ПОНЯТТЯ АКСІОМИ

Поряд з поняттям теореми в математиці використовується поняття аксіоми. Аксіома – це теж справжнє пропозицію, проте воно вважається істинним за визначенням.

Історія поняття аксіоми бере початок з Стародавньої Греції. Спочатку аксіома розумілася як очевидно істинне твердження. Однак у міру розвитку математики питання про очевидність став некоректний. Справа в тому, що в аксіомі йдеться про якісь об’єкти, пов’язані якимись відносинами. Записавши аксіому мовою формул, ми отримуємо абстрактне пропозицію, яке може перетворитися як в справжнє, так і в хибне висловлювання в залежності від того, що ми будемо розуміти під об’єктами і відносинами, що позначаються в аксіомі певними символами.

Приклад 4.4.1. Розглянемо одну з аксіом шкільного курсу геометрії: «Через будь-які дві різні точки проходить пряма, до того ж лише одна». Ця пропозиція вибрано в якості аксіоми в силу інтуїтивного розуміння того, що таке точка і пряма.

Запишемо сформульоване пропозицію символічно. Нехай змінні х і у позначають точки, змінна / – пряму. Пропозиція «х

і у – різні точки »позначимо А (ху), а пропозиція« Пряма / проходить через точки х і у »- У (х, у, Г).

Тоді аксіома матиме такий вигляд:

Відвернемося тепер від того, що ми розуміємо під прямий. Припустимо, що термін «пряма» означає для нас коло. Переформулюємо пропозицію, вважаючи, що змінна / позначає коло, а всі інші символи інтерпретуємо в звичайному сенсі: «Через будь-які дві різні точки проходить коло, і притому тільки одна». Неважко бачити, що ця пропозиція помилково, так як через дві точки можна провести нескінченно багато кіл.

Бачимо, що для однієї інтерпретації математичної теорії аксіома як формула може бути істинним висловлюванням, а для іншого – хибним висловлюванням. •

Отже, аксіома математичної теорії – це пропозиція, прийняте в даній теорії як справжнє. Питання про доведення теореми не ставиться.

Вибір системи аксіом відбувається так, щоб в них були відображені основні властивості тієї галузі знань, яку потрібно описати на математичній мові. Аксіому можна проінтерпретувати, проілюструвати на прикладі, показати необхідність се вибору, але нс довести.

Аксіоми є базові твердження, свого роду фундамент того чи іншого розділу математики. Необхідність такого фундаменту зрозуміти нескладно. Для того щоб доводити теореми, потрібно послідовно спиратися на вірні пропозиції, але цей ланцюжок не може бути нескінченною. Аксіоми є відправною точкою в ланцюжку доказів.

Осмислення розглянутого в цьому пункті матеріалу нс миттєвий процес, він вимагає часу. Взагалі, розуміння багатьох ідей, що лежать в основі математики, відбувається паралельно з вивченням різних математичних дисциплін. Тому на даному етапі ми нс будемо більш докладно зупинятися на сутності аксіоматичного методу в математиці. Відзначимо лише, що список аксіом, на основі яких можна побудувати шкільний курс планіметрії, наведено, наприклад, в підручнику [1] в якості додатку.

Що таке аксіома

Аристотель вважав, що аксіома не вимагає доказів через свою наочність, простоту і ясність. Евклід розглядав геометричні аксіоми як самоочевидні істини, яких достатньо для виведення інших істин геометрії.

Значення і тлумачення

Дійсно, слово аксіома походить від грецького axioma, що означає вихідне і прийняте положення будь-якої теорії, яке приймається без логічного доказу і лежить в підставі доказу інших її положень. Іншими словами, це відправний пункт, справжнє положення, яке не може бути доведено і в той же час абсолютно не потребує доказу, оскільки очевидно і в силу цього може бути вихідною точкою для інших положень.

Нерідко аксіома трактувалася як вічна і непохитна істина, яка відома до всякого досвіду і не залежить від нього. Сама спроба обґрунтування істини могла тільки підірвати її очевидність.

Також аксіома була прийнятим на віру положенням, недоведеним у даній теорії. Якщо аксіома приймається на віру, то при чесному і сумлінному підході вона може бути предметом додаткової уваги і критичного сприйняття у всіх важливих ситуаціях. Іншими словами, скрізь, де вирішуються практичні завдання пошуку істини. Зазвичай в якості аксіом наводять добре відомі і багаторазово перевірені поняття.

Приклади

Існує аксіома торгів, аксіома систем, є аксіоми статики, аксіоми стереометрії, повіту метрії, бувають аксіоми будівельні та правові аксіоми. Широко відомі аксіоми: закон протиріччя, закон тотожності, закон достатньої підстави, закон виключеного третього. Це логічні аксіоми. Аксіоми геометрії: аксіома паралельних прямих, аксіома Архімеда (аксіома безперервності), аксіома приладдя та аксіома порядку.

Переосмислення обґрунтування

Переосмислення проблеми обґрунтування аксіоми змінило зміст цього терміну. Аксіомою є не вихідний початок пізнання, а його проміжний результат. Аксіома обґрунтовується не сама по собі, а як необхідний складовий елемент теорії. Критерії вибору аксіоми змінюються від теорії до теорії. Як сказано вище, починаючи з античності і до середини 19-го століття, аксіома розглядалася як апріорно справжня і інтуїтивно очевидна пропозиція. Однак, при цьому упускалося з уваги його обумовленість людською практичною діяльністю. Наприклад, Ленін писав, що практично-пізнавальна діяльність людини, мільйони і мільярди разів повторюючись, залишається в його свідомості логічними фігурами, які, як раз в силу цього багаторазового повторення і отримують значення аксіоми. Сучасне ж розуміння вимагає від аксіоми виконання однієї лише умови: бути вихідним положенням для виведення за допомогою вже прийнятих логічних правил з усіх інших теорем або пропозицій даної теорії. Справжність аксіоми вирішується в рамках інших наукових теорій. Також, реалізація аксіоматичної системи в будь-якій предметній області говорить про істинність прийнятих в ній аксіом.