Циліндр. Формули та властивості циліндра

Циліндр — це геометричне тіло що обмежене циліндричною поверхнею та двома площинами основами циліндра.

Циліндрична поверхня — поверхня, отримана під час руху прямої (твірної L) паралельно самій собі, вздовж плоскої кривої напрямної.

Круговий циліндр

В більшості випадків під циліндром розуміють прямий круговий циліндр, у якого напрямна — коло, а основи перпендикулярні твірній L. У такого циліндра є вісь симетрії.

Прямий круговий циліндр можна описати, як об’ємну фігуру, яка утворюється обертанням прямокутника навколо своєї сторони на 360°.

Означення. Осьовий переріз циліндра – це переріз циліндра площиною, яка проходить через вісь циліндра.

Означення. Дотична площина до циліндра – це площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу циліндра.

Похилий циліндр – циліндр, у якого твірні не перпендикулярні основам циліндра (Рис.2 – похилий круговий циліндр).

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Як знайти обсяг циліндра: формули і завдання

Питання, як знайти обсяг циліндра, може виникнути не тільки у школяра. Адже таку форму має, наприклад, каструля, ємність якої іноді терміново потрібно дізнатися. Ось тоді потрібно знання спеціальної формули.

Що потрібно знати про циліндр?

Геометричне тіло, про яке ми говоримо, утворюється в результаті обертання прямокутника навколо однієї з його сторін, і завжди буде прямим. Тобто кут між утворюючою циліндра і його підставою в даному випадку дорівнює 90 градусам. Якщо виконати цей простий рух не вдається, і кут вже не 90 градусів, то йдеться про похилий циліндр.

Яким би не був вид тіла, все одно потрібно знати про те, як знайти обсяг циліндра. Але спочатку потрібно визначитися з деякими теоретичними даними.

Як називаються окремі елементи циліндра і що про них відомо?

Відрізки, які з ‘єднують попарно відповідні точки на двох підставах, називаються утворюючими. У будь-якого циліндра вони рівні і паралельні один одному. Якщо він прямий, то довжина утворюючої збігається з висотою тіла.

У основі може лежати коло або еліпс, тоді циліндр буде круговим або еліптичним відповідно. У формулах цей факт потрібно врахувати. Тому що найчастіше вони даються для кругового циліндра. В еліптичному, до того як обчислити обсяг циліндра, потрібно буде дізнатися, за якою формулою визначити площу овалу.

Формули об ‘єму для прямого і похилого циліндрів

Тут і далі прийняті такі позначення.

кут між створеною і основою

У будь-якому випадку буде потрібна формула, в якій висота тіла, множиться на площу основи. Вона виглядає так:

V = Sh

Якщо потрібно дізнатися, як знайти об ‘єм циліндра прямого, то тут висота за довжиною повністю збігається з утворюючою. Підставою найчастіше є коло, тоді його площа буде порахована за формулою:

S = πr2.

Коли в завданні йдеться про еліптичний циліндр, то буде потрібна така формула площі основи:

S = ^ ab, тут літерами a і b позначені мала і велика напівосі овала.

При вирішенні завдань про похилий циліндр потрібно ввести деякі доповнення у формулу. Наприклад, якщо не відома висота, але йдеться про утворюючу і вугілля між нею і підставою. Тоді літеру h потрібно замінити таким виразом:

h = l * sin α.

Як бути, якщо потрібно визначити обсяг на практиці?

У завданнях зазвичай вже відомі значення кута або висоти з утворюючою. А можливо, якісь інші елементи, через які їх можна знайти. У житті доводиться робити вимірювання самостійно.

Тоді питання про те, як визначити об ‘єм циліндра, зводиться до того, щоб правильно зробити вимірювання його висоти і радіусу. Для цього будуть потрібні: лінійка, олівець і прямокутний аркуш паперу.

Найчастіше в побуті нас оточують прямі кругові циліндри. Виміряти їх висоту зазвичай не складає труднощів. Потрібно просто прикласти лінійку збоку і виміряти відстань від низу до верху тіла. Це буде висота – h.

З радіусом кола все не так легко. Потрібно трохи згадати геометрію. Тут потрібен аркуш паперу з прямим кутом і олівець.

Що дає теорія з геометрії? Навколо прямокутного трикутника можна описати коло. Причому його прямий кут опиниться на ній, а гіпотенуза співпаде з діаметром.

Потрібно взяти аркуш паперу і покласти його так, щоб прямий кут стосувався краю підстави. Тоді два його боки, які утворюють цей кут, в деяких точках перетнуться з окружністю. У цих місцях потрібно зробити мітки. Щодо них провести відрізок. Він виявиться гіпотенузою і шуканим діаметром основи циліндра.

Як знайти обсяг циліндра, в нашому випадку? У формулі фігурує радіус. Він дорівнює половині діаметра. Тобто довжину отриманого відрізка потрібно розділити на два.

Залишилося тільки підставити результати вимірювань у формулу об ‘єму і порахувати. Причому врахувати, що відповідь вийде в см3. Якщо обсяг потрібно дізнатися в кубічних метрах, то число потрібно буде розділити на мільйон. Щоб отримати обсяг у літрах, ділником виявиться тисяча.

Завдання

Умова. Дано два циліндри. Висота першого в два рази більше другого. Радіус другого вдвічі більший, ніж у першого. Необхідно дізнатися, у скільки разів обсяг першого циліндра більше або мегьше обсягу другого.

Рішення. Спочатку потрібно буде ввести позначення. Нехай висота і радіус першого тіла будуть мати індекс 1, а другого – 2.

Тепер можна записати дані в умові значення у вигляді виразів:

Формули обсягів обох циліндрів приймуть такий вид:

v1 = π r12 h1 и v2 = π r22 h2.

У завданні потрібно знайти:

v1 : v2 = (π r12 h1) : (π r22 h2).

Після скорочення ^ і заміни h1 і r2введеними виразами, виходить:

Тобто v1: v2 = 1 : 2. Це означає, що обсяг першого циліндра вдвічі менший.