Гіпотенуза прямокутного трикутника – формула та приклади

Гіпотенуза прямокутного трикутника – це сторона, протилежна куту 90 градусів.

Зазначимо, що ми можемо обчислити гіпотенузу за допомогою теореми Піфагора. Ця теорема говорить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін трикутника. Отже, щоб отримати довжину гіпотенузи, нам потрібно мати довжини катетів.

В даному параграфі ми коротко, без доведення, розглянемо теорему Піфагора. Крім того, використаємо цю теорему, щоб розв’язати деякі задачі на знаходження довжини гіпотенузи.

Як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника?

Гіпотенуза – це найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона лежить навпроти прямого кута. Як зазначалося вище, якщо відома довжина обох катетів, то її розмір можна обчислити за теоремою Піфагора.

Нагадаємо, що теорема Піфагора говорить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін. До прикладу розглянемо прямокутний трикутник ABC, що міститься нижче:

У цьому трикутнику BC – гіпотенуза, оскільки це сторона, протилежна прямому куту. Таким чином, згідно з теоремою матимемо:

Якщо добути квадратний корінь з обох сторін, то отримаємо формулу гіпотенузи прямокутного триктуника:

Зауваження: якщо позначити довжини двох катетів трикутника (взаємно перпендикулярних сторін) буквами a і b, а довжину гіпотенузи – c, то формула гіпотенузи перепишеться у більш звичній буквенній формі:

Гіпотенуза прямокутного трикутника – приклади з відповідями.

Формула гіпотенузи прямокутного трикутника використовується для вирішення наступних прикладів. Для кожного прикладу є відповідне рішення, але, щоб потренуватися, рекомендуємо спробувати розв’язати вправи самостійно.

Приклад 1: чому дорівнює гіпотенуза прямокутного трикутника зі сторонами 3 см і 4 см?

Отже, за умовою маємо, що катети рівні 3 см та 4 см. Використовуючи ці значення у формулі гіпотенузи, будемо мати:

Звідси, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 5 см.

Приклад 2: знайти гіпотенузу прямокутного трикутника зі сторонами 6 см і 8 см.

Зазначимо, що у цьому випадку катети трикутника рівні 6 см та 8 см. Використовуючи ці значення у формулі гіпотенузи, матимемо:

Звідси, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см.

Приклад 3: знайти довжину діагоналі квадрата, сторони якого дорівнюють 10 см.

Тут ми повинні пам’ятати, що квадрат не тільки має всі сторони рівні, але і кожен з його внутрішніх кутів дорівнює 90°. Таким чином, діагональ квадрата ділить його на два рівні прямокутні трикутники, де діагональ є гіпотенузою.

Отже, скориставшись формулою гіпотенузи, ми можемо знайти довжину діагоналі BD:

Звідси, діагональ квадрата дорівнює 14.14 cм.

Приклад 4: гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть радіус описаного кола.

Зазначимо, що факт, який слід врахувати при рішенні даної задачі, полягає в тому, що гіпотенуза дорівнює діаметру кола, описаного навколо прямокутного трикутника. Отже, матимемо:

Звідси, радіус описаного кола дорівнює 6 см.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про прямокутний трикутник? Перегляньте ці сторінки:

1. Прямокутні трикутники

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони — катетами.

Користуючись ознаками рівності трикутників і теоремою про суму кутів трикутника, можна сформулювати ознаки рівності характерні тільки для прямокутних трикутників:

\(1.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за двома катетами
Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого прямокутного
трикутника, то такі трикутники рівні.

\(2.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом
Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету
й прилеглому до нього гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(3.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і протилежним кутом
Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й протилежному йому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(4.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою й гострим кутом
Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому
куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(5.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою й катетом
Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого
прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Катет прямокутного трикутника, що лежить навпроти кута 30 ° \(,\) дорівнює половині гіпотенузи (гіпотенуза удвічі довша від катета навпроти кута 30 ° ).