Зміст:
Куб. Формули, ознаки та властивості куба
Куб (гексаедр) — це тривимірна фігура, яка складається з шести днакових квадратів так, що кожен квадрат повністю дотикається своїми чотирма сторонами до сторін інших чотирьох квадратів під прямим кутом. Куб є правильним багатогранником у якого грані утворені з квадратів. Також кубом можна назвати прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.
Означення. Грань куба – це частина площини, обмежена сторонами квадрату.
– кожна грань куба перетинається з чотирма іншими гранями під прямим кутом та паралельна шостій грані;
– грані мають однакову площу, яку можна знайт искориставшись формулами для площі квадрата.
Означення. Ребро куба – це відрізок, утворений перетином двох граней куба.
– кожен кінець ребра з’єднаний з кінцями двох сусідніх ребер під прямим кутом;
Означення. Вершина куба – це найвіддаленіша точка від центру куба, яка лежить на перетині трьох граней куба.
– кожна вершина утворена тільки трьома гранями та трьома ребрами.
Означення. Центр грані куба (O1) – це рівновіддалена точка від усіх ребер грані куба.
Означення. Центр куба (O) – це рівновіддалена точка від усіх граней куба.
Означення. Вісь куба ( i ) – це пряма, яка проходить через центр куба та цетри двох паралельних граней куба.
Означення. Діагональ куба ( d 1) – відрізок, який з’єднує протилежні вершини куба та проходить через центр куба.
– діагоналі куба перетинаються під прямим кутом та діляться навпіл у центрі куба;
Означення. Діагональ грані куба ( d 2) – відрізок, який з’єднує протилежні кути грані куба та проходить через центр грані куба.
Означення. Об’єм куба – це сукупність усіх точок в просторі, що обмежені гранями куба.
Означення. Площа поверхні куба – це сукупність площин усіх граней.
Означення. Периметр куба – це сукупність довжин всіх ребер куба.
Означення. Сферою вписаною в куб називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до центрів граней куба.
– всі шість граней куба є дотичними площинами до вписаної сфери;
Означення. Сферою описаною навколо куба називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до восьми вершин куба.
– радіус описаної сфери рівний половині довжини діагоналі ( d 1) куба.
Формула. Об’єму сфери описаної навколо куба V через довжину ребра a :
Властивості куба
1. В куб можна вписати тетраедр так, щоб всі чотири вершини тетраедра лежали на чотирьох вершинах куба, а всі шість ребер тетраедра лежатимуть на шести гранях куба і ребра будуть рівні діагоналі грані куба.
2. Куб описує октаедр так, що всі шість вершин октаедра лежать в центрах граней куба.
3. Октаедр описує куб так, щоб всі вісім вершин куба розташовані в центрах восьми граней октаедра.
Координати вершин куба
1. Координати вершин куба зі стороною a та вершиною D у початку декартової системи координат так, що ребра цієї вершини лежать на вісях координат:
A( a , 0, 0), B( a , a , 0), C(0, a , 0), D(0, 0, 0),
E( a , 0, a ), F( a , a , a ), G(0, a , a ), H(0, 0, a ).
2. Координати вершин куба з довжиною сторони 2 a , у якого центр куба розташований в початку декартової системи координат так, що ребра куба паралельні вісям координат:
A( a , – a , – a ), B( a , a , – a ), C(- a , a , – a ), D(- a , – a , – a ),
E( a , – a , a ), F( a , a , a ), G(- a , a , a ), H(- a , – a , a ).
Означення. Одиничний куб – це куб, у якого довжина ребер дорівнює одиниці.
Перетин куба площиною
1. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр куба та центри двох протилежних граней, то в перерізі буде квадрат довжина сторони, якого буде дорівнювати довжені ребра куба. Ця площина ділить куб два рівних прямокутних паралелепіпеда.
2. Якщо перетнути куб з ребром a площиною, яка проходить через центр куба та два паралельних ребра, то в перерізі буде прямокутник зі сторонами a і a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 2 . Ця площина ділить куб дві рівні призми.
3. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр та середини шести граней, то в перерізі буде правильний шестикутник зі стороною a √ 2 /2, площею перерізу a 2 (3√ 3 )/4. У куба одна з діагоналей (FC) кожної грані, що перерізаються, перпендикулярна до сторони шестикутника.
4. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через три вершини куба, то в перерізі буде правильний трикутник зі стороною a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 3 /2 та об’ємом більшої частини – 5 a 3 /6 та меншої – a 3 /6. Одна з діагоналей куба (EC) перпендикулярна до площини перерізу та проходить через центр трикутника (M) та ділиться площиною в выдношенні MC:EМ = 2:1.
Прямокутний паралелепіпед. Формули та властивості прямокутного паралелепіпеда
Основні властивості правильного прямокутного паралелепіпеда
Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда паралельні і рівні.
Ребра прямокутного паралелепіпеда, які сходяться в одній вершині взаємно перпендикулярні.
Не паралельні грані прямокутного паралелепіпеда перетинаються під прямим кутом.
Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою та перетинаються в одній точці.
Об’єм прямокутного паралелепіпеда
Формула. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку довжин його сторін:
Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда
Означення. Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається з суми площ прямокутників, що обмежують його.
Формула. Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда через довжини його сторін:
S = 2 a · b + 2 a · c + 2 b · c
Діагональ прямокутного паралелепіпеда
Означення. Діагональ прямокутного паралелепіпеда – це відрізок, який з’єднує дві не сусідні вершини, що лежать на різних гранях.
Формула. Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда через довжини його сторін:
d = √ a 2 + b 2 + c 2
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!
© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.
Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.
Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]