Розділ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Введемо кілька нових понять. Околом точки х₀ називається будь-який проміжок, для якого х₀ є внутрішньою точкою.

Точка х₀ називається точкою мінімуму (максимуму) функції у = f(x), якщо для всіх х (х ≠ х₀) з деякого околу точки х₀ виконується нерівність

Точки мінімуму і максимуму позначають х_min та х_max відповідно. Значення функції в точці мінімуму називається мінімумом функції, а в точці максимуму — максимумом функції. Позначають їх: у_min та у_max.

Точки мінімуму і максимуму функції разом називають точками екстремуму (лат. εxtrεmum— край, кінець). Значення функції в точках її екстремуму — її екстремальні значення, або екстремуми.

Наприклад, для функції у = 2х – х 2 точка х = 1 є точкою максимуму (мал. 205). Її максимум: уmax = 2 ∙ 1 – 1 2 = 1.

Для функції у = |х| – 3 точка х = 0 є точкою мінімуму (мал. 206). Її мінімум: уmin = 0 – 3 = -3.

Функція, графік якої зображено на малюнку 203, має чотири екстремальні точки: х₂ і х₄ — точки максимуму; х₃ і х₆ — точки мінімуму.

Точка екстремуму функції не може належати проміжку, на якому ця функція зростає або спадає (чому?). Отже, ті точки, в яких похідна функції додатна або від’ємна, не можуть бути точками її екстремуму. Всі інші точки області визначення функції є її критичними точками. Тому точками екстремуму функції можуть бути тільки її критичні точки. Це — необхідна умова існування екстремуму.

Вибрати з критичних точок функції точки екстремуму дає можливість достатня умова існування екстремуму.

Нехай функція у = f(x) неперервна на проміжку (а; b), диференційовна на кожному з проміжків (а; х₀) і (х₀; b), а х₀ — її критична точка. Тоді: точка х₀, при переході через яку в напрямі зростання аргументу похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», є точкою максимуму, а точка, при переході через яку похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс», — точкою мінімуму.

Справді, якщо похідна функції f(x) на проміжку (а; х₀) додатна, а на проміжку (х₀; b) — від’ємна, то при переході через точку х₀ зростання функції змінюється на спадання (мал. 207). У цьому випадку х₀ — точка максимуму. Якщо ж при переході через точку х₀ спадання функції змінюється на зростання, то х₀ — точка мінімуму (мал. 208).

Якщо ж похідна функції в точці х₀ дорівнює нулю, а зліва і справа від х₀ похідна функції додатна (мал. 209) або зліва і справа від’ємна, то х₀ не є точкою екстремуму.

Приклад 1. Знайдіть точки екстремуму й екстремальні значення функції у = 2х 3 + 6х 2 – 5.

Розв’язання. D(y) = R. у’ = 6х 2 + 12х = 6х(х + 2).

Критичні точки функції: х = -2 і х₂ – 0. При переході через точку х₁ = -2 похідна змінює знак з «+» на «-», тому х – -2 — точка максимуму. При переході через точку х₂ = 0 похідна змінює знак з «-» на «+», тому х₂ = 0 — точка мінімуму (мал. 210).

у_max =2 – (-2) 3 + 6 ∙ (-2) 2 – 5 = 3, у_min = 2 ∙0 3 + 6 ∙0 2 – 5 = -5.

Знаходження екстремумів функції можна оформляти у вигляді таблиці. Особливо це зручно при загальному дослідженні функції, коли виявляють не тільки її екстремуми, а й інші властивості, будують її графік.

Досліджують функцію, користуючись такою схемою:

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність, непарність, періодичність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;

4) дослідити функцію на монотонність, тобто знайти проміжки зростання і спадання функції;

5) знайти точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6) знайти асимптоти графіка;

7) побудувати графік функції.

Приклад 2. Дослідіть функцію

і побудуйте її графік.

Розв’язання. Область визначення функції — всі дійсні числа, крім х = -1.

Оскільки вона не симетрична відносно нуля, то функція не може бути парною чи непарною. Функція неперіодична.

не має розв’язків,тому графік функції не перетинає вісь х.

Вісь у він перетинає в точці з ординатою f(0) = 3.

Критичні точки: х₁ = -3, х₂ = 1. Складемо і заповнимо таблицю.

✅Точки максимуму і мінімуму – екстремуми функції

Крім визначення проміжків зростання та спадання функції, за допомогою похідної при дослідженні функції знаходять точки максимуму і мінімуму цієї функції.

Точки максимуму і мінімуму функції називають ще точками екстремуму.

Для відшукання точок екстремуму існує окремий ознака.

Достатня умова існування екстремуму в точці.

Нехай f (x) деяка диференційована на інтервалі (a; b) функція. Точка х0 належить цьому інтервалу і f ‘(x0)=0.

1. якщо при переході через стаціонарну точку х0 функція f (x) і її похідна змінює знак, з «плюса» на «мінус», тоді точка х0 є точкою максимуму функції.
2. якщо при переході через стаціонарну точку х0 функція f (x) і її похідна змінює знак, з «мінуса» на «плюс», тоді точка х0 є точкою мінімуму функції

Для функції розглянутої вище знайдемо точки екстремуму функції і значення функції в них.

Ми знайшли дві стаціонарні точки: х1=1/3, х2=1.

Оскільки зліва від точки х=1/3 функція зростає, а праворуч убуває, точка х=1/3 буде точкою максимуму.

Точка х=1 буде точкою мінімуму, оскільки сівби від неї функції убуває, а праворуч зростає.

Порахуємо значення функції в точках максимуму і мінімуму.

f (1/3)=(1/3) ^ 3-2*(1/3) ^ 2 +1 / 3=4/27.

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

Для дослідження функції та побудови її графіка важливо знати точки екстремуму та екстремуми функції.

1. Екстремуми функції

Досліджуючи поведінку функції поблизу деякої точки, зручно користуватися поняттям околу точки. Околом точки х₀ називають будь-який проміжок, що містить цю точку.

Наприклад, околом точки 2 може бути як проміжок (1,9; 2,1), так і проміжок (1,5; 2,5); околом точки -3 – проміжок (-3,8; -2,2).

Розглянемо графік функції у = f(х), зображений на малюнку 39.1. Бачимо, що існує такий окіл точки -2, що для всіх точок із цього околу функція у = f(х) набуває найбільшого значення саме в точці -2. Таку точку називають точкою максимуму функції, а значення функції у цій точці – максимумом функції.

Точку х₀ називають точкою максимуму функції у = f(х), якщо для всіх х з деякого околу точки х₀ справджується нерівність f(x0) > f(x). Значення функції в точці максимуму називають максимумом функції.

Будемо позначати точки максимуму через хm_ах, а максимуми функції через f_mах або y_mах. Отже, у вищезгаданому прикладі: х_mах = -2; y_mах = у(-2) = 3.

Повертаючись до малюнка 39.1, помічаємо, що існує деякий окіл точки 1, що для всіх точок із цього околу функція у = f(х) набуває найменшого значення саме в точці 1. Таку точку називають точкою мінімуму, а значення функції в цій точці – мінімумом функції.

Точку х₀ називають точкою мінімуму функції у = f(х), якщо для всіх х з деякого околу точки х₀ справджується нерівність f(х₀) < f(х). Значення функції в точці мінімуму називають мінімумом функції.

Через x_min позначають точки мінімуму, а через f_mіn або у_mіn – мінімуми функції. У нашому прикладі: х_mіn = 1, а у_mіn = у(1) = -2.

Точки максимуму і мінімуму разом називають точками екстремуму (від лат. extremum – крайній), а значення функції у цих точках — екстремумами функції.

Зауважимо, що оскільки в точці максимуму (мінімуму) функція набуває найбільшого (найменшого) значення порівняно зі значеннями цієї функції в точках деякого околу, то точки максимуму (мінімуму) називають ще локальними екстремумами.

2. Необхідна умова екстремуму

Сформулюємо важливу теорему, яку називають теоремою Ферма (на честь французького математика П’єра Ферма), у якій стверджується, що точками екстремуму можуть бути лише критичні точки функції.

Теорема Ферма (необхідна умова екстремуму). Якщо точка х₀ є точкою екстремуму функції f(х) і в цій точці існує похідна, то вона дорівнює нулю: f'(x₀) = 0.

Приймемо цей факт без доведення і зауважимо, що теорема Ферма є лише необхідною умовою екстремуму. Умова f'(х₀) = 0 необов’язково означає, що х₀ – точка екстремуму функції.

Приклад 1. Зокрема, для функції f(х) = х 3 (мал. 39.2) f'(х) = Зх 2 і f'(0) = 0, але х₀ = 0 – не є точкою екстремуму.

Приклад 2. Розглянемо функцію f(х) = |х| (мал. 39.3), для якої х₀ = 0 — точка мінімуму. З’ясуємо, чи має функція f(х) = |х| похідну в точці х₀. Для цього знайдемо :

Отже, не існує, а тому функція f(х) = |х| похідної в точці х₀ = 0 не має.

З теореми Ферма та прикладу 2 дійдемо висновку, що точками екстремуму функції можуть бути тільки її критичні точки.

Тому, шукаючи точки екстремуму функції, у першу чергу треба знайти її критичні точки. Але пам’ятати, що не кожна критична точка є точкою екстремуму (приклад 1).

3. Достатня умова екстремуму

З’ясувати, чи є критична точка точкою екстремуму, можна за допомогою теореми — достатньої умови існування екстремуму.

Теорема (достатня умова екстремуму). Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ та:

1) f'( х ) > 0 на проміжку (а; х₀) і f'(x) < 0 на проміжку (х₀; b), то х₀ є точкою максимуму функції f(x);

2) f'(x) < 0 на проміжку (а; х₀) і f'(x) > 0 на проміжку (х₀; b), то х₀ є точкою мінімуму функції f(x).

Доведення. 1) Функція f(x) неперервна в точці х₀, f(x) > 0 на інтервалі (а; х₀), тому функція f(x) зростає на (а; х₀] і f(x) < f(x₀) для всіх x ∈ (a; х₀).

Ha проміжку [x₀; b) функція f(x) спадає (доведення аналогічне), тому f(x) < f(х₀) для всіх х ∈ (х₀; b).

Отже, f(x) < f(х₀) для всіх х ≠ х₀ з проміжку (а; b), тому х₀ – точка максимуму функції f(x).

2) Доведення аналогічне до пункту 1).

Коротко цю теорему можна переформулювати так.

Якщо в точці х0 похідна змінює знак з «+» на «—» (рухаючись у напрямі зростання х), то х₀ — точка максимуму (мал. 39.4), а якщо з «-» на «+», то точка х₀ — точка мінімуму (мал. 39.5).

Якщо зміни знаків не відбулося (мал. 39.6 і 39.7), то х₀ не є точкою екстремуму.

Таким чином, можна дійти висновку, що задачі на знаходження проміжків зростання, спадання функції та отриманих екстремумів пов’язані між собою. Тому для знаходження екстремумів функції у = f(x) можна застосувати такий алгоритм.

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну функції.

3) Знайти критичні точки функції.

4) Позначити знайдені критичні точки на області визначення та з’ясувати знак похідної на кожному з отриманих проміжків.

5) Для кожної критичної точки за знаком похідної на проміжках зліва і справа від неї визначити, чи є вона точкою екстремуму і якою саме, максимуму чи мінімуму. Записати результат.

4. Задачі на пошук точок екстремуму та екстремумів функції

Розглянемо кілька задач.

Приклад 3. Знайти точки екстремуму функції

Розв’язання. Скористаємося вищезгаданим алгоритмом.

2) у’ = х 2 + х – 2 – (х – 1)(х + 2).

3) D(у’) = R, у’ = 0, маємо рівняння: (х – 1)(х + 2) = 0, звідки х₁ = 1; х₂ = -2 — критичні точки.

4) Позначимо критичні точки на числовій осі і визначимо знак похідної на кожному з отриманих проміжків (мал. 39.8):

Приклад 4. Знайти точки екстремуму та екстремуми функції

звідки х₁ = 1; х₂ = 3 — критичні точки.

4) Позначимо критичні точки на області визначення функції та з’ясуємо знак похідної на кожному з отриманих проміжків (мал. 39.9).

5) Отже, х_max = 1, х_min = 3 — точки екстремуму.

Приклад 5. Знайти точки екстремуму функції

Далі розглянемо функцію окремо для х < -1 і для х ≥ -1.

2) f'(х) = 15х 2 + 2х + 1.

3) Рівняння f'(x) = 0 розв’язків не має. Для всіх х таких , що х < -1, маємо: f'(х) >0.

б) Якщо х > -1, то х + 1 = х + 1, тоді f(х) = 5х 3 – х 2 – х.

2) f'(x) = 15х 2 – 2х – 1.

3) Рівняння а'(х) = 0 має корені х₁ = – ; х₂ = .Обидва корені задовольняють умову х ≥ – 1. Отже, х₁ = – ; х₂ = – критичні точки.

4) Знаки похідної зображено на малюнку 39.10.

Приклад 6. Знайти точки максимуму функції

Похідна існує в усіх точках області визначення функції.

3) Розв’яжемо рівняння f'(х) = 0. Маємо:

4) Функція f'(х) є періодичною з періодом

Дослідимо знак похідної на деякому проміжку завдовжки , наприклад на

Цьому проміжку належать дві з критичних точок:

Знаки похідної на проміжку

зображено на малюнку 39.11. Враховуючи періодичність функції, матимемо, що

Латинською терміни «maximum» і «minimum» означають відповідно «найбільше» і «найменше» значення.

Задачею знаходження максимумів і мінімумів функції вчені почали займатися в середньовіччі. У 1615 році Кеплер висловив ідею про те, що поблизу максимуму величини зміна її є непомітною, передбачивши таким чином ідею прирівнювання похідної до нуля під час знаходження максимуму функції.

Уперше системний підхід до знаходження екстремумів виклав П. Ферма у своїй праці «Метод дослідження максимумів і мінімумів» (праця вийшла друком частково у 1642—1644 рр., а повністю – у 1779 р. після смерті автора). Листи ж Ферма кажуть про те, що цим методом він володів уже в 1629 р.

У подальшому цей метод вдосконалили Ньютон у праці «Метод флюксій» (1671 р.) і Лейбніц у своєму «Новому методі» (1684 р.).

• Що називають околом точки х₀?

• Яку точку називають точкою максимуму функції, а яку – точкою мінімуму?

• Що називають максимумом функції, а що – мінімумом?

• Які точки називають точками екстремуму, а що – екстремумом функції?

• Сформулюйте теорему Ферма (необхідну умову екстремуму).

• Сформулюйте і доведіть достатню умову екстремуму.

• Яким формулюванням цієї теореми зручно користуватися?

• Сформулюйте алгоритм дослідження функції на екстремум.

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

1. 39.1. На малюнку 38.13 зображено графік функції у = g(х), визначеної на проміжку [-4; 4]. Знайдіть точки екстремуму та екстремуми цієї функції.

39.2. На малюнку 38.12 зображено графік функції у = f(x), визначеної на проміжку [-3; 5]. Знайдіть точки екстремуму та екстремуми цієї функції.

39.3. (Усно). Функція у = f(x) неперервна в точці х₀ = 2, причому f’(x) < 0 на проміжку (1; 2) і f'(x) >0 на проміжку (2; 3). Чи є точка х₀ = 2 точкою мінімуму або максимуму?

39.4. (Усно). Функція у = t(х) неперервна в точці х₀ = -1, причому t'(x) > 0 на проміжку (-2; -1) і t'(x) < 0 на проміжку (-1; 0). Чи є точка х₀ = – 1 точкою мінімуму або максимуму?

39.5. Знак похідної функції у = g(x), визначеної на R, змінюється за схемою, зображеною на малюнку 39.12. Визначте точки мінімуму і максимуму цієї функції.

2. 39.6. Зобразіть схематично графіки функцій і впевніться в тому, що вони не мають точок екстремуму:

Знайдіть точки екстремуму функції у = f(х). Які з них є точками максимуму, а які – точками мінімуму (39.7—39.8)?

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (39.9—39.10):

3. Знайдіть точки максимуму і точки мінімуму функції (39.11—39.12):

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (39.13—39.14):

4. Знайдіть точки мінімуму функції (39.15—39.16):

39.15. у(х) =4x 3 – x |x – 2|, що задана на проміжку [0;3].

39.16. у(х) = 3х|х -3| – х 3 , що задана на проміжку [0; 4].

Знайдіть точки екстремуму функції (39.17—39.18):

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції (39.19—39.20):

39.21. При яких значеннях а функція

не має точок екстремуму?

39.22. При яких значеннях b функція

не має точок екстремуму?

39.23. На малюнку 39.13 зображено графік похідної f'(x) функції f(х), визначеної на проміжку (-7; 8). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х) та вкажіть, скільки серед них точок максимуму і скільки точок мінімуму.

39.24. На малюнку 39.14 зображено графік похідної f'(x) функції f(х), визначеної на проміжку (-6; 7). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х) та вкажіть, скільки серед них точок мінімуму і скільки точок максимуму.

39.25. Знайдіть точки максимуму функції

39.26. Знайдіть точки мінімуму функції

39.27. Знайдіть усі точки мінімуму функції

39.28. Знайдіть усі точки максимуму функції

39.29. Відстань І (у км) від спостерігача, що перебуває на невеликій висоті h м над землею, до лінії горизонту, за якою він спостерігає, обчислюється за формулою

де R – 6400 км – радіус Землі. На якій найменшій висоті слід розташуватися спостерігачеві, щоб він бачив горизонт на відстані не менше ніж 4 кілометри?

39.30. Розв’яжіть рівняння х 2 + 4х соs ху + 4 = 0.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

39.31. 1) Знайдіть координати вершини параболи f(х) = х 2 – 2х + 3, визначте напрям гілок параболи та побудуйте схематично її графік.

2) Знайдіть точку екстремуму функції f(х) = х 2 – 2х + 3, екстремум функції, проміжки зростання і спадання функції. Побудуйте графік цієї функції.

3) Порівняйте побудовані у пунктах 1) і 2) графіки функцій.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.