Теорема Піфагора: Класична Краса Геометрії

Теорема Піфагора – одна з найвідоміших і найфундаментальніших теорем у математиці. Ця теорема відкриває перед нами чудовий світ зв’язку між довжиною сторін трикутника і його геометричною структурою. Теорема має багато застосувань в різних галузях науки, техніки та інженерії, і водночас, є однією з найпростіших у своєму сформульованому вигляді.

Формулювання теореми:

Теорема Піфагора стверджує, що в прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Математично, якщо у прямокутному трикутнику зі сторонами a, b та гіпотенузою c (найбільшою стороною), тоді теорема Піфагора формулюється так:

Історія та походження теореми:

Теорема Піфагора отримала своє ім’я на честь стародавньогрецького математика Піфагора, який жив у 6-5 століттях до нашої ери. Хоча його ім’я пов’язане з цією теоремою, є деякі докази на те, що теорема Піфагора була відома ще до часів стародавньих цивілізацій, таких як вавилоняни та індуси.

Перші записи теореми Піфагора знайдені на вавилонських глиняних дощечках, які були виготовлені приблизно у 1900 р. до н.е. У цих записах висловлювалася співвідношення між довжинами сторін трикутників, але сама теорема Піфагора була сформульована ще більше тисячі років тому у стародавній Месопотамії.

Доказ теореми:

Існує безліч способів довести теорему Піфагора, однак, один із найпоширеніших та найбільш інтуїтивно зрозумілих – геометричний доказ. Припустимо, ми маємо прямокутний трикутник ABC, де сторони AB і BC є катетами, а сторона AC – гіпотенузою.

Ми будемо будувати квадрати на кожній стороні трикутника. Сторона квадрата, який побудований на гіпотенузі, буде дорівнювати c 2 , сторони квадратів, що побудовані на катетах, будуть дорівнювати a 2 і b 2 відповідно. Тоді ми побачимо, що площа квадрату на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів на катетах.

Отже, справді, c 2 = a 2 + b 2 , що і підтверджує теорему Піфагора.

Застосування теореми:

Теорема Піфагора знаходить своє застосування в багатьох галузях, таких як геодезія, фізика, інженерія, архітектура, комп’ютерна графіка та інше. Вона дозволяє розраховувати відстані між двома точками, кут наклона нахилу площадок, довжини діагоналей у прямокутних фігурах та багато іншого.

Теорема Піфагора – це класичний приклад того, як математика може знаходити своє застосування в реальному світі та допомагати вирішувати різноманітні завдання і проблеми. Вона залишається невичерпним джерелом вивчення та дослідження для студентів, науковців і любителів математики у всьому світі.

Практика:
Ось п’ять задач на застосування теореми Піфагора:

1. Задача про сходи: Людина йде по сходах на верхній поверх будівлі. Перші три сходинки висотою 40 см, наступні чотири – 30 см, а останні п’ять – 20 см. Яка буде загальна відстань, яку вона подолає, пройшовши всі сходинки?
2. Задача про трикутник і мачту: Висота мачти, яка стоїть на півострові, дорівнює 50 м. Якщо від ноги мачти до протилежного кінця півострова відстань 120 м, то яка довжина мачти?
3. Задача про дроти та стовпи: У саду висадили нові яблуні. Щоб захистити їх від ворожих тварин, потрібно навколо саду поставити паркан. Довжина саду 60 м, ширина 40 м. Яка максимальна довжина дроту, який можна купити, щоб поставити паркан навколо саду по його межі?
4. Задача про кабель-канал: Інженери планують провести кабель-канал вздовж стін коридору. Довжина коридору 20 м, ширина 3 м. Яка довжина кабель-каналу буде потрібна, щоб викласти його вздовж стін по всьому периметру коридору?
5. Задача про висоту дерева: Для вимірювання висоти дерева, два спостерігачі віддаликуються від дерева на відстань 50 м і 70 м. Після цього вони одночасно вимірюють кути між гілками дерева і лініями спостереження, вони виявили, що кути складають 30° та 45° відповідно. Яка висота дерева?

Для вирішення цих задач, застосуйте теорему Піфагора та відповідно обчисліть довжини сторін або гіпотенуз. Вони допоможуть вам знайти відповіді на поставлені питання.

Інстаграм: https://www.instagram.com/math.wise/
ТікТок: https://www.tiktok.com/@math.wise
YouTube: https://www.youtube.com/channel/UC43lnBg_DPdb9WsOEGuIbQg

Долучитись до телеграм каналу:

Теорема Піфагора: формула, історія, доведення

Теорема Піфагора – важлива тема в математиці, яка пояснює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Сторони прямокутного трикутника також називають піфагорійськими катетами. Формула і доведення цієї теореми пояснюється тут на прикладах.

Теорема Піфагора в основному використовується для знаходження довжини невідомої сторони і кута трикутника. За цією теоремою можна вивести формули основи, перпендикуляра та гіпотенузи. Давайте детально вивчимо математику теореми Піфагора тут.

Теорема Піфагора – визначення

Теорема Піфагора стверджує: “У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших катетів”. Сторони цього трикутника називаються перпендикуляром, основою та гіпотенузою.

Тут гіпотенуза є найдовшою стороною, оскільки вона протилежна до кута 90°. Сторони прямокутного трикутника (скажімо, a, b і c), які мають натуральні значення при піднесенні до квадрата, складають рівняння, яке також називають піфагорійським трикутником.

Історія Теореми Піфагора

Теорема названа на честь грецького математика Піфагора.

Історія Теореми Піфагора – Плімптон 322 | Photo: https://scientificgems.wordpress.com

Теорема Піфагора була вперше відома в стародавньому Вавилоні та Єгипті (починаючи приблизно з 1900 року до нашої ери). Співвідношення було зображено на вавилонській табличці віком 4000 років, відомій зараз як Плімптон 322. Однак цей зв’язок не був широко розрекламований, доки Піфагор не сформулював його явно.

Теорема Піфагора: формула

Розглянемо трикутник, наведений вище:

Згідно з означенням, формула теореми Піфагора має вигляд:

Гіпотенуза 2 = перпендикуляр 2 + основа 2
c 2 = a 2 + b 2

Гіпотенуза 2 = перпендикуляр 2 + основа 2

c 2 = a 2 + b 2

Сторона, протилежна прямому куту (90°), є найдовшою стороною (відомою як гіпотенуза), оскільки сторона, протилежна найбільшому куту, є найдовшою.

Теорема Піфагора: формула, історія, доведення

Розглянемо три квадрати зі сторонами a, b, c, встановлені на трьох сторонах трикутника з однаковими сторонами, як показано на рисунку.

Площа квадрата “a” + Площа квадрата “b” = Площа квадрата “c”

Приклади застосування теореми Піфагора для прямокутних трикутників:

Розглянемо прямокутний трикутник, як показано нижче:

X – сторона, протилежна прямому куту, отже, вона є гіпотенузою.

Тепер, за відомою нам теоремою;

Гіпотенуза 2 = основа 2 + перпендикуляр 2

x 2 = 3 2 + 4 2

x 2 = 9+16= 25

Отже, значення x дорівнює 5.

Враховуючи її довгу історію, існує безліч доведень (понад 350) теореми Піфагора, можливо, більше, ніж будь-якої іншої теореми математики. Ось доведення від самого Піфагора.

• Дано довільний прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c,
• Побудуйте квадрат зі сторонами a+b, як показано нижче:

• В результаті утворюється квадрат в центрі зі стороною c і, таким чином, площею c 2

• Однак, якщо ми переставимо чотири трикутники наступним чином в середині квадрата, то побачимо два квадрати всередині більшого квадрата, а саме перший площею а 2 , а другий – площею b 2

• Оскільки більший квадрат має однакову площу в обох випадках, тобто (a+b) 2
• а оскільки чотири трикутники також однакові в обох випадках, то треба зробити висновок, що два квадрати a 2 і b 2 фактично дорівнюють за площею більшому квадрату c 2

Отже, теорему Піфагора доведено.

Зауваження: теорема Піфагора стосується лише прямокутних трикутників.