§ 15. Дія магнітного поля

Сила Ампера. Якщо прямий провідник розмістити між полюсами постійного магніту та пропустити по провіднику струм, то він почне відхилятися від початкового положення (мал. 66, а). Рух провідника пояснюється взаємодією двох полів: магнітного поля, що створюється струмом, і поля постійного магніту. У 9 класі ми вже дослідили, від чого залежить сила, яка діє на провідник зі струмом, що міститься в однорідному магнітному полі (її називають силою Ампера). Пригадаймо.

Мал. 66. До визначення сили Ампера: а — схема установки для дослідження дії магнітного поля на провідник зі струмом; б — ілюстрація правила лівої руки

Сила Ампера, що діє на провідник у магнітному полі, тим більша, що більший струм проходить провідником і що сильнішим є магнітне поле, в якому він розміщений. Також сила Ампера залежить від довжини провідника зі струмом і його розташування в магнітному полі. До речі, пригадаймо, що ділянку магнітного поля між полюсами магніту можна вважати однорідним магнітним полем, силові лінії якого паралельні.

У випадку однорідного магнітного поля сила Ампера визначається за формулою FA = BIΔl sin α , тут α — кут між напрямком струму I в провіднику та індукцією магнітного поля Максимальне значення сила Ампера має, коли провідник розташований перпендикулярно до ліній індукції магнітного поля, F_Amax = ΒIΔl.

Напрямок сили Ампера визначають за правилом лівої руки (мал. 66, б; с. 77): якщо розмістити ліву руку вздовж провідника так, щоб чотири пальці вказували напрямок струму в ньому, а лінії магнітної індукції входили в долоню, то відігнутий великий палець покаже напрямок сили, яка діє на провідник зі струмом.

Момент сил, що діє на прямокутну рамку зі струмом у магнітному полі. Розглянемо прямокутний контур (рамку), що може обертатися навколо горизонтальної осі (мал. 67, а). У початковий момент площина рамки паралельна лініям індукції однорідного магнітного поля постійного магніту. У більшості випадків розглядають орієнтацію рамки, вказуючи, як розташована нормаль n до рамки щодо ліній індукції магнітного поля.

Мал. 67 Дія сил Ампера: а — повертають рамку за ходом годинникової стрілки; б — розтягують рамку

Пропустимо електричний струм рамкою (напрямок струму вказано червоними стрілочками). Цей струм створює магнітне поле, вектор індукції якого можна визначити за правилом свердлика. Оскільки цей напрямок збігається з вектором нормалі до площини рамки, то на малюнку показано тільки його позначення.

У провідниках 1-4 і 2-3 магнітні сили утворюють пару сил, які обертають рамку. У нашому випадку — за годинниковою стрілкою. У положенні б ці сили вже не обертають рамку, а деформують її.

Обчислимо момент пари сил щодо осі обертання рамки. Для цього розглянемо лише одну сторону рамки (мал. 68), наприклад, 1-2, довжина якої b.

Мал. 68. До виведення формули обертального моменту

Сила Ампера, що діє на сторону рамки 1-4 (мал. 67, а) довжиною а, дорівнює F₁ = BIa, оскільки Така ж сила діє на сторону 2-3. Пригадаймо: обертальний момент М дорівнює добутку сили на плече — найкоротшу відстань від осі обертання до лінії дії сили. З малюнка видно: Загальний момент сили дорівнює сумі моментів М₁ і М₂: М = F₁ · b sin α. Підставляючи вираз сили, отримуємо: М = BIab sin α = BIS sin α.

Обертальний момент М, який діє на контур зі струмом І в однорідному полі, прямо пропорційний площі S, яку обтікає струм, силі струму І та індукції магнітного поля В: М = BIS sin α.

Оскільки обертальний момент М залежить від положення контура відносно поля, то вводять поняття магнітного моменту струму, який вважають векторною величиною.

Магнітний момент струму р_m — це векторна фізична величина, що описує магнітні властивості контура зі струмом і визначає його поведінку в зовнішньому магнітному полі. Величина р_m дорівнює добутку сили струму І в контурі на площу S цього контура, рm = IS. (Якщо контур має N витків, то магнітний момент струму: р_m = ISN.)

Напрямок вектора магнітного моменту струму визначається за правилом свердлика (правого гвинта): якщо гвинт обертати за напрямком струму в контурі, то поступальний рух гвинта покаже напрямок вектора р_m. Як ми зазначали раніше, нормаль до рамки й вектор р_m можуть збігатися.

Тепер вираз для обертального моменту можна записати так: або M = Bp_m sin α, де α — кут між векторами (мал. 69, а).

Мал. 69. Значення обертального моменту

З малюнка 69 (с. 79) видно, що рівновага контура в магнітному полі можлива тоді, коли вектори напрямлені по одній прямій. Зрозуміло, що стійкою вона буде в разі, коли напрямки векторів збігаються. Якщо змінити напрямок струму на протилежний, то повний обертальний момент, як і раніше, буде дорівнювати нулю, і рамка залишиться нерухомою: сили, що на неї діють, уже будуть лише стискати її з усіх сторін. Однак, такий стан рамки зі струмом у магнітному полі є нестійким, тому що за найменшого повороту рамки виникнуть сили, які прагнуть повернути її на 180°.

Дія магнітного поля на провідник зі струмом лежить в основі принципу роботи електровимірювальних приладів. Детальніше про це прочитайте в електронному додатку.

Таким чином, поведінка рамки в магнітному полі стає зрозумілою: якщо відхилити рамку від положення стійкої рівноваги та відпустити, то рамка буде здійснювати коливання. Але якщо спромогтися змінювати напрямок струму в потрібні моменти, то замість коливань отримаємо безперервне обертання. Обертання рамки зі струмом у магнітному полі використовують в електричних двигунах.

В однорідному магнітному полі замкнений контур зі струмом магнітні сили можуть лише повернути. Якщо поле неоднорідне (мал. 70), то контур зі струмом може рухатися ще й поступально під дією незрівноважених сил поля в бік, де індукція поля більша за модулем.

Мал. 70. Рамка в неоднорідному магнітному полі

Рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі. Голландський учений Гендрік Лоренц пояснив існування сили Ампера тим, що магнітне поле діє на рухомі заряди в провіднику зі струмом. Оскільки ці заряди вирватися з провідника не можуть, загальна сила, яка діє на них, прикладена до всього провідника. Таким чином, сила Ампера є сумою сил, які діють на вільні заряди в провіднику зі струмом. Це припущення дає змогу визначити силу, що діє на один рухомий заряд у магнітному полі. Цю силу називають силою Лоренца.

Сила Лоренца Fл — сила, що діє з боку магнітного поля на рухому заряджену частинку.

Одержимо вираз для визначення сили Лоренца з виразу для сили Ампера, підрахувавши кількість рухомих заряджених частинок у провіднику. Нехай N — загальна кількість вільних зарядів у провіднику зі струмом. У металі такими зарядами є електрони і, як відомо, I = vneS, де е — заряд електрона, v — модуль швидкості його руху, S — площа поперечного перерізу провідника, n — концентрація вільних електронів.

Тоді Ураховуючи, що nV = N, отримуємо вираз для обчислення сили Лоренца Fл = eBv sin α, тут α — кут між векторами швидкості та індукції

У загальному випадку (для довільних заряджених частинок) вираз для обчислення сили Лоренца має вигляд Fл = qBv sin α, де q — електричний заряд частинки.

Напрямок сили Лоренца визначають за правилом лівої руки (мал. 71). Застосовуючи його, слід пам’ятати, що коли в магнітному полі рухається позитивно заряджена частинка, то чотири пальці треба спрямувати в бік її руху, якщо ж рухається негативно заряджена частинка, то витягнуті чотири пальці треба спрямувати проти вектора швидкості.

Мал. 71. Визначення напрямку сили Лоренца

Оскільки сила Лоренца перпендикулярна векторам а отже, напрямку переміщення частинки, вона не виконує роботи й не може змінювати кінетичну енергію частинки. Сила Лоренца лише викривляє траєкторію руху частинки, тобто є доцентровою силою. Припустимо, що заряджена частинка, заряд якої q і маса m, влітає зі швидкістю в однорідне магнітне поле з індукцією (мал. 72, а). (Крапки на малюнку вказують на те, що лінії магнітної індукції перпендикулярні до площини сторінки й напрямлені до читача.)

Під час руху зарядженої частинки в неоднорідному магнітному полі змінюється не тільки напрямок, а й величина сили Лоренца, тому траєкторія руху частинки може бути дуже складною.

Після того як довели, що магнітна взаємодія тісно пов’язана з електричним струмом, французький учений Андре Ампер висунув гіпотезу, що магнітні властивості речовини можна пояснити існуванням електричних струмів (руху заряджених частинок) усередині кожного атома речовини.

Про використання сили Лоренца в техніці читайте в електронному додатку.

Про магнітні властивості речовини й приклади їх використання читайте в електронному додатку.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Від чого залежить модуль сили Ампера? Як визначити її напрямок? 2. Виведіть формулу для визначення моменту сил, що діють на рамку зі струмом з боку магнітного поля. За якого положення рамки момент сил: дорівнює нулю; є максимальним? 3. Прискорена заряджена частинка влітає першого разу в поперечне електричне поле, другого разу — у поперечне магнітне поле. Поля протяжні й частинка не вилітає за їх межі. Якими будуть траєкторії частинки в кожному випадку?

Приклади розв’язування задач

Задача 2. Йони двох ізотопів Калію масами 39 і 41 а.о.м., одержавши кінетичну енергію в електричному полі, влітають в однорідне магнітне поле з індукцією 0,16 Тл перпендикулярно до ліній індукції. Визначте, на скільки будуть відрізнятися радіуси траєкторій йонів ізотопів у магнітному полі, якщо їх рух відбувається у вакуумі, заряд кожного йона дорівнює 1,6 · 10 -19 Кл, а в електричному полі всі йони проходять різницю потенціалів 500 В.

1. По горизонтально розташованому провіднику завдовжки 20 см і масою 4 г проходить струм силою 10 А. Визначте індукцію (модуль і напрямок) магнітного поля, у якому треба розмістити провідник, щоб сила тяжіння зрівноважилася силою Ампера.

2. Провідник ab, що має довжину l і масу m, підвісили на тонких дротинках. По провіднику пропустили струм I, і він відхилився в однорідному магнітному полі (мал. 73) так, що дротинки утворили кут α з вертикаллю. Визначте індукцію магнітного поля. Якщо є можливість, визначте в такий спосіб середню індукцію магнітного поля підковоподібного магніту.

3. Максимальний обертальний момент, який діє на рамку площею 1 см 2 , розміщену в магнітному полі, дорівнює 2 мкН · м. Сила струму в рамці дорівнює 0,5 А. Визначте індукцію магнітного поля.

4. Плоска прямокутна котушка зі сторонами 10 і 5 см, що має 200 витків, перебуває в однорідному магнітному полі з індукцією 0,05 Тл. Який максимальний обертальний момент може діяти на котушку в цьому полі, якщо сила струму в котушці 2 А?

5. Визначте магнітний момент електрона атома Гідрогену, що рухається по коловій орбіті радіусом 0,53 · 10 -10 м навколо ядра.

6. В однорідне магнітне поле з індукцією 0,085 Тл влітає електрон зі швидкістю напрямленою перпендикулярно до ліній магнітної індукції. Визначте силу, яка діє на електрон в магнітному полі, і радіус дуги кола, по якій він рухається. Рух відбувається у вакуумі.

7. Протон та електрон влітають в однорідне магнітне поле з однаковою швидкістю, перпендикулярною до ліній індукції. У скільки разів радіус кривизни траєкторії протона більший за радіус кривизни траєкторії електрона?

8. Електрон, влітаючи в однорідне магнітне поле під кутом 60° до ліній магнітної індукції, рухається по спіралі діаметром 10 см з періодом обертання 6 · 10 -5 с. Визначте швидкість руху електрона, магнітну індукцію поля і крок спіралі.

9. Електрон рухається в магнітному полі, індукція якого 2 мТл, по гвинтовій лінії радіусом 2 см, крок якої 5 см. Визначте швидкість руху електрона.

10. Однорідні електричне і магнітне поля розташовані взаємно перпендикулярно. Напруженість електричного поля становить а індукція магнітного поля — 1 мТл. Якими мають бути напрямок і значення швидкості електрона, щоб траєкторія цього руху була прямолінійною?

Виконуємо навчальні проекти

• Роль магнітосфери в еволюції Землі.

• Вплив магнітного поля на організми.

§ 15. Дія магнітного поля на рухому заряджену частинку

Рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі. Голландський учений Гендрік Лоренц пояснив існування сили Ампера тим, що магнітне поле діє на рухомі заряди в провіднику зі струмом. Оскільки ці заряди вирватися з провідника не можуть, загальна сила, яка діє на них, прикладена до всього провідника. Таким чином, сила Ампера є сумою сил, які діють на вільні заряди в провіднику зі струмом. Це припущення дає змогу визначити силу, що діє на один рухомий заряд у магнітному полі. Цю силу називають силою Лоренца.

Сила Лоренца F_Л — сила, що діє з боку магнітного поля на рухому заряджену частинку.

Одержимо вираз для визначення сили Лоренца з виразу для сили Ампера, підрахувавши кількість рухомих заряджених частинок у провіднику. Нехай N — загальна кількість вільних зарядів у провіднику зі струмом. У металі такими зарядами є електрони і, як відомо, I = vneS, де е — заряд електрона, V — модуль швидкості його руху, S — площа поперечного перерізу провідника, n — концентрація вільних електронів.

Ураховуючи, що nV = N, отримуємо вираз для обчислення сили Лоренца F_Л = eBv sin α, тут α — кут між векторами швидкості

У загальному випадку (для довільних заряджених частинок) вираз для обчислення сили Лоренца має вигляд F_Л = qBv sin α, де q — електричний заряд частинки.

Напрямок сили Лоренца визначають за правилом лівої руки (мал. 81, с. 74). Застосовуючи його, слід пам’ятати, що коли в магнітному полі рухається позитивно заряджена частинка, то чотири пальці треба спрямувати в бік її руху, якщо ж рухається негативно заряджена частинка, то витягнуті чотири пальці треба спрямувати проти вектора швидкості.

Оскільки сила Лоренца перпендикулярна векторам

а отже, напрямку переміщення частинки, вона не виконує роботи й не може змінювати кінетичну енергію частинки; вона лише викривляє траєкторію руху частинки, тобто є доцентровою силою. Припустимо, що заряджена частинка, заряд якої q та маса m, влітає зі швидкістю

в однорідне магнітне поле з індукцією

(мал. 82, а). (Крапки на малюнку вказують на те, що лінії магнітної індукції перпендикулярні до площини сторінки й напрямлені до читача.)

Мал. 81. Визначення напрямку сили Лоренца

У цьому разі заряд рухатиметься по колу радіусом

Якщо швидкість частинки напрямлена під кутом α до ліній індукції, то заряд рухатиметься по гвинтовій траєкторії навколо ліній індукції поля (мал. 82, б). Вектор

можна розкласти на складові

(перпендикулярно до ліній індукції).

визначає радіус витка r, а

з часом не змінюється (у цьому напрямку не діє сила). Якщо заряджена частинка зробить один виток протягом часу Т, то вздовж лінії індукції за цей час вона зміститься на відстань

а h є кроком гвинтової лінії.

Під час руху зарядженої частинки в неоднорідному магнітному полі змінюється не тільки напрямок, а й величина сили Лоренца, тому траєкторія руху частинки може бути дуже складною.

Використання сили Лоренца в техніці. Рух заряджених частинок в однорідних магнітних полях використовують у багатьох пристроях, зокрема в мас-спектрометрах — пристроях для визначення мас заряджених частинок (йонів, ядер різних атомів та ін.).

Мал. 83. Схема мас-спектрометра

Принципову схему мас-спектрометра наведено на малюнку 83. Проходячи крізь спеціальні отвори, йони, що вилітають із джерела S, формуються у вузький пучок. Далі вони потрапляють у селектор швидкостей, де рухаються у схрещених однорідних електричному та магнітному полях. Електричне поле створюється між пластинами плоского конденсатора, магнітне — між полюсами електромагніту. Початкова швидкість

заряджених частинок напрямлена перпендикулярно до векторів

На частинку, що рухається у схрещених електричних полях, діє електрична сила

За умови рівноваги сил, qЕ = рυВ, частинка буде рухатися рівномірно й прямолінійно зі швидкістю

Далі частинки з однаковими за значенням швидкостями влітають у камеру мас-спектрометра, у якому створене однорідне магнітне поле з індукцією

У цьому полі частинки рухаються під дією сили Лоренца, траєкторією їх руху є дуга кола радіусом

Вимірюючи радіуси кривизни траєкторії руху і знаючи значення υ та В’, можна визначити відношення

Сучасні мас-спектрометри дають змогу визначити маси заряджених частинок з високою точністю. За їх допомогою можна розділити пучок ізотопів, оскільки вони мають однаковий заряд, але різне масове число.

Дуже важливе значення для розвитку ядерної фізики та фізики елементарних частинок мають прискорювачі частинок. Так називають установки, в яких заряджені частинки розганяються до великих швидкостей, що наближаються за своїм значенням до швидкості світла (а отже, і до великих енергій). Пучками заряджених частинок великих енергій бомбардують атомні ядра, щоб дослідити їхню структуру, розкрити природу ядерних сил, виявити нові частинки, що народжуються в реакціях під час взаємодії частинок високих енергій.

Є кілька типів прискорювачів, які умовно можна поділити на дві групи: І — прискорювачі, де заряджені частинки рухаються тільки в електричному полі; ІІ — прискорювачі, де заряджені частинки рухаються в електричному й магнітному полях.

У прискорювачах І групи на заряджені частинки діє або стала різниця потенціалів (електростатичний прискорювач), або змінна, яка по черзі прикладається до двох сусідніх циліндричних електродів, осі яких розміщені вздовж однієї прямої лінії (лінійний прискорювач із синхронізованою змінною напругою). Схему лінійного прискорювача відображено на малюнку 84.

Мал. 84. Схема лінійного прискорювача

Зростання енергії частинок, що вилітають з інжектора Д (пристрою, де утворюються прискорювані частинки), відбувається в момент проходження ними прискорюючих щілин — проміжків між циліндричними електродами. Такі прискорювачі розганяють частинки до енергії в десятки ГеВ. Довжина прискорювача — близько 3 км.

У прискорювачах ІІ групи заряджені частинки рухаються не по прямій лінії, а по розбіжній спіралі. Тому їх називають циклотронами. Вперше циклотрон було сконструйовано в 1932 р. Ернестом Лоуренсом (1901-1958) у Каліфорнійському університеті для прискорення протонів та йонів. Оскільки сила Лоренца, що діє на частинку, як було зазначено, не може змінювати її кінетичну енергію, прискорити заряджену частинку за допомогою сталого магнітного поля неможливо. Тому в циклотронах, як і в лінійних прискорювачах, енергія заряджених частинок зростає тільки за рахунок роботи, яку виконує змінне електричне поле на певних ділянках траєкторії частинок, а магнітне поле лише викривляє траєкторію прискорюваних частинок, змушуючи їх рухатись не вздовж прямої лінії, а по дугах кіл різних радіусів, на які можна поділити розбіжну спіраль. Завдяки цьому розміри вакуумної камери, у якій відбувається прискорення частинок, у кілька десятків разів менші, ніж у лінійного прискорювача такої само енергії.

Мал. 85. Будівля синхротрону. Франція

На малюнку 85 показано загальний вигляд будівлі синхротрону.

Якщо в прискорювачі змінюється тільки частота, а індукція залишається сталою, то його називають синхротроном. Прискорювач, у якому циклотронна частота залишається сталою, а змінюється індукція магнітного поля, називається фазотроном.

Сучасний прискорювач на зустрічних пучках — колайдер (від англ. collide — зіткнути) — це система з двох прискорювачів заряджених частинок, у якій два пучки прискорюють назустріч один одному. Найбільший у світі прискорювач елементарних частинок — Великий адронний колайдер (мал. 86), створений у Європейському центрі ядерних досліджень (CERN). Прискорювач пролягає в тунелі (у формі тора радіусом 27 км) на глибині до 175 м під землею на кордоні Франції та Швейцарії. Призначений для прискорювання адронів, зокрема протонів і важких йонів.

Мал. 86. Великий адронний колайдер

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Прискорена заряджена частинка влітає першого разу в поперечне електричне поле, другого разу — у поперечне магнітне поле. Поля протяжні й частинка не вилітає за їх межі. Якими будуть траєкторії частинки в кожному випадку? 2. Поясніть, чому світіння у верхніх шарах атмосфери (полярне сяйво), зумовлене корпускулярним випромінюванням Сонця, спостерігається переважно у приполярних широтах.

Приклади розв’язування задач

Задача 2. Йони двох ізотопів Калію масами 39 і 41 а.о.м., одержавши кінетичну енергію в електричному полі, влітають в однорідне магнітне поле з індукцією 0,16 Тл перпендикулярно до ліній індукції. Визначте, на скільки будуть відрізнятися радіуси траєкторій йонів ізотопів у магнітному полі, якщо їх рух відбувається у вакуумі, заряд кожного йона дорівнює 1,6 • 10 -19 Кл, а в електричному полі всі йони проходять різницю потенціалів 500 В.

• 1. Визначте магнітний момент електрона атома Гідрогену, що рухається по коловій орбіті радіусом 0,53 • 10 -10 м навколо ядра.
• 2. В однорідне магнітне поле з індукцією 0,085 Тл влітає електрон зі швидкістю 4,6 • 10 7 м/с, напрямленою перпендикулярно до ліній магнітної індукції. Визначте силу, яка діє на електрон в магнітному полі, і радіус дуги кола, по якій він рухається. Рух відбувається у вакуумі.
• 3. Протон та електрон влітають в однорідне магнітне поле з однаковою швидкістю, перпендикулярною до ліній індукції. У скільки разів радіус кривизни траєкторії протона більший за радіус кривизни траєкторії електрона?
• 4. Електрон, влітаючи в однорідне магнітне поле під кутом 60° до ліній магнітної індукції, рухається по спіралі діаметром 10 см з періодом обертання 6 • 10 -5 с. Визначте швидкість руху електрона, магнітну індукцію поля і крок спіралі.
• 5. Електрон рухається в магнітному полі, індукція якого 2 мТл, по гвинтовій лінії радіусом 2 см, крок якої 5 см. Визначте швидкість руху електрона.
• 6. Однорідні електричне та магнітне поля розташовані взаємно перпендикулярно. Напруженість електричного поля становить 1 кВ/м , а індукція магнітного поля 1 мТл. Якими мають бути напрямок і значення швидкості електрона, щоб траєкторія цього руху була прямолінійною?

Виконуємо навчальні проекти

• Роль магнітосфери в еволюції Землі.
• Магнітні поля у Всесвіті.
• Вплив магнітного поля на організми.