1. Правильні многогранники

Опуклий многогранник називається правильним , якщо:
1. усі його грані – рівні правильні многокутники;
2. у кожній його вершині сходиться одне і те ж число ребер.

Всі ребра правильного многогранника рівні, а також рівні всі двогранні кути, що містять дві грані зі спільним ребром.

1. Які правильні многокутники можуть бути гранями правильного многогранника?
2. Скільки граней може мати правильний многогранник?

Не існує правильного многогранника, гранями якого є правильні многокутники, якщо число їх сторін \(6\) або більше, тобто правильні \(n\)-кутники, якщо n ≥ 6 .

Отже, не існує правильного многогранника, гранями якого були б правильні \(n\)- кутники, якщо n ≥ 6 .

Тільки правильні трикутники, чотирикутники (квадрати) і п’ятикутники можуть бути гранями правильного многогранника.

Чи існують правильні многогранники з такими гранями і скільки граней вони мають? Найменше можливе число граней — чотири.

За допомогою теореми Ейлера ми можемо отримати відповідь на питання:
які правильні многогранники можуть існувати?

1. Нехай кількість ребер правильного многогранника, що виходять з однієї вершини, дорівнює \(m\), а гранями є правильні \(n\) — кутники.

\(Р\) (ребра), \(m\), \(n\), де \(n\) і \(m\) — цілі числа і \(m ≥ 3\), \(n =\) \(3;\) \(4\) \(або\) \(5\).

3. Оскільки кожне ребро з’єднує дві вершини, і в кожній вершині сходяться \(m\) ребер, тоді \(2Р=Вm\).

✅Грань, ребро, вершина

Стереометрія вивчає фігури в просторі. Наш простір тривимірний, в ньому є три виміри – це:

Однак це не означає, що всі навколишні нас тіла мають три виміри. Плоскі фігури мають тільки два виміри, але також можуть розглядатися в стереометрії. Хоча стереометрія зазвичай акцентується на об’ємних (тривимірних) тілах.

Об’ємні тіла називаються геометричними тілами. У таких тіл є поверхні, які відокремлюють їх від навколишнього простору. Ці поверхні являють собою плоскі фігури. Наприклад:

• куб – це об’ємне тіло, його поверхня складається з шести квадратів;
• куля – об’ємне тіло, його поверхня – сфера.

Поверхні багатьох геометричних тіл (але не всіх) є багатокутниками (чотирикутниками, шестикутниками, трикутниками та ін.). Тут під багатокутником розуміється фігура, що складається зі сторін і обмеженою ними внутрішньої області. Поверхня, що складається з багатокутників (або фігуру, чия поверхня складається з багатокутників), називають багатогранником.

Поверхні багатогранника називають гранями. По-суті грані являють собою площини, обмежені сторонами багатокутників, з яких складається багатогранник. Самі сторони багатокутників називаються ребрами. По-суті вони являють собою відрізки. Кінці ребер з’єднані між собою, ці точки з’єднання називають вершинами багатогранника.

Також в багатогранниках виділяють діагоналі. Це відрізки, які з’єднують вершини різних граней.