Скільки існує цифр?

Математика – область абстрактних знань. Але, незважаючи на це, ми автоматично не помічаємо, що багато чого, що вивчає ця наука, супроводжує нас щодня. Ось, наприклад, безліч чисел, цифр. Ми щодня стикаємося з ними, вважаючи гроші в магазині, дізнаючись час, читаючи свіжу газету, слухаючи диктора теленовин . Напевно, кожен у дитинстві гадав над питанням, скільки існує цифр і чисел, чим вони один від одного відрізняються. Спробуємо знайти відповіді.

Отже, почнемо з головних понять: цифра і число.

Число – це абстракція, використовувана для опису кількості. Цифра – це знаки, що застосовуються для запису чисел. Щоб пояснити більш зрозуміло, проведемо паралель з алфавітом і словами. Літери можна розглядати як “цеглинки” з яких будується слово, а саме слово – як спосіб опису предмета і т.п. Букви подібні цифрам, а слова – числам.

Скільки ж існує цифр? А скільки є чисел?

Прийнято, цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називати арабськими. Як бачимо, їх десять.

Зараз ці цифри використовуються в більшості країн для запису чисел у десятковій системі числення (далі СС). Системою числення будемо називати правила, за якими записуються числа за допомогою цифр.

Інша справа, якщо ми будемо розглядати, наприклад, шестнадцатеричную СС. У ній використовуються 16 знаків для запису чисел: 0, 1..9, A, B, C, D, E, F. Всі вони теж називаються цифрами, але в іншій СС. І числа в такій системі можуть виглядати для нас незвично: 1AF, C5 та ін. Але ці записи знайомі, наприклад, програмістам, тому ця СС використовується при кодуванні інформації на комп’ютері.

Ось ще приклад, римська система числення. Її цифри: I, V, X, L, C, D, M. Всього їх 7. Числа, утворені цими цифрами, ми часто зустрічаємо в підручниках історії, біографії знаменитостей, на циферблаті годинника. Наприклад, число XI означає 11.

Тому, на питання, скільки існує цифр, певної відповіді немає. Але якщо розглядати звичну нам десяткову СС, то отримаємо відповідь 10.

А скільки існує чисел? Однозначна відповідь – нескінченно безліч. Так як, візьми будь-яке число, яке здається нам більше за всіх інших, і додай до нього хоча б одиницю, отримаємо число, більше колишнього. А адже існують ще негативні числа, дроби, ірраціональні і комплексні числа та ін.

Також вирішується питання, скільки існує натуральних чисел? Достатньо знати, що це числа, застосовувані для підрахунку предметів (стільці, люди та ін.) А так як предметів може бути нескінченно багато, то і числа, що позначаються їх кількість, також не мають меж.

Інше питання, скільки існує чисел, назви яких відомі? Зараз на просторах Інтернету можна знайти перелік таких назв. У повсякденній практиці ми більше користуємося такими: одиниці (цифри), десятки (10 – 99), сотні (100 – 999), тисячі, мільйони. Всі інші назви ми використовуємо вкрай рідко. Чи часто Ви чули, щоб людина згадував у своїй промові число квадрілліон? Ні? А це всього лише число з 16 цифр.

Скільки існує двозначних чисел?

Двозначне число складається з 2 знаків або двох цифр. Причому, на першому місці в записі такого числа не може стояти цифра 0, т.к. в цьому випадку ми відразу отримуємо однозначне число або цифру: 05 = 5. Скільки існує цифр, ми вже знаємо. Всі двозначні числа можна отримати шляхом перебору всіляких комбінацій з двох цифр. Але це досить обтяжлива заняття. Можна поступити набагато простіше. Візьмемо найменше тризначне число, це 100. Усі числа, менші його, будуть однозначними або двозначними. Тоді всього чисел до 100, включаючи нуль, 100 (0-99). Цифр 10, тоді двозначних чисел 100-10 = 90. Отже, існує 90 двозначних чисел.

Аналогічно вирішуються завдання по типу, скільки існує тризначних чисел, або ж скільки існує чотиризначних чисел. Для цього подивимося на таблицю нижче, де також можна знайти відповідь на питання, скільки існує п’ятизначних чисел.

Скільки існує n-значних чисел

НМТ 2023. Завдання з комбінаторики

Пропонуємо окремі завданння з комбінаторики, що пропонувалися на тестуванні у 2023, а також їх розв’язання.

Для повторення теоретичних аспектів радимо спочатку ознайомитися з теоретичними матеріалами, опублікованими на сайті:

Варто звернути увагу на той факт, що завдання з комбінаторики, які пропонувалися під час НМТ у 2023, були переважно на властивості комбінацій, їх суми та добутку. Застосовувалася основна формула:

Розглянемо окремі приклади завдань:

1. Для перевезення учасників змагань потрібно замовити 1 автобус або 2 мікроавтобуси. Скільки всього варіантів вибору за умови наявності 8 автобусів та 6 мікроавтобусів?

Варіантів вибору 1 автобуса з 8- вісім, для знаходження кількості варіантів вибору 2 мікроавтобусів з 6 застосуємо формулу комбінацій:

Оскільки маємо одночасне виконання двох умов, то для знаходження загальної кількості варіантів оберемо правило добутку:

2. Переможцю олімпіади подарують 5 книг ( 2 довідники та 3 художні). Скільки можливих варіантів для створення подарунку, якщо є 8 довідників і 10 художніх книг?

Для розв’язання задачі перемножимо кількість комбінацій з 8 по 2 ( кількість виборів довідників) на кількість комбінацій 3 з 10 ( вибори художніх кіниг):

3. До фіналу творчого конкурсу увійшли 5 співаків та 12 музичних груп. Для участі у благодійному концерті планують залучити 1 співака та 2 музичні групи із фіналістів конкурсу. Скільки всього є варіантів вибору?

Скористаємося правилом множення кількості комбінацій:

4. У квітковому магазині є 12 білих та 26 червоних троянд. Покупець вибирає у цьому магазині дві білі та одну червону троянди. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Оскільки вибор здійснюється одночасно, застосовуємо правило добутку кількості комбінацій з 12 по 2 ( білі троянди) та 1 з 26:

5. На сайті магазину пропонують дивани 10 видів і крісла 15 видів українського виробництва, а також 8 видів імпортних комплектів з дивана та 2 однакових крісел. Скільки всього є варіантів вибору в цьому магазині дивана та 2 крісел одного виду, якщо меблі з комплекту не можна продавати окремо?

Маємо виконання таких умов: 8 імпортних комлектів та добуток комбінацій 1 дивану з 10 та крісел з 15 видів ( неважливо, що їх два, бо крісла повинні бути одного виду). В результаті загальна кількість виборів дорівнює:

6. З чотирьох хлопців та чотирьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів цього вибору?

Враховуємо, що загальна кількість учасників 4, але кількість хлопців та кількість дівчат може коливатися відповідно від 0 до 4. Тобто маємо такі випадки:

Загальна кількість варіантів дорівнює сумі всіх випадків:

Із більшою кількістю завдань можна познайомитися на сайті zno.osvita.ua у розділі: