1. Суміжні та вертикальні кути

Два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями, називаються суміжними.

Оскільки ∠ AOB = 180 ° — розгорнутий кут і промінь \(OC\) ділить його на дві частини, то ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° \(.\)

1. Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.
2. Два кути, суміжні з одним і тим самим кутом, рівні.
3. Кут, суміжний і з прямим кутом, також прямий. Кут, суміжний із тупим кутом, гострий. Кут, суміжний із гострим кутом, тупий.

Якщо перетинаються дві прямі, то утворюються дві пари вертикальних кутів: ∠ 1 , ∠ 3 і ∠ 2 , ∠ 4 \(.\)

За властивістю суміжних кутів ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° і ∠ 1 + ∠ 4 = 180 ° \(.\) Отже, ∠ 2 = ∠ 4 \(.\)

Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається менший із кутів, що утворилися в результаті перетину цих прямих.

Ця властивість використовується для побудови паралельних прямих за допомогою лінійки та косинця. Двічі прикладаючи косинець до лінійки, можна провести дві прямі, перпендикулярні до краю лінійки.

1.13: Кутові властивості та теореми

Малюнок \(\PageIndex<1>\) Фол лінії бейсбольного алмазу перетинаються в будинку пластини, утворюючи прямий кут. Бейсбол потрапляє з домашньої плити і утворює кут \(36^\) з третьою базою фол лінії. Яка міра кута між першою базовою лінією фолу і ванною бейсболу? Малюнок \(\PageIndex\) Як ви можете використовувати свої знання кутів, щоб з’ясувати міру кута? У цій концепції ви дізнаєтеся міру кутових пар.

Вимірювання кутових пар

Існують різні типи кутових пар. Вертикальні кути – це кутова пара, утворена пересічними лініями таким чином, щоб вони ніколи не були сусідніми. Вони мають загальну вершину і ніколи не мають спільної сторони. Вертикальні кути рівні за мірою. На наступній схемі показані вертикальні кутові пари. Малюнок \(\PageIndex\) \(\angle 1\) і \(\angle 2\) є вертикальними кутами. \(m\angle 1=m\angle 2\) \(\angle 3\) і \(\angle 4\) є вертикальними кутами. \(m\angle 3=m\angle 4\) Сусідні кути – це кутова пара, також утворена двома пересічними лініями. Сусідні кути знаходяться поруч, мають загальну вершину і мають спільну сторону. На наступній схемі показані пари сусідніх кутів. Малюнок \(\PageIndex\) Кожна пара сусідніх кутів утворює прямий кут. Тому сума будь-яких двох сусідніх кутів дорівнює \(180^\) . \(m\angle 1+m \angle 3= 180^\) \(m\angle 2+m \angle 4= 180^\) \(m\angle 2+m \angle 3= 180^\) \(m\angle 1+m \angle 4= 180^\) Якщо сума двох кутів дорівнює, \(180^\) то кути називаються додатковими кутами. На наступній схемі показані два додаткових кута. Малюнок \(\PageIndex\) В обох діаграмах, \(m\angle 1+m \angle 2= 180^\) . Якщо сума двох кутів дорівнює 90°, то кути називаються взаємодоповнюючими кутами. На наступній схемі показані два взаємодоповнюючих кута. Малюнок \(\PageIndex\) \(m\angle 1+m \angle 2= 90^\) Давайте застосуємо всю цю інформацію про кути і їх міру для визначення міри \(\angle a\) \(\angle b\) , на \(\angle c\) наступній схемі. Малюнок \(\PageIndex\) Існує чотири кути, утворені пересічними лініями. Міра одного з кутів є \(70^\) . Спочатку сформулюйте взаємозв’язок між кутом \(70^\) і \(\angle b\) . Кут \(70^\) . примикає до \(\angle b\) і два кути утворюють прямий кут. Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(\angle b+70^=180^\) Далі відніміть 70° з обох сторін рівняння. \(\angle b+70^=180^\) \(\angle b+70^- 70^=180^-70^\) Потім спростіть обидві сторони рівняння. \(\angle b+70^- 70^=180^-70^\) \(\angle b = 110^\) Відповідь є \(110^\) . \(m \angle b = 110^\) Спочатку сформулюйте взаємозв’язок між кутом \(70^\) і \(\angle a\) . Кут \(70^\) і \(\angle a\) є вертикальними кутами і рівні за мірою. Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(m\angle a=70^\) Відповідь є \(70^\) . \(m\angle a=70^\) Спочатку викласти залежність між кутом \(70^\) і \(\angle c\) . Кут \(70^\) примикає до \(\angle c\) і два кути утворюють прямий кут. Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(\angle c+70^=180^\) Далі віднімаємо \(70^\) з обох сторін рівняння. \(\angle c+70^=180^\) \(\angle c+70^-70^=180^ -70^\) Потім спростіть обидві сторони рівняння. \(\angle c+70^-70^=180^ -70^\) \(\angle c=110^\) Відповідь є \(110^\) . \(m \angle c=110^\)

Приклад \(\PageIndex<1>\) Раніше вам дали проблему з приводу бейсбольного поля і фол ліній. Кут між траєкторією кулі і першою лінією фолу підстави потрібно з’ясувати. Це можна зробити за допомогою взаємодоповнюючих кутів. Рішення Спочатку намалюйте схему, щоб змоделювати проблему. Малюнок \(\PageIndex\) Далі викласти відносини між \(36^\) і \(\angle x\) . \(36^\) і \(\angle x\) є доповнюючими кутами. Сума кутів дорівнює \(90^\) . Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(36^+\angle x=90^\) Далі відніміть 36° з обох сторін рівняння. \(36^+\angle x=90^\) \(36^-36^+\angle x=90^-36^\) Потім спростіть обидві сторони рівняння. \(36^-36^+\angle x=90^-36^\) \(\angle x = 54^\) Відповідь є \(54^\) . Кут \(54^\) робиться між першою базовою лінією фолу і траєкторією бейсболу.

Приклад \(\PageIndex<2>\) Якщо наступні кути взаємодоповнюють, знайдіть міру відсутнього кута. \(\angle A=37^\) то \(\angle B=\) ? Рішення Спочатку намалюйте схему, щоб змоделювати проблему. Малюнок \(\PageIndex\) Далі викласти відносини між \(\angle A\) і \(\angle B\) . \(\angle A\) і \(\angle B\) є доповнюючими кутами. Сума кутів дорівнює \(90^\) . Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(\angle A+ \angle B=90^\) Далі підставляємо міру \(\angle A\) в рівняння. \(37^+ \angle B=90^\) Далі віднімаємо \(37^\) з обох сторін рівняння. \(37^+ \angle B=90^\) \(37^- 37^+ \angle B=90^- 37^\) Потім спростіть обидві сторони рівняння. \(37^- 37^+ \angle B=90^- 37^\) \(\angle B =53^\) Відповідь є \(53^\) . \(m \angle B =53^\)

Приклад \(\PageIndex<3>\) Якщо наступні кути є додатковими, знайдіть міру відсутнього кута. \(\angle A=102^\) то \(\angle B=\) ? Рішення Спочатку намалюйте схему, щоб змоделювати проблему. Малюнок \(\PageIndex\) Далі викласти відносини між \(\angle A\) і \(\angle B\) . \(\angle A\) і \(\angle B\) є додатковими кутами. Сума кутів становить 180°. Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(\angle A+ \angle B=180^\) Далі підставляємо міру \(\angle A\) в рівняння. \(102^+\angle B=180^\) Далі віднімаємо \(102^\) з обох сторін рівняння. \(102^+\angle B=180^\) \(102^-102^+\angle B=180^-102^\) Потім спростіть обидві сторони рівняння. \(102^-102^+\angle B=180^-102^\) \(\angle B=78^\) Відповідь є \(78^\) . \(m \angle B=78^\)

Приклад \(\PageIndex<4>\) Використовуючи наступну схему, визначте міри відсутніх кутів. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Спочатку сформулюйте взаємозв’язок між кутом \(\angle 1\) і \(\angle 3\) . \(\angle 1\) і \(\angle 3\) є вертикальними кутами і рівні за мірою. Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(m\angle 1=m \angle 3\) Далі підставляємо міру \(\angle 1\) в рівняння. \(m\angle 1=m \angle 3\) \(137^=m\angle 3\) Відповідь є \(137^\) . \(m\angle 3= 137^\) Спочатку сформулюйте взаємозв’язок між кутом \(\angle 1\) і \(\angle 2\) . \(\angle 1\) примикає до \(\angle 2\) і два кути утворюють прямий кут. Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(\angle 1+\angle 2=180^\) Далі підставляємо міру \(\angle 1\) в рівняння. \(137^+\angle 2=180^\) Далі віднімаємо \(137^\) з обох сторін рівняння. \(137^+\angle 2=180^\) \(137^-137^+\angle 2=180^-137^\) Потім спростіть обидві сторони рівняння. \(137^-137^+\angle 2=180^-137^\) \(\angle 2=43^\) Відповідь є \(43^\) . \(m \angle 2=43^\) Спочатку сформулюйте взаємозв’язок між кутом \(\angle 2\) і \(\angle 4\) . \(\angle 2\) і \(\angle 4\) є вертикальними кутами і рівні за мірою. Далі виражаємо відносини за допомогою символів. \(m \angle 2=m \angle 4\) Далі підставляємо міру \(\angle 2\) в рівняння. \(m \angle 2=m \angle 4\) \(43^=m \angle 4\) Відповідь є \(43^\) . \(m \angle 4=43^\)

Рецензія

Якщо наступні кутові пари взаємодоповнюють, то яка міра відсутнього кута? 1. Якщо \(\angle A=45^\) тоді \(\angle B=\) ? 2. Якщо \(\angle C=83^\) тоді \(\angle D=\) ? 3. Якщо \(\angle E=33^\) тоді \(\angle F=\) ? 4. Якщо \(\angle G=53^\) тоді \(\angle H=\) ? Якщо наступні пари кутів є додатковими, то яка міра відсутнього кута? 5. Якщо \(\angle A=40^\) тоді \(\angle B=\) ? 6. Якщо \(\angle A=75^\) тоді \(\angle B=\) ? 7. Якщо \(\angle C=110^\) тоді \(\angle F=\) ? 8. Якщо \(\angle D=125^\) тоді \(\angle E=\) ? 9. Якщо \(\angle M=10^\) тоді \(\angle N=\) ? 10. Якщо \(\angle O=157^\) тоді \(\angle P=\) ? Визначте наступні типи кутових пар. 11. Вертикальні кути 12. Сусідні кути 13. Додаткові кути 14. Додаткові кути 15. Внутрішні кути

1.17: Вертикальні кути

Приклад \(\PageIndex<1>\) Знайдіть значення \(x\) . Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Вертикальні кути конгруентні, тому встановіть кути рівні один одному і вирішуйте для \(x\) . \(x+16=4x−5\) \(3x=21\) \(x=7^\)

Приклад \(\PageIndex<2>\) Знайдіть значення \(y\) . Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Вертикальні кути конгруентні, тому встановіть кути рівні один одному і вирішуйте для \(y\) . \(9y+7=2y+98\) \(7y=91\) \(y=13^\)

Приклад \(\PageIndex<3>\) Знайти \(m\angle 1\) . Малюнок \(\PageIndex\) Рішення \(\angle 1\) це вертикальні кути з \(18^\) , так\ (m\ кут 1=18^ .

Приклад \(\PageIndex<4>\) Якщо\ кут ABC і\ кут DEF є вертикальними кутами і\ (m\ кут ABC = (4x+10) ^ і\ (m\ кут DEF = (5x+2) ^ , яка міра кожного кута? Рішення Вертикальні кути є конгруентними, тому встановіть кути рівні один одному і вирішуйте для х, а потім поверніться назад, щоб знайти міру кожного кута. \(4x+10=5x+2\) \(x=8\) Отже, \(m\angle ABC=m\angle DEF=(4(8)+10)^=42^\)

Приклад \(\PageIndex<5>\) True або false: вертикальні кути завжди менше 90^ . Рішення Це помилково, ви можете мати вертикальні кути, які перевищують 90^ . Вертикальні кути менше 180^ .

Рецензія

Для вправи 3 визначте, чи є твердження істинним чи хибним.

1. Вертикальні кути мають однакову вершину.

1. Якщо \(\angle ABC\) і \(\angle DEF\) є вертикальними кутами \(m\angle ABC=(9x+1)^\) і і \(m\angle DEF=(5x+29)^\) , яка міра кожного кута?
2. Якщо \(\angle ABC\) і \(\angle DEF\) є вертикальними кутами \(m\angle ABC=(8x+2)^\) і і \(m\angle DEF=(2x+32)^\) , яка міра кожного кута?
3. Якщо \(\angle ABC\) і \(\angle DEF\) є вертикальними кутами \(m\angle ABC=(x+22)^\) і і \(m\angle DEF=(5x+2)^\) , яка міра кожного кута?
4. Якщо \(\angle ABC\) і \(\angle DEF\) є вертикальними кутами \(m\angle ABC=(3x+12)^\) і і \(m\angle DEF=(7x)^\) , яка міра кожного кута?
5. Якщо \(\angle ABC\) і \(\angle DEF\) є вертикальними кутами \(m\angle ABC=(5x+2)^\) і і \(m\angle DEF=(x+26)^\) , яка міра кожного кута?
6. Якщо \(\angle ABC\) і \(\angle DEF\) є вертикальними кутами \(m\angle ABC=(3x+1)^\) і і \(m\angle DEF=(2x+2)^\) , яка міра кожного кута?
7. Якщо \(\angle ABC\) і \(\angle DEF\) є вертикальними кутами \(m\angle ABC=(6x−3)^\) і і \(m\angle DEF=(5x+1)^\) , яка міра кожного кута?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.10.