Постійна Больцмана: значення та фізичний зміст

Як точна кількісна наука, фізика не обходиться без набору дуже важливих постійних, що входять в якості універсальних коефіцієнтів рівняння, що встановлюють зв’язок між тими чи іншими величинами. Це фундаментальні константи, завдяки яким подібні співвідношення набувають інваріантність і здатні пояснювати поведінку фізичних систем на різному масштабі.

До числа таких параметрів, що характеризують властиві матерії Всесвіту властивості, відноситься і постійна Больцмана – величина, що входить у ряд найважливіших рівнянь. Однак перш ніж звертатися до розгляду її особливостей і значення, не можна не сказати кілька слів про вченого, чиє ім’я вона носить.

Людвіг Больцман: наукові заслуги

Один з найбільших вчених XIX століття, австрієць Людвіг Больцман (1844-1906) вніс істотний внесок у розвиток молекулярно-кінетичної теорії, ставши одним з творців статистичної механіки. Був автором ергодичної гіпотези, статистичного методу в описі ідеального газу, основного рівняння фізичної кінетики. Багато працював над питаннями термодинаміки (H-теорема Больцмана, статистичний принцип для другого початку термодинаміки), теорії випромінювання (закон Стефана – Больцмана). Також торкалися у своїх роботах деякі питання електродинаміки, оптики та інших розділів фізики. Його ім’я увічнено в двох фізичні константи, мова про яких піде нижче.

Людвіг Больцман був переконаним і послідовним прихильником теорії атомно-молекулярної будови речовини. Протягом багатьох років він змушений був боротися з нерозумінням і неприйняттям цих ідей в науковому співтоваристві того часу, коли багато фізики вважали атоми і молекули зайвої абстракцією, в кращому випадку умовним прийомом, службовцям для зручності розрахунків. Болісне захворювання і нападки консервативно налаштованих колег спровокували у Больцмана важку депресію, не винісши якої, видатний вчений покінчив з собою. На могильному пам’ятнику, над бюстом Больцмана, як знак визнання його заслуг, вибито рівняння S = k∙logW – один з результатів його плідної наукової діяльності. Константа k у цьому рівнянні – постійна Больцмана.

Постійна Больцмана – формула

Талановитий Людвіг Больцман – один з найвизначніших вчених XIX століття. Саме ця людина свого часу внесла колосальний внесок у розвиток молекулярно-кінетичної теорії.

Цілеспрямованість Больцмана призвела до того, що він став одним з головних засновників статичної механіки.

Людвіг був автором багатогранної ергодичної гіпотези, статистичного методу в докладному тлумаченні ідеального газу, який був заснований на рівнянні фізичної кінетики.

Больцман всі свої сили вклав у те, щоб громадськість могла більше дізнатися про термодинаміку. У підсумку він зміг вивести теорему, де детально описав статистичний принцип для другого початку термодинаміки.

Фізики високо цінують точку зору Больцмана, оскільки в результаті численних спроб він зміг описати теорію випромінювання. У своїх роботах він неодноразово порушував питання електродинаміки, оптики. Ім’я цього талановитого вченого було увічнено відразу в двох фізичних константах.

Свого часу Больцман був переконаним і послідовним прихильником теорії багатогранної атомно-молекулярної будови речовини.

Протягом багатьох років він був змушений боротися з нерозумінням і негативними відгуками щодо його робіт в науковому співтоваристві того часу. Більшість фізиків вважали, що молекули і атоми являють собою зайву абстракцію.

Колеги Больцмана були налаштовані досить консервативно, через що у талановитого Фізика виникла депресія, з якою він так і не зміг впоратися. Вчений наклав на себе руки.

На надгробному пам’ятнику в знак величезної вдячності до його заслуг було вибито рівняння

У цьому рівнянні константа k є добутком постійної Больцмана. Для вирішення завдань потрібно дотримуватися розмірність фізичної величини.

Основне співвідношення температури і енергії

Традиційна модель ідеального газу активно використовується для правильного розрахунку станів реального речовини при тисках і температурах, які близькі до нормальних показників.

У цьому випадку розмір молекули істотно менше обсягу, який зайнятий певною кількістю газу. А ось відстань між частинками істотно перевищує підсумковий радіус їх тісної взаємодії.

У кінетичній теорії чітко описані всі необхідні поняття рівняння. Для пошуку середньої енергії таких частинок прийнято використовувати наступну формулу:

Розшифровка виглядає наступним чином:

• Т – температура.
• Е – кінетична енергія.
• 3,2 * k — використовуваний коефіцієнт пропорційності.

У цьому випадку використовується число 3, яке характеризує кількість ступенів свободи поступального руху молекул в трьох просторових вимірах.

А ось величину k через деякий час назвали постійною Больцмана на честь австрійського Фізика. Цей термін покликаний показувати те, яку частину енергії або джоуля містить в собі один градус.

Значення константи визначає, наскільки саме може статистично збільшуватися енергія хаотичного руху одного фрагмента ідеального газу при підвищенні температури на 1°. Загальна енергія теплового випромінювання визначається законом Стефана-Больцмана.

Встановити залежність між константою та іншими фундаментальними постійними можна, прирівнявши величину середньої енергії молекул, знайдену різними способами.

Розподіл молекул статистичним чином

Учнів часто цікавить питання, чому дорівнює значення постійної Больцмана, оскільки цей напрямок має величезну цінність у фізиці.

Вченими було доведено, що стан речовини макроскопічного порядку являє собою конкретний результат поведінки величезної сукупності певних частинок, оскільки саме з їх допомогою можна описати всі існуючі сьогодні статистичні методи.

Для вирішення елементарних завдань обов’язково потрібно розібратися в тому, яким саме чином відбувається розподіл енергетичних параметрів молекул газу.

В цьому випадку слід врахувати кілька важливих нюансів:

• На практиці було доведено, що фізичний сенс постійної Больцмана обов’язково включає в себе своєрідне максвеллівський розподіл кінетичних швидкостей і енергій. Результат в повному обсязі відображає те, що коли газ перебуває в стані рівноваги, більшість молекул володіє певними швидкостями, близькими до деякої найбільш ймовірної швидкості. Для відображення маси молекули призначена певна формула: v = √(2kt / m0).
• Практикується застосування статистики больцмановського розподілу потенційних енергій для газів, що перебувають в полі будь-яких сил. Наприклад, гравітація на нашій планеті.
• Підсумковий показник багато в чому залежить від співвідношення відразу двох факторів: тяжіння до поверхні Землі, а також хаотичного теплового руху частинок газу. Це означає, що чим нижче буде потенційна енергія молекул, тим вище буде їх підсумкова концентрація.

Варто врахувати, що обидва ці методи успішно об’єднуються в багатофункціональний розподіл Максвелла-Больцмана.

У цьому випадку вчені передбачили наявність експоненціального множника -е – Е/kT. Великою буквою Е позначають суму кінетичної і потенційної енергії. А ось KT позначають середню енергію теплового руху, яка відмінно управляється постійною талановитого Фізика Больцмана.

Ключові нюанси

Якщо при абсолютній температурі (Т) зберігається однорідний ідеальний газ, то та енергія, що припадає на кожну поступальну ступінь свободи, обов’язково буде дорівнює формулі kT /2 (це твердження детально описано в розподілі Максвелла).

Якщо розглядати конкретну ситуацію на прикладі кімнатної температури, то підсумковий показник енергії буде перебувати в межах 2.07 * 10 -21 Дж (0.013 ев).

В результаті проведених досліджень вдалося довести, що в одноатомному ідеальному газі кожен окремий атом володіє відразу трьома ступенями свободи. Дані відповідають трьом просторовим осям, завдяки чому на кожен атом припадає енергія, яка дорівнює формулі 3/2 kT.

Правильно обчислити середньоквадратичну швидкість атомів можна тільки в тому випадку, якщо спочатку знати реальну теплову енергію. Використовувані дані повинні бути обернено пропорційні квадратичному кореню атомної маси.

У підручниках з фізики міститься інформація про те, що стандартна середньоквадратична швидкість при кімнатній температурі може варіюватися від 1379 м/с (твердження доречно щодо гелію) до 240 м/с (ксенон). Ситуація трохи ускладнюється в тому випадку, якщо мова стосується молекулярного газу.

Приклад: п’ять ступенів свободи має двоатомний газ (коливання атомів в молекулі відсутня тільки в тому випадку, якщо температура навколишнього середовища кардинально знижена).

Експериментально було доведено, що саме ентропія термодинамічної системи може вимірюватися як натуральний логарифм від числа різних мікростанів (V), які в точності відповідають конкретному мікроскопічному стану (найчастіше це твердження стосується стану із заданою повною енергією).

Для вирішення завдання краще скористатися цією формулою:

постійна Больцмана відображена коефіцієнтом пропорційності (k). Визначальна зв’язок між мікроскопічними (V) і макроскопічними станами (S) відмінно висловлює головну ідею багатогранної статистичної механіки.

Способи знаходження постійної Больцмана

Фізика є цікавою і багатогранною наукою. Для вирішення поставлених завдань часто використовується постійна Больцмана. Формула має свої особливості, але для вивчення всіх нюансів знадобиться реальний експеримент.

Для цього необхідно взяти звичайне дзеркало і підвісити його в повітрі за допомогою пружної нитки. Можна уявити, що створена система дзеркало-повітря перебуває в стабільному стані, яке ще називається статистичним рівновагою.

Крихітні молекули повітря вдаряють в поверхню дзеркала, яке на практиці поводиться як броунівська частинка. З урахуванням підвішеного стану під час експерименту можна спостерігати обертальні коливання навколо певної осі, яка збігається з вертикально спрямованою ниткою.

Після виконаних маніпуляцій потрібно направити промінь світла на поверхню дзеркала. Навіть при мінімальних поворотах і обертових рухах дзеркала відбивається промінь буде істотно зміщуватися. Завдяки цьому, є можливість виміряти обертальні коливання об’єкта.

Для позначення модуля кручення потрібно використовувати велику букву Р. Момент інерції дзеркала щодо основної осі обертання можна записати як В, а ось кут повороту дзеркала — як Т. Недоліком цього прикладу можна вважати те, що сила пружності прагне повернути дзеркало в рівноважне положення.

Якщо помножити обидві частини на Т і проінтегрувати результат, то в підсумку можна буде отримати наступний результат:

Якщо знати основи багатогранного броунівського руху, то в підсумку можна буде знайти реальну постійну за допомогою вимірювання макропараметрів.

Існуюча енергія рівномірно розподіляється по ступенях свободи на кожну окрему її ступінь. Це означає, що на кожну ступінь буде припадати рівна кінетична енергія: =½kT.

Для правильного обчислення середньої енергії прийнято використовувати наступну елементарну формулу:

Рішення цього завдання виглядає наступним чином:

• m post = 3,
• m υr = 3,
• а це означає, Що m kol = 3N -6 ;
• i = 6 + 6N — 12 = 6N -6 ;
• = 6N − 6/2kT = (3N − 3) kT.

Рішення цього завдання є елементарним, але це твердження актуально тільки в тому випадку, якщо учень заздалегідь розібрався з усіма тонкощами. Після проведених маніпуляцій можна визначити, що середня енергія молекули становитиме = (3n -3 ) kT.

Фізична константа

Цей розділ фізики не можна залишати без уваги. Експертами неодноразово було доведено, що формула Больцмана еалежить до категорії фундаментальних констант.

Якщо врахувати всі нюанси, то в підсумку можна визначити характеристики мікроскопічних явищ молекулярного рівня з параметрами процесів, які можна спостерігати в макроосвіті. Константа Больцмана входить в ряд важливих рівнянь у фізиці.

На сьогодні все ще невідомо, чи існує в науці будь-якої фізичний принцип, на підставі якого можна було б вивести необхідну формулу виключно теоретично.

А це означає, що в якості міри відповідності кінетичної енергії частинок можна було б використовувати інші величини і Математичні одиниці замість звичних градусів. Тоді чисельне значення константи мало б зовсім інший показник, але вона як і раніше залишалася б постійною величиною.

Якщо розглядати приклади інших фундаментальних величин аналогічного принципу зі стандартним зарядом і постійної гравітаційної, то наука сприйме існуючу константу Больцмана як даність і буде використовувати її для теоретичного опису протікають на планеті фізичних процесів.

Наприкінці 2011 року відбулася генеральна конференція з ваг і заходів, яка прийняла резолюцію. У документах було детально описано те, що потрібно виконати повноцінну ревізію міжнародної системи одиниць, щоб мати можливість зафіксувати значення постійної.

Така фіксація була безпосередньо пов’язана з прагненням перевизначити конкретну одиницю термодинамічної температури Кельвін.

17.2: Розподіл Больцмана являє собою термічно врівноважений розподіл

Як ми дізнаємося в наступних розділах, система буде прагнути до розподілу \(a_j\) , що максимізує загальну кількість мікростанів. Це може виражатися у вигляді:

Нашими обмеженнями стають:

\[ \sum_j e_j da_j =0 \nonumber \]

Метод множників Лагранжа (імені Джозефа Луї Лагранжа) є стратегією знаходження локальних максимумів і мінімумів функції, що підлягають обмеженню рівності. Використовуючи метод невизначених множників ЛаГранжа, ми маємо:

\[ \sum_j \left[ \left(\dfrac<\partial \ln W ><\partial a_j>\right)da_j + \alpha da_j – \beta e_j da_j \right] = 0 \nonumber \]

Ми можемо використовувати наближення Стірлінга:

\[\ln x! \approx x\ln x – x \nonumber \]

Застосування наближення Стірлінга

Насамперед слід зазначити, що:

\[\ln W = \ln A! – \sum_j \ln a_j! a \approx A \ln A – A – \sum_j a_j \ln a_j – \sum_j a_j \nonumber \]

ці два скасовують, щоб дати:

\[\ln W = A \ln A – \sum_j a_j \ln a_j \nonumber \]

Ці останні похідні є результатом того, що:

Просте вираз, яке є результатом цих маніпуляцій:

Найбільш вірогідним розподілом є:

Тепер нам потрібно знайти невизначені множники \(\alpha\) і \(\beta\) .

Ліва сторона Рівняння \(\ref\) дорівнює 1. Таким чином, ми маємо:

Це визначає \(a\) і визначає розподіл Больцмана. Ми покажемо, що \(\beta\) з оптимізаційної процедури методу множників Лагранжа є:

Ця ідентифікація покаже важливість температури в розподілі Больцмана. Розподіл являє собою термічно врівноважений найбільш ймовірний розподіл по всіх енергетичних рівнях (Рисунок Template:index).

Рисунок Template:index: При більш низьких температурах нижчі енергетичні стани більш заселені. При більш високих температурах заселено більше вищих енергетичних станів, але кожен населений менше. \(k_BT ~ 2.5\; kJ \;mol^\) в 300 К. (CC SA-BY 3.0; Містеріозо через Віківерситет).

Розподіл Больцмана

Розподіл Больцмана являє собою термічно врівноважений найбільш ймовірний розподіл по всіх енергетичних рівнях. Завжди є більш висока популяція в стані меншої енергії, ніж в одній з вищих енергій.

Як тільки ми дізнаємось розподіл ймовірностей для енергії, ми можемо обчислити термодинамічні властивості, такі як енергія, ентропія, вільна енергія та теплові потужності, які є середніми величинами (Рівняння \(\ref\) ). Для розрахунку \(P_j\) нам потрібні енергетичні рівні системи (тобто \(\\) ). Енергія («рівні») системи може бути побудована з квантових енергетичних рівнів

Завжди потрібно пам’ятати, що незалежно від того, наскільки великий енергетичний інтервал, завжди існує ненульова ймовірність заселення верхнього рівня. Виняток становить лише система, яка знаходиться на абсолютному нулі. Ця ситуація, однак, гіпотетична, оскільки абсолютний нуль може бути наближений, але не досягнутий.

Функція розділу

Сумі над усіма факторами \( e^ \) дається назва. Вона називається функцією молекулярного поділу, \(q\) :

Функція молекулярного поділу \(q\) дає вказівку на середню кількість станів, які термічно доступні молекулі при температурі системи. Функція розділення – це сума над станами (звичайно, з коефіцієнтом Больцмана, \(\beta\) що множить енергію в експоненті) і є числом. Більше значення \(q\) , більша кількість станів, які доступні для молекулярної системи для займання (Рисунок Template:index).

Рисунок Template:index: При більш низьких температурах нижчі енергетичні стани більш заселені. При більш високих температурах заселено більше вищих енергетичних станів, але кожен населений менше. (CC SA-BY 3.0; Містеріозо через Віківерситет).

Тут ми розрізняємо функцію розділення ансамблю \(Q\) та окремої молекули \(q\) . Оскільки \(Q\) являє собою суму над усіма станами, доступними для системи, вона може записатися як:

де показники \(i,\,j,\,k\) представляють енергетичні рівні різних частинок.

Незалежно від типу частинки функція молекулярного поділу, \(q\) являє собою енергетичні рівні однієї окремої молекули. Ми можемо переписати вищевказану суму як:

для \(N\) частинок. Зверніть увагу, що \(q_i\) означає суму над станами або енергетичними рівнями, доступними для молекули, \(i\) і \(q_j\) означає те саме для молекули \(j\) . Функція молекулярного поділу \(q\) підраховує рівні енергії, доступні \(i\) лише молекулі. \(Q\) підраховує не тільки стани всіх молекул, але і всі можливі комбінації професій цих станів. Однак, якщо частинки не помітні, ми підрахуємо \(N!\) станів занадто багато. \(N!\) Коефіцієнт точно, скільки разів ми можемо поміняти місцями індекси \(Q(N,V,T)\) і отримати однакове значення (знову ж за умови, що частинки не помітні). Дивіться це відео для отримання додаткової інформації.

Посилання

1. Хакала, Р.В. Просте обґрунтування форми закону розподілу Больцмана. Журнал хімічної освіти. 44 (11), 657.я: 10,1021/д 044п657
2. Григоренко І. Гарсія М.Є. Розрахунок функції розділення за допомогою квантових генетичних алгоритмів. Фізика А: Статистична механіка та її застосування. 313. 463-470. Отримано з http://www.sciencedirect.com/science. 78437102009883

Проблеми

1. Завершити обґрунтування закону розподілу Больцмана шляхом обчислення константи пропорційності \(a\) .
2. Система містить два енергетичні рівні \(E_1, E_2\) . Використовуючи статистику Больцмана, висловіть середню енергію системи в перерахунку на \(E_1, E_2\) .
3. Розглянемо, що система містить N енергетичних рівнів. Повторити проблему #2.
4. Використовуйте властивість експоненціальної функції, виведіть рівняння (17.9).
5. Яке використання функцій розділів?