси \( s \in \bigcup\left\^n, \; x_i = 1\right\>\) .
3. Зрозуміло, що кожна \( \sigma \) -алгебра підмножин, \( S \) що містить, також \( \mathscr \) повинна містити \( \mathscr B \) , і кожна \( \sigma \) -алгебра підмножин \( S \) , що містить, також \( \mathscr B \) повинна містити \( \mathscr \) . Звідси випливає, що \( \sigma(\mathscr) = \sigma(\mathscr B) \) . Характеристика в плані спілок тепер випливає з попереднього результату.

Відкрийте програму діаграми Венна. Ця програма показує дві \(A\) \(B\) підмножини і \(S\) в загальному положенні, і перераховує 16 наборів в \( \sigma\ \) .

1. Виберіть кожен з 4 наборів цього розділу \( S \) : \( A \cap B \) , \( A \cap B^c \) , \( A^c \cap B \) , \( A^c \cap B^c \) .
2. Виберіть кожен з інших 12 наборів \(\sigma\\) і зверніть увагу, як кожен є об’єднанням деяких наборів у (a).

Намалюйте діаграму Венна із множинами \( A_1, \, A_2, \, A_3 \) у загальному положенні. Визначте набір \( B_x \) для кожного \( x \in \^3 \) .

Якщо \( \sigma \) -алгебра генерується колекцією базових множин, то кожна множина в \( \sigma \) -алгебрі генерується обчислювальним числом основних множин.

Припустимо, що \( S \) це \( \mathscr B \) множина і непорожня колекція підмножин \( S \) . Тоді

Нехай \( \mathscr S \) позначимо колекцію праворуч. Спочатку ми покажемо, що \( \mathscr S \) це \( \sigma \) -алгебра. По-перше, вибрати \( B \in \mathscr B \) , що ми можемо зробити так як \( \mathscr B \) непорожній. Тоді \( S \in \sigma\ \) так \( S \in \mathscr S \) . Нехай \( A \in \mathscr S \) так, що \( A \in \sigma(\mathscr) \) для якихось злічених \( \mathscr \subseteq \mathscr B \) . Тоді \( A^c \in \sigma(\mathscr) \) так \( A^c \in \mathscr S \) . Нарешті, припустимо, що \( A_i \in \mathscr S \) для \( i \) в обчислювальному індексі набір \( I \) . Тоді для кожного існує \( i \in I \) зліченний \( \mathscr_i \subseteq \mathscr B \) такий, що \( A_i \in \sigma(\mathscr_i) \) . Але тоді також \( \bigcup_ \mathscr_i \) підраховується і \( \bigcup_ A_i \in \sigma\left(\bigcup_ \mathscr_i \right) \) . Звідси \( \bigcup_ A_i \in \mathscr S \) .

Далі, якщо \( B \in \mathscr B \) тоді \( B \in \sigma\ \) так \( B \in \mathscr S \) . Звідси \( \sigma(\mathscr B) \subseteq \mathscr S \) . І навпаки, якщо \( A \in \sigma(\mathscr) \) для деяких підраховується, \( \mathscr \subseteq \mathscr B \) то тривіально \( A \in \sigma(\mathscr B) \) .

\( \sigma \) Алгебра на множині природно призводить до \( \sigma \) -алгебри на підмножині.

Припустимо, що \((S, \mathscr S)\) це вимірний простір, і що \(R \subseteq S\) . Нехай \(\mathscr = \\) . Тоді

1. \( \mathscr \) є \(\sigma\) -алгебра підмножин \(R\) .
2. Якщо \(R \in \mathscr S\) тоді \(\mathscr = \\) .

1. По-перше, \( S \in \mathscr S \) і \( S \cap R = R \) так \( R \in \mathscr \) . Далі припустимо, що \( B \in \mathscr \) . Тоді існує \( A \in \mathscr S \) таке, що \( B = A \cap R \) . Але потім \( A^c \in \mathscr S \) і \( R \setminus B = R \cap B^c = R \cap A^c \) , так \( R \setminus B \in \mathscr \) . Нарешті, припустимо, що \( B_i \in \mathscr \) для \( i \) в обчислювальному індексі набір \( I \) . Для кожного \( i \in I \) існує \( A_i \in \mathscr S \) таке, що \( B_i = A_i \cap R \) . Але потім \( \bigcup_ A_i \in \mathscr S \) і \( \bigcup_ B_i = \left(\bigcup_ A_i \right) \cap R \) , так \( \bigcup_ B_i \in \mathscr \) .
2. Припустимо, що \( R \in \mathscr S \) . Тоді \( A \cap R \in \mathscr S \) на кожен \( A \in \mathscr S \) , і звичайно ж, \( A \cap R \subseteq R \) . І навпаки, якщо \( B \in \mathscr S \) і \( B \subseteq R \) тоді \( B = B \cap R \) так \( B \in \mathscr \)

\( \sigma \) Алгебра \(\mathscr\) – це \(\sigma\) -алгебра на \(R\) \(\mathscr S\) . Наступна конструкція стане в нагоді для контрприкладів. Порівняйте цей приклад з прикладом для скінченних і співскінченних множин.

\( S \) Дозволяти бути непорожнім набором. Колекція підмножин, що підмножини \( S \) є \[ \mathscr = \ A^c \text< is countable>\> \]

1. \( \mathscr \) це \( \sigma \) -алгебра
2. \( \mathscr = \sigma\: x \in S\> \) , \( \sigma \) -алгебра, породжена синглтонними множинами.

1. По-перше, \( S \in \mathscr \) оскільки \( S^c = \emptyset \) є підрахунковим. Якщо \( A \in \mathscr \) то \( A^c \in \mathscr \) по симетрії визначення. Припустимо, що \( A_i \in \mathscr \) для кожного \( i \) в обчислювальному індексі встановлено \( I \) . Якщо \( A_i \) підраховується для кожного, \( i \in I \) то \( \bigcup_ A_i \) підраховується. Якщо \( A_j^c \) підраховується для деяких, \( j \in I \) то \( \left(\bigcup_ A_i \right)^c = \bigcap_ A_i^c \subseteq A_j^c \) підраховується. У будь-якому випадку, \( \bigcup_ A_i \in \mathscr \) .
2. Нехай \( \mathscr = \sigma\: x \in S\> \) . \( \ \in \mathscr \) Зрозуміло для \( x \in S \) . Звідси \( \mathscr \subseteq \mathscr \) . І навпаки, припустимо, що \( A \in \mathscr \) . Якщо \( A \) піддається зчисленню, то \( A = \bigcup_ \ \in \mathscr \) . Якщо \( A^c \) підраховується, то по ідентичному аргументу, \( A^c \in \mathscr \) а значить \( A \in \mathscr \) .

Звичайно, якщо він сам \( S \) підраховується тоді \( \mathscr = \mathscr(S) \) . З іншого боку, якщо \( S \) незліченно, то існує \( A \subseteq S \) таке, що \( A \) і \( A^c \) незліченні. Таким чином \( A \notin \mathscr \) , але \( A = \bigcup_ \ \) , і звичайно \( \ \in \mathscr \) . Таким чином, ми маємо приклад a \( \sigma \) -алгебри, яка не закривається при загальних союзах.

Топологія та вимірювання

Одним з найважливіших способів генерації \( \sigma \) -алгебри є за допомогою топології. Нагадаємо, що топологічний простір складається з \( S \) безлічі і топології \(\mathscr S\) , колекція підмножин \( S \) . Більшість просторів, що відбуваються з ймовірністю та стохастичними процесами, є топологічними просторами, тому дуже важливо, щоб топологічні та теоретичні структури були сумісними.

Припустимо, що \( (S, \mathscr S) \) це топологічний простір. Потім \( \sigma(\mathscr S) \) \( \sigma \) – Алгебра \(S\) , і \((S, \sigma(\mathscr S))\) є .

Таким чином, Borel \( \sigma \) -алгебра на \( S \) , названий на ім’я Еміль Борель генерується відкритими підмножинами \( S \) . Таким чином, топологічний простір \( (S, \mathscr S) \) природно призводить до вимірюваного простору \( (S, \sigma(\mathscr S))\) . Оскільки закрита множина є просто доповненням відкритої множини, \( \sigma \) алгебра Бореля містить і закриті множини (і фактично генерується замкнутими множинами). Ось деякі інші набори, які знаходяться в \(\sigma\) алгебрі Бореля:

Припустимо знову, що \((S, \mathscr S)\) це топологічний простір, і \(I\) це обчислювальний набір індексів.

1. Якщо \(A_i\) відкрито для кожного \(i \in I\) тоді \(\bigcap_ A_i \in \sigma(\mathscr S)\) . Такі набори називаються .
2. Якщо \(A_i\) закритий для кожного, \(i \in I\) то \(\bigcup_ A_i \in \sigma(\mathscr S)\) . Такі набори називаються .
3. Якщо \((S, \mathscr S)\) Hausdorff то \(\ \in \mathscr S\) для кожного \(x \in S\) .

1. Це випливає з напрямку властивості закриття для перехресть.
2. Це випливає з визначення.
3. Це випливає \(\\) , оскільки закривається для кожного, \(x \in S\) якщо топологія Hausdorff.

З точки зору частини (c) нагадаємо, що топологічним простором є , названий на честь Фелікса Хаусдорфа, якщо топологія може розрізняти окремі точки. Зокрема, якщо \(x, \, y \in S\) різні, то існують неспільні відкриті множини \(U, \, V\) з \(x \in U\) і \(y \in V\) . Це дуже основна властивість, якою володіють майже всі топологічні простори, які зустрічаються в додатках. Простий наслідок (c) полягає в тому, що якщо топологічний простір \((S, \mathscr S)\) є Хаусдорфом, то \(A \in \sigma(\mathscr S)\) для кожного підрахунку \(A \subseteq S\) .

Відзначимо крайні випадки. Якщо \( S \) має \( \mathscr(S) \) , так що кожен набір відкритий (і закритий), то, звичайно, \( \sigma \) Алгебра Бореля також \( \mathscr(S) \) . Як зазначалося вище, це часто доречна \( \sigma \) -алгебра, якщо \( S \) підраховується, але часто занадто велика, якщо \( S \) незліченна. Якщо \(S\) має тривіальну топологію \(\\) , то Борель \(\sigma\) -алгебра теж \(\\) , і так теж тривіальна.

Нагадаємо, що для топологічного простору \( (S, \mathscr T) \) є колекція \( \mathscr B \subseteq \mathscr T \) з властивістю, що кожен набір в \(\mathscr T\) є об’єднанням колекції множин в \( \mathscr B \) . Коротше кажучи, кожен відкритий набір – це об’єднання деяких основних відкритих наборів.

Припустимо, що \( (S, \mathscr S) \) це топологічний простір з підрахунковою базою \( \mathscr B \) . Потім \( \sigma(\mathscr B) = \sigma(\mathscr S) \) .

З \( \mathscr B \subseteq \mathscr S \) цього випливає банально, що \( \sigma(\mathscr B) \subseteq \sigma(\mathscr S) \) . І навпаки, якщо \( U \in \mathscr S \) , існує колекція множин, в \( \mathscr B \) об’єднанні яких є \( U \) . Так як \( \mathscr B \) підраховується, \( U \in \sigma(\mathscr B) \) .

Зазвичай передбачається, що топологічні простори, що відбуваються за ймовірністю та стохастичними процесами, мають підрахункову базу (поряд з іншими приємними властивостями, такими як властивість Хаусдорфа та локально компактність). \( \sigma \) Алгебра, яка використовується для такого простору, зазвичай є \( \sigma \) алгебра Бореля, яка за попереднім результатом зліченно генерується.

Вимірювані функції

Нагадаємо, що множина зазвичай поставляється з \(\sigma\) -алгеброю допустимих підмножин. Природною вимогою до функції є те, щоб обернене зображення допустимої множини в просторі діапазону було допустимим у доменному просторі. Ось формальне визначення.

Припустимо, що \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є вимірними пробілами. Функція \( f: S \to T \) , якщо \( f^(A) \in \mathscr S \) для кожного \( A \in \mathscr T \) .

Якщо \( \sigma \) -алгебра в просторі діапазону генерується сукупністю базових множин, то для перевірки вимірності функції нам потрібно лише розглянути обернені зображення базових множин:

Припустимо ще раз, що \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є вимірні пробіли, і що \( \mathscr T = \sigma(\mathscr B) \) для колекції підмножин \( \mathscr B \) \( T \) . Тоді \( f: S \to T \) вимірюється, якщо і тільки якщо \( f^(B) \in \mathscr S \) для кожного \( B \in \mathscr B \) .

По-перше \( \mathscr B \subseteq \mathscr T \) , так що якщо \( f: S \to T \) вимірюється, то умова в теоремі тривіально тримається. І навпаки, припустимо, що умова в теоремі тримає, і нехай \( \mathscr = \(A) \in \mathscr S\> \) . Тоді \( T \in \mathscr \) з тих пір \( f^(T) = S \in \mathscr S \) . Якщо \( A \in \mathscr \) тоді \( f^(A^c) = \left[f^(A)\right]^c \in \mathscr S \) , так \( A^c \in \mathscr \) . Якщо \( A_i \in \mathscr \) for \( i \) в обчислювальному індексі набір \( I \) , то \( f^\left(\bigcup_ A_i\right) = \bigcup_ f^(A_i) \in \mathscr S \) , і, отже \( \bigcup_ A_i \in \mathscr \) . Таким чином, \( \mathscr \) є \( \sigma \) -алгебра підмножин \( T \) . Але \( \mathscr B \subseteq \mathscr \) за припущенням, так \( \mathscr T = \sigma(\mathscr B) \subseteq \mathscr \) . Звичайно \( \mathscr \subseteq \mathscr T \) за визначенням, так \( \mathscr = \mathscr T \) і, отже, \( f \) вимірюється.

Якщо ви переглянули розділ про топологію, то, можливо, ви помітили вражаючу паралель між визначенням неперервності функцій на топологічних просторах та визначенням вимірності для функцій на вимірних просторах: Функція з одного топологічного простору в інший , якщо обернене зображення відкритої множини в просторі діапазону відкрито в доменному просторі. Функція від одного вимірюваного простору до іншого , якщо обернене зображення вимірюваної множини в просторі діапазону є вимірним у доменному просторі. Якщо ми почнемо з топологічних просторів, що ми часто робимо, і використаємо \( \sigma \) алгебри Бореля для отримання вимірних просторів, то отримаємо наступне (навряд чи дивно) з’єднання.

Припустимо, що \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є топологічними просторами, і що ми дамо \( S \) і \( T \) Борель \( \sigma \) -алгебри \( \sigma(\mathscr S) \) і \( \sigma(\mathscr T) \) відповідно. Якщо \( f: S \to T \) суцільний, \( f \) то вимірюється.

Якщо \( V \in \mathscr T \) тоді \( f^(V) \in \mathscr S \subseteq \sigma(\mathscr S) \) . \( f \) Звідси можна виміряти за попередньою теоремою.

Вимірюваність зберігається під складом, найважливішим методом об’єднання функцій.

Припустимо \((R, \mathscr)\) , що \((S, \mathscr S)\) , і \((T, \mathscr T)\) є вимірними пробілами. Якщо \(f: R \to S\) вимірюється і \(g: S \to T\) вимірюється, то \(g \circ f: R \to T\) вимірюється.

Якщо \( A \in \mathscr T \) тоді, \( g^(A) \in \mathscr S \) оскільки \( g \) вимірюється, а значить, \( (g \circ f)^(A) = f^\left[g^(A)\right] \in \mathscr \) оскільки \( f \) є вимірним.

Якщо \( T \) задано найменшу можливу \( \sigma \) -алгебру або якщо \( S \) задано найбільшу, то будь-яка функція from \( S \) into \( T \) є вимірною.

Кожна функція \( f: S \to T \) вимірюється в кожному з наступних випадків:

1. \( \mathscr T = \ \) і \( \mathscr S \) є довільною \( \sigma \) -алгеброю підмножин \( S \)
2. \( \mathscr S = \mathscr(S) \) і \( \mathscr T \) є довільною \( \sigma \) -алгеброю підмножин \( T \) .

1. Припустимо, \( \mathscr S \) що \( \mathscr T = \ \) і що довільна \( \sigma \) -алгебра на \( S \) . Якщо \( f: S \to T \) , то \( f^(T) = S \in \mathscr S \) і \( f^(\emptyset) = \emptyset \in \mathscr S \) \( f \) так можна виміряти.
2. Припустимо, \( \mathscr T \) що \( \mathscr S = \mathscr(S) \) і що довільна \( \sigma \) -алгебра на \( T \) . Якщо \( f: S \to T \) , то тривіально \( f^(A) \in \mathscr S \) для кожного \( A \in \mathscr T \) \( f \) так можна виміряти.

Коли є кілька \( \sigma \) -алгебр для одного набору, то ми використовуємо фразу ми могли бути точними. Якщо функція вимірюється відносно заданої \( \sigma \) -алгебри на її області, то вона вимірюється відносно будь-якої більшої \( \sigma \) -алгебри на цьому просторі. Якщо функція вимірюється відносно a \( \sigma \) -алгебри на просторі діапазону, то її можна виміряти відносно будь-якої меншої \( \sigma \) -алгебри на цьому просторі.

Припустимо, що \( S \) має \( \sigma \) -алгебри \( \mathscr \) і \( \mathscr S \) з \( \mathscr \subseteq \mathscr S \) , і що \( T \) має \( \sigma \) -алгебри \( \mathscr T \) і \( \mathscr \) с \( \mathscr T \subseteq \mathscr \) . Якщо \( f: S \to T \) вимірюється щодо \( \mathscr \) і \( \mathscr \) , то \( f \) вимірюється щодо \( \mathscr S \) і \( \mathscr T \) .

Якщо \( A \in \mathscr T \) тоді \( A \in \mathscr \) . Звідси \( f^(A) \in \mathscr \) і так \( f^(A) \in \mathscr S \) .

Наступна конструкція особливо важлива в теорії ймовірностей:

Припустимо, що \( S \) це набір і \( (T, \mathscr T) \) є вимірним простором. Припустимо також, що \(f: S \to T\) і визначте \(\sigma(f) = \left\(A): A \in \mathscr T\right\>\) . Тоді

1. \( \sigma(f) \) це \(\sigma\) -алгебра на \(S\) .
2. \( \sigma(f) \) це найменша \( \sigma \) -алгебра на \( S \) що робить \( f \) вимірним.

1. Ключ до доказу полягає в тому, що зворотне зображення зберігає всі встановлені операції. По-перше, \( S \in \sigma(f) \) так як \( T \in \mathscr T \) і \( f^(T) = S \) . Якщо \( B \in \sigma(f) \) то \( B = f^(A) \) для деяких \( A \in \mathscr T \) . Але потім \( A^c \in \mathscr T \) і звідси \( B^c = f^(A^c) \in \sigma(f) \) . Нарешті, припустимо, що \( B_i \in \sigma(f) \) для \( i \) в обчислювальному індексі набір \( I \) . Тоді для кожного \( i \in I \) існує \( A_i \in \mathscr T \) таке, що \( B_i = f^(A_i) \) . Але потім \( \bigcup_ A_i \in \mathscr T \) і \( \bigcup_ B_i = f^\left(\bigcup_ A_i \right) \) . Звідси \( \bigcup_ B_i \in \sigma(f) \) .
2. Якщо \( \mathscr S \) є \( \sigma \) -алгебра на \( S \) і \( f \) вимірюється відносно \( \mathscr S \) і \( \mathscr T \) , то за визначенням \( f^(A) \in \mathscr S \) для кожного \( A \in \mathscr T \) , так \( \sigma(f) \subseteq \mathscr S \) .

Відповідним чином, \( \sigma(f) \) називається . Часто, \( S \) матиме дану \( \sigma \) -алгебру \( \mathscr S \) і \( f \) буде вимірюватися щодо \( \mathscr S \) і \( \mathscr T \) . В даному випадку, \( \sigma(f) \subseteq \mathscr S \) . Ми можемо узагальнити довільну колекцію функцій на \( S \) .

Припустимо, \( S \) це множина, і \((T_i, \mathscr T_i)\) це вимірний простір для кожного \(i\) в непорожньому наборі індексів \(I\) . Припустимо також, що \(f_i: S \to T_i\) для кожного \(i \in I\) . \(\sigma\) -алгебра, породжена цією колекцією функцій, є \[ \sigma\left\ = \sigma\left\ = \sigma\left\(A): i \in I, \, A \in \mathscr T_i\right\> \]

Знову ж таки, це найменша \(\sigma\) -алгебра на \(S\) що робить \(f_i\) вимірним для кожного \(i \in I\) .

Набори продуктів

Виробничі набори виникають природним чином у вигляді вищих евклідових просторів \( \R^n \) для \( n \in \ \) . Крім того, простори добутку особливо важливі за ймовірністю, де вони використовуються для опису просторів, пов’язаних з послідовностями випадкових величин. Більш загальні простори продукту виникають при вивченні стохастичних процесів. Починаємо з твору двох наборів; узагальнення до продуктів \( n \) наборів і до загальних продуктів є простим, хоча позначення ускладнюється.

Припустимо, що \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є вимірними пробілами. на \( S \times T \) є \[\mathscr S \otimes \mathscr T = \sigma\ \]

Так що визначення природне: твір \( \sigma \) -алгебра породжується добутками вимірюваних множин. Наша наступна мета полягає в тому, щоб розглянути вимірність функцій, визначених на просторах продукту або відображення в них. Основне значення мають проекційні функції. Якщо \( S \) і \( T \) є множинами, нехай \( p_1: S \times T \to S \) і \( p_2: S \times T \to T \) визначатися \( p_1(x, y) = x \) і \( p_2(x, y) = y \) для \( (x, y) \in S \times T \) . Нагадаємо, що \( p_1 \) це і \( p_2 \) є . \( \sigma \) Алгебра добутку є найменшою \( \sigma \) -алгеброю, яка робить проекції вимірними:

Припустимо ще раз, що \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є вимірними пробілами. Потім \( \mathscr S \otimes \mathscr T = \sigma\ \) .

Якщо \( A \in \mathscr S \) тоді \( p_1^(A) = A \times T \in \mathscr S \otimes \mathscr T\) . Аналогічно, якщо \( B \in \mathscr T \) тоді \( p_2^(B) = S \times B \in \mathscr S \otimes \mathscr T \) . Звідси \( p_1 \) і \( p_2 \) є вимірними, так що \( \sigma\ \subseteq \mathscr S \otimes \mathscr T \) . І навпаки, якщо \( A \in \mathscr S \) і \( B \in \mathscr T \) то \( A \times B = p_1^(A) \cap p_2^(B) \in \sigma\\) . Так як множини цієї форми генерують добуток \( \sigma \) -алгебру, ми маємо \( \mathscr S \otimes \mathscr T \subseteq \sigma\ \) .

Функції проекції дозволяють легко вивчати відображення функцій у просторі продукту.

Припустимо \( (R, \mathscr) \) , що, \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є вимірними пробілами, і що \( S \times T \) дається добуток \( \sigma \) -алгебри \( \mathscr S \otimes \mathscr T \) . Припустимо також що \( f: R \to S \times T \) , так що \( f(x) = \left(f_1(x), f_2(x)\right) \) для \( x \in \R \) , де \( f_1: R \to S \) і \( f_2: R \to T \) знаходяться . Потім \( f \) вимірюється, якщо і тільки тоді \( f_1 \) і \( f_2 \) є вимірними.

Зверніть увагу, що \( f_1 = p_1 \circ f \) і \( f_2 = p_2 \circ f \) . Отже \( f \) , якщо вимірюється, то \( f_1 \) і \( f_2 \) є складами вимірюваних функцій, а отже, вимірювані. І навпаки, припустимо, що \( f_1 \) і \( f_2 \) є вимірними. Якщо \( A \in \mathscr S \) і \( B \in \mathscr T \) тоді \( f^(A \times B) = f_1^(A) \cap f_2^(B) \in \mathscr \) . Оскільки продукти вимірюваних множин генерують \( \mathscr S \otimes \mathscr T \) , випливає, що \( f \) є вимірним.

Наша наступна мета – розглянути поперечні перерізи множин у просторі виробу та поперечні перерізи функцій, визначених на продуктовому просторі. Це допоможе ввести деякі нові функції, які в певному сенсі доповнюють проекційні функції.

Припустимо ще раз, що \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є вимірними пробілами, і що \( S \times T \) дається добуток \( \sigma \) -алгебри \( \mathscr S \otimes \mathscr T \) .

1. Для \( x \in S \) функції \( 1_x : T \to S \times T \) , визначеної \( 1_x(y) = (x, y) \) for \( y \in T \) , є вимірною.
2. Для \( y \in T \) функції \( 2_y: S \to S \times T \) , визначеної \( 2_y(x) = (x, y) \) for \( x \in S \) , є вимірною.

Щоб показати, що функції є вимірними, достатньо розглянути зворотні зображення добутків вимірюваних множин, оскільки такі множини породжують \( \mathscr S \otimes \mathscr T \) . Таким чином, нехай \( A \in \mathscr S \) і \( B \in \mathscr T \) .

1. Для \( x \in S \) зверніть увагу, що \( 1_x^(A \times B) \) це \( B \) якщо \( x \in A \) і є \( \emptyset \) якщо \( x \notin A \) . У будь-якому випадку, \( 1_x^(A \times B) \in \mathscr T \) .
2. Аналогічно, для \( y \in T \) зверніть увагу, \( 2_y^(A \times B) \) що \( A \) якщо \( y \in B \) і є \( \emptyset \) якщо \( y \notin B \) . У будь-якому випадку, \( 2_y^(A \times B) \in \mathscr S \) .

Припустимо ще раз, що \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є вимірні пробіли, і що \( C \in \mathscr S \otimes \mathscr T \) . Тоді

Ці результати випливають відразу з вимірності функцій \( 1_x \) і \( 2_y \) :

Множина в (a) – це в \( x \) , а набір у (b) – в \( y \) . Як простий наслідок теореми зверніть увагу, що якщо \( A \subseteq S \) , \( A \times B \in \mathscr S \otimes \mathscr T \) а потім \( B \subseteq T \) \( A \in \mathscr S \) і \( B \in \mathscr T \) . Тобто єдиними вимірюваними продуктовими наборами є вироби вимірюваних наборів. Ось результат вимірності для функцій поперечного перерізу:

Припустимо ще раз, що \( (S, \mathscr S) \) і \( (T, \mathscr T) \) є вимірними пробілами, і що \( S \times T \) дається добуток \( \sigma \) -алгебри \( \mathscr S \otimes \mathscr T \) . Припустимо, що \( (U, \mathscr) \) це ще один вимірний простір, і \( f: S \times T \to U \) це можна виміряти. Тоді

1. Функція \( y \mapsto f(x, y) \) від \( T \) до \( U \) вимірюється для кожного \( x \in S \) .
2. Функція \( x \mapsto f(x, y) \) від \( S \) до \( U \) вимірюється для кожного \( y \in T \) .

Зауважте, що функція in (a) є справедливою \( f \circ 1_x\) , а функція в (b) просто \( f \circ 2_y \) , обидві є складами вимірюваних функцій

Результати для добутків двох просторів узагальнюються абсолютно простим способом до добутку \( n \) просторів.

Припустимо, \( n \in \N_+ \) і \( (S_i, \mathscr S_i) \) це вимірний простір для кожного \( i \in \ \) . на декартовому наборі \( S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n \) добуток \[ \mathscr S_1 \otimes \mathscr S_2 \otimes \cdots \otimes \mathscr S_n = \sigma\left\ < A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n: A_i \in \mathscr S_i \text< for all >i \in \\right\> \]

Отже, знову ж таки, \( \sigma \) твір -алгебра генерується добутками вимірюваних множин. Результати, аналогічні вищезазначеним теоремам, тримаються. В особливому випадку, що \( (S_i, \mathscr S_i) = (S, \mathscr S) \) для \( i \in \ \) , декартовим добутком стає \( S^n \) і позначається відповідний твір \( \sigma \) -алгебра \( \mathscr S^n \) . Позначення є природним, але потенційно заплутаним. Зверніть увагу, що \( \mathscr S^n \) це не декартовий добуток \( \mathscr S \) \( n \) часів, а скоріше \( \sigma \) -алгебра, породжена множинами форми, \( A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \) де \( A_i \in \mathscr S \) для \( i \in \ \) .

Ми також можемо поширити ці ідеї на загальний продукт. Щоб згадати визначення, припустимо, що \( S_i \) це набір для кожного \( i \) з непорожніх індексів \( I \) . Набір виробів \( \prod_ S_i \) складається з усіх функцій, \( x: I \to \bigcup_ S_i \) таких, що \( x(i) \in S_i \) для кожної \( i \in I \) . Щоб позначення виглядало більше як простий декартовий добуток, ми часто пишемо \( x_i \) замість \( x(i) \) значення функції в продукті, встановленому на \( i \in I \) . Наступне визначення дає відповідну \( \sigma \) -алгебру для продуктового набору.

Припустимо, що \( (S_i, \mathscr S_i) \) це вимірний простір для кожного \(i \) в непорожньому наборі індексів \( I \) . на продуктовому \( \prod_ S_i \) наборі \[ \sigma\left\ <\prod_A_i: A_i \in \mathscr S_i \text < for each >i \in I \text < and >A_i = S_i \text < for all but finitely many >i \in I \right\>\]

Якщо ви розглянули розділ по топології, визначення має виглядати знайомим. Якщо пробіли були топологічними просторами замість вимірних просторів, з \( \mathscr S_i \) топологією \( S_i \) for \( i \in I \) , то набір продуктів у відображуваному вище виразі є базою для топології продукту на \( \prod_ S_i \) .

Визначення можна зрозуміти і з точки зору прогнозів. Нагадаємо, що на координату \( j \in I \) – це функція, \( p_j: \prod_ S_i \to S_j \) задана \( p_j(x) = x_j \) . Добуток \( \sigma \) -алгебра є найменшою \( \sigma \) -алгебра на наборі добуток, що робить всі проекції вимірними.

Знову припустимо, що \( (S_i, \mathscr S_i)\) це вимірний простір для кожного \( i \) в непорожньому наборі індексів \( I \) , і нехай \( \mathfrak \) позначимо добуток \( \sigma \) -алгебри на множині добутку \( S_I = \prod_ S_i \) . Потім \(\mathfrak = \sigma\ \) .

Нехай \( j \in I \) і \( A \in \mathscr S_j \) . Тоді \( p_j^(A) = \prod_ A_i \) де \( A_i = S_i \) за \( i \ne j \) і \( A_j = A \) . Цей набір є в \( \mathfrak \) так \( p_j \) можна виміряти. Звідси \( \sigma\ \subseteq \mathfrak \) . Для іншого напрямку розгляньте набір товарів, \( \prod_ A_i \) де \( A_i = S_i \) крім \( i \in J \) , де \( J \subseteq I \) є кінцевим. Потім \( \prod_ A_i = \bigcap_ p_j^(A_j) \) . Цей набір знаходиться в \( \sigma\ \) . Продуктові набори цієї форми генерують \( \mathfrak \) так, що випливає \( \mathfrak \subseteq \sigma\ \) .

В особливому випадку, який \( (S, \mathscr S) \) є фіксованим вимірюваним простором і \( (S_i, \mathscr S_i) = (S, \mathscr S) \) для всіх \( i \in I \) , набір продуктів \( \prod_ S \) – це просто набір функцій з \( I \) в \( S \) , часто позначається \( S^I \) . Потім позначається твір \( \sigma \) -алгебра, позначення \( \mathscr S^I \) , яке є природним, але знову ж таки потенційно заплутаним. Ось основний результат вимірюваності для відображення функцій у просторі продукту.

Припустимо, що \( (R, \mathscr) \) це вимірний простір, і \( (S_i, \mathscr S_i) \) це вимірний простір для кожного \( i \) в непорожньому наборі індексів \( I \) . Як і раніше, нехай \(\prod_ S_i \) є твір \( \sigma \) -алгебра. Припустимо, що тепер \( f: R \to \prod_ S_i \) . Для \( i \in I \) let \( f_i: R \to S_i \) позначаємо \( i \) координатну функцію \( f \) , так що \( f_i(x) = [f(x)]_i \) для \( x \in R \) . Потім \( f \) вимірюється, якщо і лише тоді \( f_i \) , коли вимірюється для кожного \( i \in I \) .

Припустимо, \( f \) що можна виміряти. Для \( i \in I \) зверніть увагу, що \( f_i = p_i \circ f \) це склад вимірюваних функцій, а отже, є вимірним. І навпаки, припустимо, що \( f_i \) вимірюється для кожного \( i \in I \) . Щоб показати, що вимірність \( f \) нам потрібно лише розглянути зворотні зображення множин, які генерують добуток \( \sigma \) -алгебри. Таким чином, припустимо, що \( A_j \in \mathscr S_j \) для \( j \) в кінцевому \( J \subseteq I \) підмножині, і нехай \( A_i = S_i \) для \( i \in I – J \) . Потім \( f^\left(\prod_ A_i\right) = \bigcap_ f_j^(A_j) \) . Ця множина знаходиться в, \( \mathscr \) оскільки перетин знаходиться над скінченним набором індексів.

Так само, як і у випадку з добутком двох наборів, набори та функції поперечного перерізу вимірюються щодо вимірювання продукту. Знову ж таки, найкраще працювати з деякими спеціальними функціями.

Припустимо, що \( (S_i, \mathscr S_i) \) це вимірний простір для кожного \( i \) в індексі набору \( I \) з принаймні двома елементами. Для \( j \in I \) і \( u \in S_j \) , визначити функцію \( j_u: \prod_> \to \prod_ S_i \) , \( j_u(x) = y \) де \( y_i = x_i \) for \( i \ne j \) і \( y_j = u \) . Потім \( j_u \) вимірюється щодо добутку \( \sigma \) -алгебри.

Ще раз досить розглянути зворотне зображення множин, які генерують твір \( \sigma \) -алгебру. Так що припустимо \( A_i \in \mathscr S_i \) для \( i \in I \) з \( A_i = S_i \) для всіх, але скінченно багато \( i \in I \) . Тоді \( j_u^\left(\prod_ A_i\right) = \prod_> A_i \) якщо \( u \in A_j \) , і зворотне зображення \( \emptyset \) інакше. У будь-якому випадку, \( j_u^\left(\prod_ A_i\right) \) знаходиться в добуті \( \sigma \) -алгебра на \( \prod_> S_i \) .

У словах, для \( j \in I \) і \( u \in S_j \) , функція \( j_u \) приймає точку в \( \prod_< i \in I - \> S_i \) наборі товарів і \( u \) призначає координату, \( j \) щоб дати точку в \( \prod_ S_i \) . Якщо \( A \subseteq \prod_ S_i \) , то \( j_u^(A) \) це поперечний переріз \( A \) в \( j \) координаті в \( u \) . Так що відразу з попереднього результату випливає, що поперечні перерізи вимірюваного набору є вимірними. Поперечні перерізи вимірюваних функцій також вимірювані. Припустимо, що \( (T, \mathscr T) \) це ще один вимірний простір, і \( f: \prod_ S_i \to T \) це можна виміряти. Перетин \( f \) в \( j \in I \) координаті в \( u \in S_j \) просто \( f \circ j_u: S_ \to T\) , склад вимірюваних функцій.

Однак невимірюваний набір може мати вимірювані поперечні перерізи, навіть у добутку двох просторів.

Припустимо, що \( S \) це незліченна множина з \( \sigma \) -алгеброю \( \mathscr \) лічильних та співрахункових множин, як у (21). Розглянемо \( S \times S \) з твором \( \sigma \) -алгебра \( \mathscr \otimes \mathscr \) . Нехай \( D = \<(x, x): x \in S\>\) , \( S \times S \) . Потім \( D \) має вимірювані перерізи, але не \( D \) піддається вимірюванню.

Для \( x \in S \) , перетин \( D \) в першій координаті в \( x \) є \( \ = \ \in \mathscr \) . Аналогічно \( y \in S \) , для, перетин \( D \) в другій координаті при \( y \) є \( \ = \ < y\>\in \mathscr \) . Але \( D \) не може бути згенеровано зліченою колекцією наборів форми \( A \times B \) з \( A, \, B \in \mathscr \) \( D \notin \mathscr \otimes \mathscr \) , отже, результатом вище.

Особливі випадки

Більшість множин, що зустрічаються в застосованій ймовірності, є або підмножинами \(\R^n\) для деяких \(n\) , або більш загалом, підмножин добутку лічильної кількості множин цих типів. У вивченні стохастичних процесів важливу роль відіграють різні простори функцій. У цьому підрозділі ми розглянемо найважливіші особливі випадки.

Дискретні простори

Якщо \(S\) є підрахунковим і \(\mathscr S = \mathscr P(S)\) є сукупністю всіх підмножин \(S\) , то \((S, \mathscr S)\) є .

Таким чином, якщо \((S, \mathscr S)\) дискретний, всі \( S \) підмножини вимірюються, і кожна функція від \( S \) до іншого вимірюваного простору є вимірною. Набір потужності також є дискретною топологією \( S \) , так само \( \mathscr S \) є \( \sigma \) алгебра Бореля. Як топологічний простір, \( (S, \mathscr S) \) є повним, локально компактним, Hausdorff, і оскільки \( S \) є підрахунковим, відокремлюваним. Причому дискретної топології відповідає дискретна метрика \( d \) , \( x \in S \) визначена \( d(x, x) = 0 \) for і \( d(x, y) = 1 \) for \( x, \, y \in S \) с \( x \ne y \) .

Евклідові простори

Нагадаємо, що для \(n \in \N_+\) , Евклідова топологія на \(\R^n\) генерується стандартною евклідовою метрикою, \( d_n \) \[ d_n(\bs x, \bs y) = \sqrt^n (x_i – y_i)^2>, \quad \bs x = (x_1, x_2, \ldots, x_n), \, \bs y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \in \R^n \] заданою цією топологією, \( \R^n \) є повною, пов’язаною, локально компактною, Хаусдорфською та роздільною.

Бо \(n \in \N_+\) , \(n\) – це \((\R^n, \mathscr R_n)\) де \(\mathscr R_n\) знаходиться \(\sigma\) алгебра Бореля, що відповідає стандартній евклідовій топології на \(\R^n\) .

Особливо важливий одновимірний випадок. У цьому випадку стандартна евклідова метрика \( d \) задається \( d(x, y) = \left|x – y\right| \) за \( x, \, y \in \R \) . \(\sigma\) Алгебра Бореля \(\mathscr R\) може генеруватися різними колекціями інтервалів.

Кожна з наступних колекцій генерує \( \mathscr R \) .

Доказ передбачає показ того, що кожен набір у будь-якій з колекцій знаходиться в \( \sigma \) -алгебрі будь-якої іншої колекції. Нехай \( \mathscr S_i = \sigma(\mathscr B_i) \) для \( i \in \ \) .

1. Ясно \( \mathscr B_2 \subseteq \mathscr B_1 \) і \( \mathscr B_3 \subseteq \mathscr B_1 \) так \( \mathscr S_2 \subseteq \mathscr S_1 \) і \( \mathscr S_3 \subseteq \mathscr S_1 \) .
2. Якщо \( a, \, b \in \R \) з \( a \le b \) то \( [a, b] = \bigcap_^\infty \left(a – \frac, b\right] \) і \( (a, b) = \bigcup_^\infty \left(a, b – \frac\right] \) , значить \( [a, b], \, (a, b) \in \mathscr S_2 \) . Теж \( [a, b) = \bigcup_^\infty \left[a, b – \frac\right] \) так \( [a, b) \in \mathscr_2 \) . Таким чином, всі обмежені інтервали знаходяться в \( \mathscr S_2 \) . Далі, \( [a, \infty) = \bigcup_^\infty [a, a + n) \) , \( (a, \infty) = \bigcup_^\infty (a, a + n) \) , \( (-\infty, a] = \bigcup_^\infty (a – n, a] \) , і \( (-\infty, a) = \bigcup_^\infty (a – n, a) \) , так кожен з цих інтервалів знаходиться в \( \mathscr S_2 \) . Звичайно \( \R \in \mathscr S_2 \) , так що ми тепер маємо, що \( I \in \mathscr S_2 \) для кожного інтервалу \( I \) . Таким чином \( \mathscr S_1 \subseteq \mathscr S_2 \) , і так з (а), \( \mathscr S_2 = \mathscr S_1\) .
3. Якщо \( a, \, b \in \R \) з \( a \lt b \) то \( (a, b] = (-\infty, b] – (-\infty, a] \) так \( (a, b] \in \mathscr S_3 \) . Звідси \( \mathscr S_2 \subseteq \mathscr S_3 \) . Але потім з (а) і (б) випливає, що \( \mathscr S_3 = \mathscr S_1 \) .

Оскільки евклідова топологія має підрахункову базу, \(\mathscr R\) зліченно генерується. Насправді кожна колекція інтервалів вище, але з кінцевими точками, обмеженими \( \Q \) , генерує \(\mathscr R\) . Більше того, також \( \mathscr R \) може бути побудована з \( \sigma \) -алгебр, які генеруються лічильними розділами. Спочатку нагадаємо, що для \( n \in \N \) , набір діадичних раціоналів (або ) рангу \( n \) або менше є \( \D_n = \ \) . Зверніть увагу, \( \D_n \) що підраховується і \( \D_n \subseteq \D_ \) для \( n \in \N \) . Більш того, \( \D = \bigcup_ \D_n \) сукупність всіх діадичних раціоналів щільна в \( \R \) . Діадичні раціональні часто корисні в різних додатках, оскільки \( \D_n \) має природне впорядковане перерахування \( j \mapsto j / 2^n \) для кожного \( n \in \N \) . Тепер нехай \[ \mathscr_n = \left\<\left(j / 2^n, (j + 1) / 2^n\right]: j \in \Z\right\>, \quad n \in \N \] Тоді \( \mathscr_n \) є рахунковим розділом на непорожні інтервали однакового розміру \( 1 / 2^n \) , тому \( \mathscr_n = \sigma(\mathscr_n) \) складається з об’єднань множин в, \( \mathscr_n \) як описано вище. \( \R \) Кожен набір \( \mathscr_ \) – це об’єднання двох наборів \( \mathscr_ \) так чітко \( \mathscr_n \subseteq \mathscr_ \) для \( n \in \N \) . Нарешті, Борель \( \sigma \) -алгебра на \( \R \) є \( \mathscr = \sigma\left(\bigcup_^\infty \mathscr_n\right) = \sigma\left(\bigcup_^\infty \mathscr_n\right) \) . Така конструкція виявляється корисною в ряді налаштувань.

Для \( n \in \ \) евклідової топології на \(\R^n\) – це \( n \) топологія добутку, сформована з евклідової топології на \( \R \) . Отже, \( \sigma \) алгебра Бореля \( \mathscr R^n \) – це також \( n \) -складна сила \( \sigma \) -алгебра, утворена з \( \mathscr R \) . Нарешті, \( \mathscr R^n \) може бути згенеровано \( n \) -fold добуток множин в будь-якій з трьох колекцій попередньої теореми.

Простір реальних функцій

Припустимо, що \( (S, \mathscr S) \) це вимірний простір. З нашого загального обговорення функцій нагадаємо, що звичайні арифметичні операції над функціями \( S \) from into \( \R \) визначаються точково.

Якщо \( f: S \to \R \) і \( g: S \to \R \) вимірювані і \( a \in \R \) , то кожна з наступних функцій з \( S \) в також \( \R \) вимірюється:

Ці результати випливають з того, що арифметичні оператори є неперервними, а отже, і вимірюваними. Тобто,, \( (x, y) \mapsto x + y \) \( (x, y) \mapsto x – y \) , і \( (x, y) \mapsto x y \) є безперервними як функції з \( \R^2 \) в \( \R \) . Таким чином, якщо \( f, \, g: S \to \R \) є вимірними, \( (f, g): S \to \R^2 \) то можна виміряти за результатом вище. Потім, \( f + g \) , \( f – g \) , \( f g \) складають композиції, відповідно, з \( + \) \( – \) , \( \cdot \) с \( (f, g) \) . Звичайно, (d) є простим наслідком (c).

Точно так само, якщо \( f: S \to \R \setminus \ \) вимірюється, то так і є \( 1 / f \) . Нагадаємо, що множина функцій \( S \) from into \( \R \) є векторним простором, під точковими визначеннями додавання і скалярного множення. Але ще раз, ми зазвичай хочемо обмежити нашу увагу вимірюваними функціями. Таким чином, приємно знати, що вимірювані функції з \( S \) в \( \R \) також утворюють векторний простір. Це випливає відразу з (a) і (d) попередньої теореми. Особливе значення в ймовірності та стохастичних процесах має векторний простір обмежених, вимірюваних функцій \( f: S \to \R \) , з супремумною нормою \[ \|f\| = \sup\left\ <\left|f(x)\right|: x \in S \right\>\]

, з якими ми стикаємося в численні та інших областях прикладної математики, є функціями з підмножин \( \R \) в \( \R \) . Елементарні функції включають алгебраїчні функції (які, в свою чергу, включають поліноміальні та раціональні функції), звичайні трансцендентні функції (експоненціальні, логарифмові, тригонометричні) та звичайні функції, побудовані з них за складом, арифметичними операціями та складанням воєдино. Як ми могли б сподіватися, всі елементарні функції є вимірними.

Як правильно пити протеїн?

Недостатньо купити найдорожчий протеїн, доповнити його амінокислотами та креатином і вживати все це якнайчастіше і в якомога більших кількостях. Необхідно розуміти, як приймати протеїн і в яких дозах, щоб досягти бажаних результатів, і для чого він взагалі потрібен. У протилежному випадку ці добавки не тільки не принесуть жодної користі, але можуть нашкодити.

Як приймати протеїн під час набору маси?

Шляхом численних досліджень було розроблено схему, що показує, як правильно пити протеїн, скільки потрібно використовувати порошку білка і коли найкраще це робити при наборі м’язової маси.

1. Після ранкового пробудження

Під час нічного сну, середня тривалість якого становить 8 годин, організм не надходить їжа, у результаті він починає використовувати власні запаси джерел енергії. Насамперед, це амінокислоти, одержувані шляхом руйнування м’язової тканини. Плюс до всього, вранці прискорюється виробництво кортизолу, що призводить до активізації катаболічних процесів у м’язах. Тому відповідь на питання «як правильно вживати протеїн вранці» проста – вибирайте швидкодіючі варіанти: сироватковий або гідролізат.

2. Протягом дня

Якщо спортсмен хоче наростити м’язи, йому слід подбати про безперервне поповнення амінокислотного пулу. Навіть кілька споживань ситної їжі із цим завданням не впораються. Як часто пити протеїн у разі? Між їжею слід випивати до 4 високопротеїнових коктейлів.

3. Перед фізичними навантаженнями

За пару годин до тренування бажано прийняти невелику порцію того ж сироваткового продукту для запобігання катаболізму. Справа в тому, що амінокислотний дефіцит під час фізичної активності призводить до розщеплення м’язового білка для покриття потреб енергії.

4. Після тренінгу

Порція у разі залежить від рівня інтенсивності вправ.

У цей час значно покращується засвоєння організмом поживних речовин. Щоб заповнити витрачені запаси вуглеводів та швидко підняти рівень амінокислот у крові, можна випити гейнер. При схудненні слід обмежитись застосуванням сироваткового протеїну. А за годину вже можна повноцінно поїсти.

5. Перед нічним сном

Багато недосвідчених спортсменів і бодібілдерів сумніваються, чи можна приймати протеїн увечері, оскільки існує думка, що пізня вечеря підвищує ризик появи зайвої ваги. Однак це твердження не дійсне стосовно білкових продуктів, щоправда, лише за умови підвищеної фізичної активності. Щоб не допустити руйнування м’язів уночі, коли вони не отримують ніяких речовин ззовні, рекомендується за півгодини до сну випити порцію білка, що повільно діє, для підтримки необхідного амінокислотного рівня тривалий період. У цьому випадку варто віддавати перевагу казеїну чи багатокомпонентному комплексу.

Як правильно застосовувати протеїн, розібралися, тепер настала черга розглянути питання про добову дозу. Для фізично активних людей норма споживання білка становить 1,2-2,0 г на кілограм ваги щодня. Так як у різних спортивних дисциплінах різні вимоги до ваги спортсмена, то цей показник може сильно змінюватись в діапазоні від 60г/день для атлетів з масою тіла 50 кг до 180-255 г/день для важкоатлетів з масою від 150 кг.

Як правильно пити протеїн на сушінні чоловікам?

При курсі на сушіння, білка, що надходить в організм разом із продуктами харчування, явно недостатньо для протидії катаболізму. Тому питання «чи потрібно пити протеїн» у цьому випадку навіть виникати не повинно. Його варто споживати у перервах між сніданком, обідом, вечерею. Існує правило, що при звільненні від зайвих кілограм необхідно харчуватися щонайменше п’ять разів на добу. Два прийоми їжі можна легко замінити протеїновим напоєм без жирів та вуглеводів.

Якщо говорити, скільки пити протеїну за раз або скільки мірних ложок змішувати, при схудненні стандартну порцію варто розділити на два. Таку ж кількість слід споживати за пару годин до тренування та після неї.

Для використання на сушінні найкраще підійдуть комплексні білкові суміші та повільні білки.

Як і скільки потрібно пити протеїну дівчатам для схуднення?

Жінки всього світу прагнуть мати гарну, підтягнуту постать. Але якщо ще якихось 10 років тому з зайвими кілограмами боролися виключно дотриманням строгих дієт та використанням сумнівних препаратів, то зараз все більше представниць прекрасної статі вибирають фізичні навантаження та збалансоване харчування, яке включає у тому числі й протеїнові добавки. Як же п’ють протеїн жінки?

Для дівчат, які вже мають серйозний досвід у фітнесі, така схема:

• вранці, за годину до тренінгу та після нього – сироватковий білок;
• натомість прийому їжі або між сніданком та обідом – комплексний прот;
• увечері – казеїн.

Скільки потрібно вживати протеїну для інтенсивного розщеплення молекул жиру? Від 1,5 до 2 г на кілограм маси тіла. Наприклад, для дівчат вагою 70 кг цей показник становить 105-140 г.

Як вживати протеїн різних видів?

Отже, резюмуємо, як правильно використовувати протеїн, отриманий із різних джерел.

Сироватковий білок бажано приймати вранці на голодний шлунок, до роботи у залі та після неї. Казеїн п’ють проти ночі. Найкращий час для дії рослинних білкових продуктів – між їдою або після тренінгу. Молочний прот рекомендують вживати перед сном чи між їжею. Рекомендації щодо споживання білка, отриманого з м’яса та яєць, аналогічні сироватковому.