Самостійна робота “ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ”

Самостійна робота – добре відома форма контролю, яка дає можливість за короткий термін перевірити знання, уміння і навички всієї групи. Запропоновані самостійні роботи можуть замінити опитування по темі, їх доцільно проводити на початку уроку, адже вона розрахована зазвичай на 10-20 хв.

Тема:ЕЛЕМАНТИ теорії ймовірностей і математичної статистики

Тема: Перестановки, розміщення, комбінації. Розв ’ язування задач

Варіант 1 Варіант 2

Варіант 1 Варіант 2

вірогідної події. випадкової події.

Варіант 1 Варіант 2

Варіант 1 Варіант 2

неможливої події? вірогідної події?

Варіант 1 Варіант 2

хлопця і дівчину? цієї групи?

Варіант 1 Варіант 2

двох чергових? трьох чергових?

Варіант 1 Варіант 2

1. Класичне визначення ймовірності

Наприклад, попадання в певний об’єкт чи промах при стрільбі по цьому об’єкту з даної гармати є випадковою подією.

1. знайти число \(N\) всіма можливими результатами даного випробування;

2. знайти кількість \(N (A)\) тих фіналів випробування, в яких настає подія \(A\);

3. знайти частку N ( A ) N , вона і буде дорівнює ймовірності події \(A\)

З колоди \(36\) карт виймається одна карта. Яка ймовірність появи карти червової масті?
Розв’язок. Кількість елементарних подій (кількість карт) \(N = 36\). Подія \(A\) – поява карти червової масті. Число випадків, що сприяють появі події \(A\), \(N(A)=9\). Отже, P ( A ) = 9 36 = 1 4 = 0,25

Імовірністю події \(A\) при проведенні деякого випробування називають відношення числа тих результатів, у результаті яких настає подія \(A\), до загального числа усіх фіналів цього випробування.

Випробування з N наслідками

Множина з N елементів

Окремий результат випробування

Підмножина, що збігається з усією множиною

Частка елементів підмножини серед всіх елементів множини

Випадкові події називаються несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть з’явитися разом.

Якщо події \(A\) та \(B\) несумісні, тоді ймовірність того, що настане або \(A\) , або \(B\), дорівнює \(P(A) + P(B)\).

Для знаходження ймовірності протилежної події, треба від одиниці відняти ймовірність самої події: \(P( A ) = 1-P(A)\).

Але зустрічаються випробування і з нескінченною множиною фіналів. До них класична ймовірнісна схема вже непридатна.

Сформулюємо загальне правило для знаходження геометричних імовірностей.

Якщо площу \(S (A)\) фігури \(A\) поділити на площу \(S (X)\) фігури \(X\), яка цілком містить фігуру \(A\), тоді вийде ймовірність того, що точка, випадково обрана з фігури \(X\), виявиться в фігурі \(A\): P = S ( A ) S ( X )

Аналогічно роблять і з множинами на числовій прямій, і з просторовими тілами. Але в цих випадках площі слід замінити або на довжину числових множин, або на обсяги просторових тіл.

У прямокутник \(5×4\) cm 2 поміщено коло з радіусом \(1,5\) \(cm\). Яка ймовірність того, що точка, випадковим чином поставлена в прямокутник, виявиться всередині кола?

Розв’язок: за визначенням геометричній імовірності, шукана ймовірність дорівнює відношенню площі круга (в яку точка повинна потрапити) до площі прямокутника (в якій точка ставиться), тобто P = S кола S прямокутника = π ⋅ 1,5 2 5 ⋅ 4 = 0,353

Випадкова подія. Ймовірність випадкової події.

Випадкова подія. Ймовірність випадкової події. Урок алгебри у 9 класі. Підготувала: вчитель математики Диканського НВК імені М.В.Гоголя Яковенко О.М.

Математику багато люблять за її вічні істини: при множенні два на два – завжди чотири, сума непарних чисел непарна, а площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін.

Реальне життя не таке просте і однозначне. В оточуючому нас житті ми часто зустрічаємось з випадковими подіями: випадкова зустріч, випадкова знахідка, випадкова помилка, випадковий набір виграшних номерів у тиражі лотереї.

Кількість сонячних днів в даній місцевості змінюється з року в рік випадковим чином. Випадковість не дозволяє передбачувати навіть найближче майбутнє, не кажучи вже про більш далекі прогнози. А ще буває випадковість корисна, бажана, щаслива. А з поганими випадковостями людина завжди бореться.

Люди давно вже підмітили, що випадковість має свої властивості, тобто випадковість можна і потрібно досліджувати. Наука про випадковості має назву теорії імовірності.

Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (або досліду). Під випробуванням (або дослідом) розуміють ті умови, в результаті яких відбувається подія. Підкидання грального кубика можна вважати дослідом, експериментом ( навіть грою, забавою), а одержаний результат – ПОДІЄЮ. Під подією розуміють те, про що можна сказати, що воно відбувається або не відбувається.

Наприклад, підкидання грального кубика — випробування, поява 3-ох очок на верхній грані кубика — подія; запитання вчителя — випробування, неправильна відповідь учня — подія.

КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ Подія, яка обов’язково має відбутися в даному випробуванні, називається Вірогідною подією. Наприклад, підкидання грального кубика: поява цифр від 1 до 6, є вірогідною.

Подія, яка не може відбутися в даному випробуванні, називається неможливою подією. У нашому прикладі такою подією є: поява цифри 7.

Подія, яка може відбутися,а може і не відбутися в даному випробуванні називається Випадковою подією. Підкидання грального кубика: поява цифри 1 може наступити, а може і не наступити.

Подія, яка в результаті випробування не відбудеться ніколи, називається неможливою.

Подія, яка в результаті випробування може відбутися або не відбутися, називається випадковою.

Охарактеризуйте події, про які піде мова, як про вірогідні, випадкові чи неможливі. Мене завтра запитають на уроці Літом у меня будуть канікули Мені сьогодні зустрінеться чорна кішка День народження мого друга – число, менше за 32. Із шкільного вікна видно море Завтра буде неділя, якщо сьогодні субота. Вибрали навмання слово з підручника, і в ньому є буква о. Камінь, кинутий у воду, потоне. Коли ти станеш дорослим, тебе оберуть Президентом України. Наступний рік буде високосним

В урні є 4 білих і 7 чорних куль. З неї навмання виймають одну кулю. Яка з вказаних подій є Вийнята куля білого кольору Вийнята куля чорного кольору Вийнята куля зеленого кольору Вийнята куля чорного або білого кольору Випадкова Вірогідна Неможлива

Імовірністю випадкової події А називають відношення числа рівноможливих випадків, які сприяють події А, до числа всіх можливих випадків де n- загальна кількість рівноможливих випадків, m-число випадків, які сприяють події А.

Обчислення ймовірності події Якщо подія А – вірогідна, то Р(А) = 1 Якщо подія А – неможлива, то Р(А) = 0 Для ймовірності будь-якої події А має місце нерівність 0  Р(А)  1

Якщо при випробуванні може відбутися кілька подій і немає підстав вважати, що настання якої-небудь із них більш можливе, ніж настання інших, то такі події називають рівноможливими.

Виконаємо завдання Указати загальну кількість елементарних подій даного експерименту і кількість елементарних подій, які сприяють даній події: навмання називають натуральне двоцифрове число; подія А – назване число ділиться на 5; навмання беруть і фіксують букву з розрізної абетки; подія С – взята буква називається одним голосним звуком; картки з цифрами 1, 2, 3, 4, 5 перемішують, розкладають у ряд і фіксують утворене число; подія А – утворилося парне число; подія В – утворилося число кратне 3; подія С – утворилося число кратне 9;

Виконаємо завдання Указати, скільки елементарних подій сприяє даній події: поява на верхній грані грального кубика не менше 5 очок; навмання взята буква із повного набору абетки – голосна; навмання витягнута карта з повної гральної колоди містить зображення людини; при дворазовому підкиданні монети хоча б один раз випадало зображення герба;